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北京市东城区2014届高三下学期综合练习(一) 数学理 Word版含答案


北京市东城区 2014 届高三第二学期综合练习(一) 数学理试题
2014.4
第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 3 分,共 40 分, 1. 已知集合 A ? {x | ? x ? 1?? x ? 2? ≥ 0} ,则 ?R A ? (
或x ? 2? A. ?x | x ? ?1,

) .

r />
B. ?x | x ≤ ?1 或 x ≥ 2? D. ? x | ?1 ≤ x ≤ 2?

C. ?x | ?1 ? x ? 2? 2. 复数
i ?( 1? i

) .
1 1 B. ? i 2 2 1 1 C. ? ? i 2 2 1 1 D. ? ? i 2 2

1 1 A. ? i 2 2

3.

π? ? 为了得到函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象( 3? ?

) .

π A.向左平移 个单位长度 3 π C.向左平移 个单位长度 6

π B.向右平移 个单位长度 3 π D.向右平移 个单位长度 6

4.

设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 9 , S5 ? 30 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A.27 B.36 C.42 D.63
π? ? 在极坐标系中,点 ? 2 , ? 到直线 ? cos? ? ? sin ? ? 1 ? 0 的距离等于( 4? ?

) .

5.

) .

A. 6.

2 3 2 B. 2 C. D.2 2 2 如图,在 △ABC 中, AB ? 1 , AC ? 3 , D 是 BC 的中点,则

A

AD ? BC ? (
A.3
2

) . B.4
2

B

D

C

C. 5

D.不能确定

7.

x y 2 ? 2 ? 1? a ? 0 , b ? 0? 的渐近线与圆 ? x ? 2? ? y 2 ? 1相切,则双曲线的离 2 a b 心率为( ) .
若双曲线 A.2 B.

2 2

C.

2 3 3

D. 2

8.

?1 ,x ? 0 , ? 2 已知符号函数 sgn ? x ? ? ?0 ,x ? 0 , 则函数 f ? x ? ? sgn ? ln x ? ? ln x 的零点个数为 ? ?1 ,x ? 0 ?

A.1

B.2

C. 3

D.4

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.
1? ? (用数字作答) ? x ? ? 的二项展开式中常数项为________. 2? ?
D A
4

10. 如图, AB 是圆 O 的直径,延长 AB 至 C ,使 AB ? 2 BC ,且 BC ? 2 , CD 是 圆 O 的 切 线 , 切 点 为 D , 连 接 AD , 则 CD ? ________ , ?DAB ? ________.
?0 ? x ? 2, 11. 设不等式组 ? 表示的平面区域为 D ,在区域 D 内随机取一点 ?0 ? y ? 2

O

B

C

P ? x , y ? ,则 x ? y ? 3 的概率为________.
12. 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x 2 ? 6 ,则 x ? 0 时, f ? x ? 的解析式为______,不等式 f ? x ? ? x 的解集为________. 13. 某写字楼将排成一排的 6 个车位出租给 4 个公司,其中有两个公司各有两辆汽车,如 果这两个公司要求本公司的两个车位相邻, 那么不同的分配方法共有________种. (用 数字作答) 14. 如图,在三棱锥 A ? BCD 中, BC ? DC ? AB ? AD ? 2 , BD ? 2 ,平面 ABD ? 平面
BCD , O 为 BD 中点,点 P , Q 分别为线段 AO , BC 上的动点(不含端点) ,且 AP ? CQ ,则三棱锥 P ? QCO 体积的最大值为________.

三、解答题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题共 13 分)在 △ ABC 中,
sin A 3 cos B ? . a b

A

P

(1)求角 B 的值; D C (2)如果 b ? 2 ,求 △ ABC 面积的最大值. Q 16、 (本小题共 13 分) O 某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况,抽取甲、乙 B 两班, 调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间 (单 位:小时) ,统计结果绘成频率分布直方图(如图) .已知甲、乙两班学生人数相同,甲班学 生每天平均学习时间在区间 ? 2 , 4? 的有 8 人.
频率/组距 0.175

频率/组距 0.1500 0.1250 0.1000 0.0875 a 0 2 4 6 8 10 12 小时 甲

0.075 0.050 0.025 0 2 4 6 8 10 12 小时 乙

(1)求直方图中 a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间 (10 , 12] 的人数; (2)从甲、乙两个班每天平均学习时间大于 10 个小时的学生中任取 4 人参加测试, 设 4 人中甲班学生的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 17、 (本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD , AB ? PA ? 1,
AD ? 3 , F 是 PB 中点, E 为 BC 上一点.

(1)求证: AF ? 平面 PBC ; (2)当 BE 为何值时,二面角 C ? PE ? D 为 45? .

P F A D E

18、 (本小题共 13 分)
2 已知函数 f ? x ? ? ax ? 4ln ? x ? 1? , a ? R .

B C

(1)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的单调区间; (2)已知点 P ?1 , 1? 和函数 f ? x ? 图象上动点 M ? m , f ? m?? ,对任意 m ? ? 2 , e ? 1? , 直线 PM 倾斜角都是钝角,求 a 的取值范围. 19、 (本小题共 13 分) 已知椭圆 G :

? 6? x2 y 2 1, ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 过点 A ? ? 和点 B ? 0 , ? 1? . 2 ? 3 ? a b ? ?

(1)求椭圆 G 的方程; 3? ? (2) 设过点 P ? 0 , ? 的直线 l 与椭圆 G 交于 M , N 两点, 且 | BM |?| BN | , 求直线 l 的 2? ? 方程. 20、 (本小题共 14 分) 已知集合 ?1 , 2 , 3 , 4 ,

, n? ? n ≥ 3? ,若该集合具有下列性质的子集:每个子集至

少含有 2 个元素, 且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于 1, 则称这些子集为 T 子集,记 T 子集的个数为 a n . (1)当 n ? 5 时,写出所有 T 子集; (2)求 a10 ; (3)记 Sn ?
a3 a4 a5 ? ? ? 23 24 25 ? an ,求证: Sn ? 2 2n

北京市东城区 2014 届高三第二学期综合练习(一)
1.C 2.C 10. 2 3 ; 30? 13.24 3.D 11. 14.
7 8

4.D

5.A

6.B

7.C

8.B 9.
(2 ,? ?)

1 16

0) 12. f ( x) ? ? x2 ? 6 ; (?2 ,

2 48 a b sin A 3 cos B ? 15.解:⑴ 因为 ? , , sin A sin B a b
所以 sin B= 3 cos B , tan B = 3 . 因为 B ? (0 ,π) . 所以 B = ⑵ 因为 B =
π . 3

π a 2 ? c 2 ? b2 1 ,所以 cos B ? ? , 3 2ac 2 2 2 b ? 2 因为 ,所以 a ? c =ac ? 4 ? 2ac , 所以 ac ? 4 (当且仅当 a ? c 时,等号成立) , 1 所以 S△ ABC ? ac , sin B ? 3 ,所以 △ ABC 面积最大值为 3 . 2 16.解:⑴ 由直方图知, (0.150 ? 0.125 ? 0.100 ? 0.0875 ? a) ? 2 ? 1 , 解得 a ? 0.0375 ,因为甲班学习时间在区间 [2 ,4] 的有 8 人, 8 ? 40 ,所以甲、乙两班人数均为 40 人. 所以甲班的学生人数为 0.2 12? 的人数为 40 ? 0.0375 ? 2 ? 3 (人) 所以甲班学习时间在区间 ?10 , .

12? 的人数为 3 人, 由⑴知甲班学习时间在区间 ?10 , 在两班中学习时间大于 10 小时的同学共 7 人, ? 的所有可能取值为 0,1,2,3.
P(? ? 0) ? P(? ? 2) ?
0 4 3 C3 C4 C1 1 12 3C4 ? P ( ? ? 1) ? ? , , 4 4 C7 35 C7 35

12? 的人数为 40 ? 0.05 ? 2 ? 4 (人) ⑵ 乙班学习时间在区间 ?10 , .

2 2 1 C3 C4 18 C3 4 3C4 ? P ( ? ? 3) ? ? , . 4 4 C7 35 C7 35 所以随机变量 ? 的分布列为: ? 0 1 2 3 1 12 18 4 P 35 35 35 35 1 12 18 4 12 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 35 35 35 35 7 17.证明⑴ 因为 PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以 PA ? BC , 因为 ABCD 是矩形,所以 BC ? AB . 因为 PA AB ? A ,所以 BC ? 平面 PAB , 因为 AF ? 平面 PAB ,所以 BC ? AF , 因为 AB ? PA , F 是 PB 中点,所以 AF ? PB , 因为 PB BC ? B 所以 AF ? 平面 PBC . ⑵ 解:因为 PA ? 平面 ABCD , AB ? AD , 所以以 A 为坐标原点, AD 、 AB 、 AP 所在直线为 x , y , z 轴建立空间直角 1 1? ? 0 , 0 1 ) , ,D 3 ,0 ,0 ,E ? a , 1, 0 ? ,F ? 0 , , ? . 坐标系, 设 BE ? a , 则 P( 2 2? ?

?

?

1 ,0 , PD ? 所以 DE ? a ? 3 ,

?

?

?

3 ,0 ,? 1 .
P

?

z

? ?m ? DE ? 0 , 设平面 PDE 的法向量为 m ? ( x ,y ,z) ,则 ? ? ?m ? PD ? 0. ? a ? 3 x ? y ? 0, ? 所以 ? 令 x ? 1 ,得 y ? 3 ? a , z ? 3 , ? 3 x ? z ? 0. ?

?

?

F

所以 m ? 1 , 3 ? a , 3 .
1 1? ? 平面 PCE 的法向量为 n ? AF ? ? 0 , , ? . 2 2? ? 1 3? a m?n 2 5 3 2 cos m , n ? ? ? 所以 . 所以 a ? . 2 2 m n 6 ? a 2 ? 2 3a ? 7 2 5 3 所以当 BE ? 时,二面角 P ? DE ? A为 45? . 6 18 解:⑴ 当 a ? 1 时, f ( x) ? x2 ? 4ln( x ? 1) ,定义域为 (1,? ?) ,
D x

?

?

A E C

B y

f ?( x) ? 2x ?

4 2x2 ? 2x ? 4 2( x ? 1)( x ? 2) ? ? x ?1 x ?1 x ?1 (1 ,2) x f ?( x) ?
f ( x)

(2 ,? ?)

?





所以当 a ? 1 时, f ( x) 的单调递增区间为 (2 ,? ?) ,单调递减区间为 (1 ,2) . ⑵ 因为对任意 m ? [2 ,e ? 1] ,直线 PM 的倾斜角都是钝角, 所以对任意 m ? [2 ,e ? 1] ,直线 PM 的斜率小于 0, f (m) ? 1 ? 0 , f (m) ? 1 ,即 f ( x) 在区间 [2 ,c ? 1] 上的最大值小于 1, 即 m ?1 4 2(ax2 ? ax ? 2) x ? (1 ,? ?) f ?( x) ? 2ax ? ? , .令 g ( x) ? ax2 ? ax ? 2 x ?1 x ?1 ①当 a ? 0 时, f ( x) ? ?4ln( x ? 1) 在 [2 ,e ? 1] 上单调递减, f ( x) ? f ( 2? ) ? 0 ,显然成立,所以 1 a?0. m a x ②当 a ? 0 时,二次函数 g ( x) 的图象开口向下, ,? ? ) g ( x) ? 0 , 且 g (0) ? ?2 , g (1) ? ?2 , ?x ?( 1 , 故 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (1,? ?) 上单调递减, 故 f ( x) 在 [2 ,e ? 1] 上单调递减,f ( x)max ? f (2) ? 4a ? 1 , 显然成立, 所以 a ? 0 . ⑶ 当 a ? 0 时,二次函数 g ? x ? 的图象开口向上,且 g ? 0 ? ? ?2 , g ?1? ? ?2 .

? ?? ,当 x ? ?1,x0 ? 时, g ? x ? ? 0 . 当 x ? ? x0 , ? ? ? 时, g ? x ? ? 0 . 所以 ?x0 ? ?1, ? ? ? 内先递减再递增. 所以 f ? x ? 在区间 ?1, e ? 1? 上的最大值只能是 f ? 2 ? 或 f ? e ? 1? . 故 f ? x ? 在区间 ? 2 ,
? ? f ? 2 ? ? 1, 所以 ? ? ? f ? e ? 1? ? 1. ? 1 ?4a ? 1, 即? 所以 0 ? a ? 2 4 a e ? 1 ? 4 ? 1 . ? ? ? ?

综上 a ?

1 . 4

19.解: (Ⅰ)因为椭圆 G :

? 6? x2 y 2 1, ? 和点 B ? 0 ,? 1? . ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 过点 A ? 2 ? 3 ? a b ? ?
2

? 5? x2 2 ? 3 ? ? 所以 b ? 1 ,由 1 ? ,得 .所以椭圆 的方程为 G ? y2 ? 1 . a ? 3 ? ? ?1 3 ? a2 1

3 (Ⅱ)显然直线 l 的斜率 k 存在,且 k ? 0 .设直线 l 的方程为 y ? kx ? . 2

? x2 ? y 2 ? 1, ? 5 ?3 ? 2 1? 2 由? 消去 y 并整理得 ? k ? ? x ? 3kx ? ? 0 , 3? 4 ? ? y ? kx ? 3 . ? ? 2
5 ? 2 1? 2 2 由 △? 9k ? 5 ? k ? ? ? 0 , k ? . 3? 12 ?

设 M ? x1 ,y1 ? , N ? x2 ,y2 ? , MN 中点为 Q ? x2 ,y2 ? , 得 x2 ?
x1 ? x2 9k y ? y2 3 ?? 2 ? 2 , y6 ? 1 . 2 6k ? 2 2 6k ? 2

由 BM ? BN ,知 BQ ⊥ MN ,

3 ?1 2 y6 ? 1 1 1 2 ? ? ,即 6k ? 2 ? ? .化简得 k 2 ? ,满足 △ ? 0 . 所以 9k x6 k k 3 ? 2 6k ? 2
所以 k ? ?
6 6 3 x? . .因此直线 l 的方程为 y ? ? 3 3 2

?1,3? , ?1,4? , ?1,5? , ?2,4? , ?2,5? , ?3,5? , (20) 解: (Ⅰ) 当 n ? 5 时, 所以 T 子集:
2, 3, 4, …, k, k ? 1, k ? 2? 的 T 子集可分为两类: ?1,3,5? . (Ⅱ) ?1,
第一类子集中不含有 k ? 2 ,这类子集有 ak ?1 个;

2, 3, 4, …, k? 的 T 子集与 第二类子集中含有 k ? 2 ,这类子集成为 ?1, …, k? 的单元素子集与 ?k ? 2? 的并,共有 ak ? k 个. ?k ? 2? 的并,或为 ?1,2,3,4,
所以 ak ?2 ? ak ?1 ? ak ? k .因为 a3 ? 1 , a4 ? 3 , 所以 a5 ? 7 , a6 ? 14 , a7 ? 26 , a8 ? 46 , a9 ? 79 , a10 ? 133 . (Ⅲ)因为 Sn ?
a 1 3 7 ? 4 ? 3 ? …? n , 3 2 2 2 2n



a ?1 an 1 1 3 ? n?1 所以 Sn ? 4 ? 3 ? … ? nn ② 2 2 2 2 2 an?2 ? n ? 2 ? an 1 1 ? 2 4 7 ① ? ②得 Sn ? 3 ? ? 4 ? 3 ? 6 ? … ? ? ? n?1 2 2 ?2 2 2 2n ? 2
? ? a ? n ? 2 ? an 1 2 ? a ?3 a ?4 ? 4 ? ? 2 3 ? 4 4 ? … ? n?2 n ? ? n?1 3 2 2 ? 2 2 2 ? 2 a ? n ? 2 ? an 1 2 1 ? a ? 3 a4 ? 4 ? ? ? 2 ? ? … ? n?2 n?1 ? ? n?1 23 2 4 2 2 ? 2 3 24 2 ? 2
3

1 2 1 ? ? ? Sn?1 ? ? 2n 2n 2 2 ?

3 ? 2

4

4 n ? ? 2 an ?…? ? ?n 1 n ? 2 2 2 ?

?

1 1 1 ?1? ? Sn?2 ? ? ? ? 4 4 4 ?2?

n ?1

?

1 1 1 1 1 n ? 2 an ? ? Sn 所以 S n ? 2 . ? n?1 ? ? Sn?2 ? n 2 4 4 4 4 2 2


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