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实践与探索三[上学期]--华师大版






22.3 实践与探索

课前热身
解下列方程:

比一比,看谁算得快!

(1) x ? 2x ? 0
2

(4) x2 ? 2x ?1 ? 0 (5) ? x2 ? 3 2x ? 4 ? 0
(6) ( x ? 1

) 2 ? 25 ? 0

(2) x ? 3x ? 4 ? 0
2

(3) x 2 ? 5x ? 6 ? 0

1、一元二次方程的几种基本解法:
①直接开平方法 ②因式分解法

方法提炼

③配方法

④公式法

⑤换元法

2、一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ?b? ? (1)求根公式:x ? 2a (2)根的判别式:? ? b 2 ? 4ac
特别地,一元二次方程

x 2 ? px ? q ? 0( p 2 ? 4q ? 0)

? p ? p 2 ? 4q ? p ? p 2 ? 4q 两根分别是:x1 ? , x2 ? 2 2

尝试探索,发现规律
根据刚才计算的结果,完成下面表格:





x1
0 1 2

x2
2 -4 3

x1 ? x2
2 -3 5

x1 ? x2
0 -4 6

(1) x 2 ? 2 x ? 0

(2) x 2 ? 3x ? 4 ? 0
(3) x 2 ? 5x ? 6 ? 0

你发现表格中两个解的和与积和原来的方程的系数有什么联系?

等于原方程的一次 项系数的相反数.

等于原方程的 常数项.

探 索
p2-4q≥0),试用求根公式求出它的两个解 4q≥0

我的发现

对于关于x的方程1x2+px+q=0( p,q为已知常数,
2 ? p ? p ? 4q ? p ? p ? 4q x1 = 、x 2 = , 2 2

2

算一算x1+x2、x1 x2的值,你能得出什么结果?与上面 发现的现象是否一致?


x1+x2=- p
2 x ? px ? q ? 0 如果一元二次方程 的两个实数根是 x1,x2 ,那么

x1 x2=q


x1 ? x2 ? ? p

x1 ? x2 ? q

知识品味
说出下列各方程的两实根之和与两实根之积:

1. x ? 2 x ?1 ? 0
2

x1 ? x2 ? 2
x1 ? x2 ? ?3

1 2. x ? 3x ? ? 0 2
2

3. ? x ? 6x ? 0
2
2

x1 ? x2 ? ?6

x1 ? x2 ? ?1 1 x1 ? x2 ? 2 x1 ? x2 ? 0

4. x ? 2(k ?1) x ? 2k ?1 ? 0 x1 ? x2 ? 2(k ? 1) x1 ? x2 ? ?2k ? 1 2 方程无实根 5. x ? x ? 1 ? 0

知识应用,体验成功
例1、已知关于x的方程x 2 ? 3x ? 1 ? m ? 0, ( 1 )请选取一个你喜欢的 正整数m的值,求该方程的解; (2)设x1、x2是( 1 )中所得方程的两个根 , 求x1 ? x2 ? x1 ? x2的值.

分 析:
(1)本题的知识点是解一元二次方程及其根与系 数的关系,它的答案不唯一。 (2)在选取m的值时,应注意题设的限定条件,还 要以简单为原则。 (3)在求代数式的值时,有两种方法:一是直接 代入;二是利用根与系数的关系。

题例回顾:
(1)学习和使用一元二次方程根与系数关系时,要注意定理 的前提条件:
A、是在一元二次方程的条件下,即注意二次项系数不为零。 B、是在有实数根的条件下,即△≥0。(两者缺一不可)。 (2)不解方程,可以利用一元二次方程根与系数求关于

x1,x2的代数式的值。如: x1 ? x2 ? x1 ? x2
2 1 2 2 2
2 2

x ? x ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2

1 1 x1 ? x2 ? ? x1 x2 x1 ? x2

( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4x1x2

知识应用,体验成功
例2、当k为何值时,方程 x 2 ? (k ? 1) x ? 3k ? 0的一个根为 2 求它的另一个根及 k的值。
解:由题意得, 4 ? 2? (k ? 1 ) ? 3k ? 0 ? k ? ?2 解:设方程的两根为x1 , x2 , 则 ? 原方程变为x 2 ? x ? 6 ? 0 x ? x ? k ? 1 x ? x ? 3k ? 解得:x1 ? 2, x2 ? ?3 即方程的另一个根为 x ? ?3
1 2 1 2

? x1 ? 2 ? k ? 1 2 x1 ? 3k ? k ? ?2, x2 ? ?3

变式训练:
求a和b的值。

已知关于x的方程x 2 ? ax ? b ? 0的两根为2和5,

中考链接,能力测试

1 ( . 05年金华) 如果一元二次方程 x ? 4 x ? 2 ? 0,
2

的两个根是x1、x2,那么x1 ? x2等于( ( A)4 ( B) ? 4 (C )2 ( D) ? 2

A

)。

2 ( . 05年天津)若关于 x的方程2 x 2 ? 2 x ? 3m ? 1 ? 0 的两个实数根 x1、x2满足x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 4,则实数 m的取值范围是( D )。 5 1 (A)m ? ? (B)m ? 3 2 5 5 1 (C)m ? ? (D) ? ?m? 3 3 2

中考链接,能力测试
3 ( . 06年重庆)已知 ?、?是关于x的方程x 2 ? (2m ? 3) x ? m 2 ? 0 1 1 的两个不等实数根,且 满足 ? ? ?1,则m的值为( B ) .

?

?

(A) 3或 ? 1

(B) 3

(C) 1

(D) ? 3或1

4 ( . 05年丽水)已知关于 x的方程x 2 ? (k ? 1) x ? 6 ? 0 的一个根是2,求方程的另一个根和 k的值.

小结反思,延伸提高
1、如果一元二次方程

x2 ? px ? q ? 0

的两个实数根



x1,x2 ,那么

x1 ? x2 ? ? p
2

x1 ? x2 ? q

2、在应用一元二次方程根与系数的关系时,应注意 条件:

a ? 0且 b ? 4 ac ? 0

3、在一次数学发现过程中,将经历实验、观察、分析、 对比、归纳、再实验等数学思维活动,最后是数学证明。 只有这样,一个数学结论才能被认可。

探 索

请把你的发现与大家一起分享!

2 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) x , x 如果 1 2 是一元二次方程

的两个实数根,那么方程的两根与系数a、b、c之间 又有什么关系呢?
请你解下列方程,然后对照方程,尝试找出

根与系数的联系。

(1) 3x ? 2 x ?1 ? 0
2

(2) 2x ? 4x ? 3 ? 0
2

(3) 4x ? 4x ? 1 ? 0
2

(4) 5x ?1 ? 0
2

作业布置,自我测试

1、见作业本(略) 2、自我测试:见附页

下课了!

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