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2013届高三理科数学高考专题训练28 几何证明选讲(选修4-1) Word版含答案]


高考专题训练二十八
班级________ 姓名_______

几何证明选讲(选修 4-1)
时间: 45 分钟 分值: 100 分 总得分_______

一、填空题(每小题 6 分,共 30 分) 1. (2011· 陕西 )如图,∠ B=∠ D, AE⊥ BC,∠ ACD= 90° ,且 AB=6,AC=4,AD=

12,则 BE=________.

解析:由∠B=∠D,AE⊥BC,知△ABE∽△ADC, 6×4 AE AB AB ∴ AC = AD ,∴ AE= AD · AC = = 2,∴ BE= AB2-AE2 = 12 32=4 2. 答案:4 2 2.(2011· 湖南)如图,A、E 是半圆周上的两个三等分点,直线 BC =4,AD⊥BC,垂足为 D,BE 与 AD 相交于点 F,则 AF 的长为 ________.

解析:

如图所示,∵A、E 是半圆周上两个三等分点, ∴△ABO 和△AOE 均为正三角形. 1 ∴AE=BO= BC=2.∵AD⊥BC, 2 ∴AD= 22-12= 3,BD=1. 又∠BOA=∠OAE=60° ,∴AE∥BD. DF BD 1 ∴△BDF∽△EAF,∴AF=AE= . 2 ∴AF=2FD,∴3AF=2(FD+AF)=2AD=2 3, ∴AF= 答案: 2 3 . 3

2 3 3

3.(2011· 深圳卷)如图,A,B 是两圆的交点,AC 是小圆的直径, D 和 E 分别是 CA 和 CB 的延长线与大圆的交点,已知 AC=4,BE =10,且 BC=AD,则 DE=________.

解析:连接 AB,设 BC=AD=x,结合图形可得

AC CB △CAB 与△CED 相似,于是EC=CD. 4 x 即 = ?x=2. x+10 4+x 又因为 AC 是小圆的直径,所以∠CBA=90° , 由于∠CDE=∠CBA,所以∠CDE=90° . 在直角三角形 CDE 中,DE= CE2-CD2= 122-62=6 3. 答案:6 3 4.(2011· 佛山卷)如图,过圆外一点 P 作⊙O 的割线 PBA 与切线 PE,E 为切点,连接 AE、BE,∠APE 的平分线分别与 AE、BE 相 交于点 C、D,若∠AEB=30° ,则∠PCE=________.

PE PB 解析:由切割线性质得:PE2=PB· PA,即 PA =PE, ∴△PBE∽△ PEA,∴∠PEB=∠ PAE,又△PEA 的内角和为 2(∠CPA+∠PAE)+30° =180° , 所以∠CPA+∠PAE=75° , 即∠PCE =75° . 答案:75° 5.如图,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD a =a, CD= , 点 E, F 分别为线段 AB, AD 的中点, 则 EF=________. 2

分析:本题考查勾股定理及三角形中位线的性质. 解析:连接 BD、DE,由题意可知 DE⊥AB,DE= DE= 3 a,∴BD= 2 a 2 3 a,BC= 2

?a?2 ? 3 ?2 1 a ? ? +? a? =a,∴EF= BD= . 2 2 ?2? ?2 ?

答案:

二、解答题(每小题 10 分,共 70 分) 6.如图,已知△ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H,∠ B=60° ,F 在 AC 上,且 AE=AF.

(1)求证:B,D,H,E 四点共圆; (2)求证:CE 平分∠DEF.

证明:(1)在△ABC 中,因为∠B=60° ,所以∠BAC+∠BCA= 120° .因为 AD,CE 是角平分线,所以∠HAC+∠HCA=60° ,故∠ AHC = 120° . 于是∠ EHD =∠ AHC = 120° . 因为∠ EBD +∠ EHD = 180° ,所以 B,D,H,E 四点共圆. (2)连接 BH, 则 BH 为∠ABC 的平分线, 所以∠HBD=30° .由(1) 知 B,D,H,E 四点共圆, 所以∠CED=∠HBD=30° . 又∠AHE=∠EBD=60° ,由已知可得 EF⊥AD, 可得∠CEF=30° , 所以 CE 平分∠DEF. 7.如图所示,⊙O 为△ABC 的外接圆,且 AB=AC,过点 A 的 直线交⊙O 于 D,交 BC 的延长线于 F,DE 是 BD 的延长线,连接 CD.

(1)求证:∠EDF=∠CDF; (2)求证:AB2=AF· AD. 证明: (1)∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB.∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,∴∠ CDF=∠ABC.又∠ADB 与∠EDF 是对顶角, ∴∠ADB=∠EDF.又∠ADB=∠ACB, ∴∠EDF=∠CDF.

(2)由(1)知∠ADB=∠ABC.又∵∠BAD=∠FAB, AB AD ∴△ADB∽△ABF,∴AF=AB,∴AB2=AF· AD. 8.(2011· 辽宁)如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长 线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC=ED.

(1)证明:CD∥AB; (2)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B, G,F 四点共圆. 证明:(1)因为 EC=ED,所以∠EDC=∠ECD. 因为 A,B,C,D 四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA,

故∠ECD=∠EBA. 所以 CD∥AB. (2)由(1)知,AE=BE,因为 EF=EG,故∠EFD=∠EGC, 从而∠FED=∠GEC. 连接 AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE.

又 CD∥AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA, 所以∠AFG+∠GBA=180° , 故 A,B,G,F 四点共圆. 9.已知,如图,AB 是⊙O 的直径,G 为 AB 延长线上的一点, GCD 是⊙O 的割线,过点 G 作 AB 的垂线,交直线 AC 于点 E,交 AD 于点 F,过 G 作⊙O 的切线,切点为 H.求证:

(1)C,D,F,E 四点共圆; (2)GH2=GE· GF. 证明:(1)连接 CB,∵∠ACB=90° ,AG⊥FG,又∵∠EAG=∠ BAC, ∴∠ABC=∠AEG.∵∠ADC=180° -∠ABC=180° -∠AEG= ∠CEF,∴∠ADC+∠FDC=∠CEF+∠FDC=180° , ∴C,D,F,E 四点共圆. (2)由 C,D,F,E 四点共圆,知∠GCE=∠AFE,∠GEC=∠ GC GE GDF,∴△GCE∽△GFD,故GF=GD,即 GC· GD=GE· GF.∵GH 为圆的切线,GCD 为割线, ∴GH2=GC· GD,∴GH2=GE· GF.

10.(2011· 课标)如图,D,E 分别为△ABC 的边 AB,AC 上的点, 且不与△ABC 的顶点重合.已知 AE 的长为 m,AC 的长为 n,AD, AB 的长是关于 x 的方程 x2-14x+mn=0 的两个根.

(1)证明:C,B,D,E 四点共圆; (2)若∠A=90° ,且 m=4,n=6,求 C,B,D,E 所在圆的半径. 解:(1)证明:连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中,

AD×AB=mn=AE×AC, AD AE 即AC=AB.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB. 因此∠ADE=∠ACB. 所以 C,B,D,E 四点共圆. (2)m=4,n=6 时,方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2 =12.故 AD=2,AB=12. 取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂 线,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所 以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH. 由于∠A=90° ,故 GH∥AB,HF∥AC.从而 HF=AG=5,DF 1 = (12-2)=5. 2

故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2. 11.(2011· 哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联 考)已知四边形 PQRS 是圆内接四边形,∠PSR=90° ,过点 Q 作 PR、 PS 的垂线,垂足分别为点 H、K.

(1)求证:Q、H、K、P 四点共圆; (2)求证:QT=TS. 证明:(1)∵∠PHQ=∠PKQ=90° , ∴Q、H、K、P 四点共圆. (2)∵Q、H、K、P 四点共圆,∴∠HKS=∠HQP, ①

∵∠PSR=90° ,∴PR 为圆的直径,∴∠PQR=90° ,∠QRH= ∠HQP, 而∠QSP=∠QRH, 由①②③得,∠QSP=∠HKS,TS=TK, 又∠SKQ=90° ,∵∠SQK=∠TKQ,∴QT=TK,∴QT=TS. 12. (2011· 河南省教学质量调研)如图, 已知 AD 是△ABC 的外角 ∠EAC 的平分线,交 BC 的延长线于点 D,延长 DA 交△ABC 的外 接圆于点 F,连接 FB、FC. ② ③

(1)求证:FB=FC; (2)求证:FB2=FA· FD; (3)若 AB 是△ABC 外接圆的直径,∠EAC=120° ,BC=6 cm, 求 AD 的长. 解:(1)证明:∵AD 平分∠EAC. ∴∠EAD=∠DAC. ∵四边形 AFBC 内接于圆, ∴∠DAC=∠FBC. ∵∠EAD=∠FAB=∠FCB,∴∠FBC=∠FCB, ∴FB=FC. (2)证明:∵∠FAB=∠FCB=∠FBC,∠AFB=∠BFD, FB FA ∴△FBA∽△FDB,∴FD=FB, ∴FB2=FA· FD. (3)∵AB 是圆的直径,∴∠ACB=90° . 1 ∵∠EAC=120° ,∴∠DAC= ∠EAC=60° ,∠BAC=60° . 2 ∴∠D=30° . ∵BC=6 cm,∴AC=2 3cm,∴AD=2AC=4 3cm.


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