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全国名校高中数学题库--集合


第 1 专题

集合

第 1 节 集合的概述 知识点 1、集合的概念 同步演练 1. 下列各项中,能组成集合的是( A.高一(3)班的好学生 C.不等于 0 的实数 2. ) B.嘉兴市所有的老人 D.我国著名的数学家

在“①高一数学课本中的难题;②所有的正三角形; ③方程 x2+2=0 的实数解”中,能够表示成集 合的是( A.② ) B.③ C.②③ D.①②③

3.

下列命题:

①{2,3,4,2}是由四个元素组成的集合;②集合{0}表示仅由一个数“零”组成的集合; ③集合{1,2,3}与{3,2,1}是两个不同的集合; ④集合{小于 1 的正有理数}是一个有限集.其中正确命题是( A.只有③④ 4. B.只有② C.只有①② ) D.4 个 ) D.只有②③④

若 A={(1,﹣2)(0,0)},则集合 A 中的元素个数是( , A.1 个 B.2 个 C.3 个

5.

(2010?广东文)在集合{a,b,c,d}上定义两种运算+和*如下

那么 d*(a+c) ( A.a 综合提高

) B.b C.c D.d

1

6.

(2011?北京)设 A(0,0) ,B(4,0) ,C(t+4,4) ,D(t,4) (t∈R) .记 N(t)为平行四边形 ABCD 内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数 N(t)的 值域为 A.{9,10,11} B.{9,10,12} C.{9,11,12} D.{10,11,12}

解:当 t=0 时,?ABCD 的四个项点是 A(0,0) ,B(4,0) ,C(4,4) ,D(0,4) ,符合条件的点有(1, 1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3) , , , , , , , , ,共九个,N(t)=9,故选 项 D 不正确. 当 t=1 时,?ABCD 的四个项点是 A(0,0) ,B(4,0) ,C(5,4) ,D(1,4) , 同理知 N(t)=12,故选项 A 不正确. 当 t=2 时,?ABCD 的四个项点是 A(0,0) ,B(4,0) ,C(6,4) ,D(2,4) , 同理知 N(t)=11,故选项 B 不正确.

故选 C. 7. 现规定:A 是一些点构成的集合,若连接点集 A 内任意两点的线段,当该线段上所有点仍在点集 A 内时,则称该点集 A 是连通集,下列点集是连通集的是( A.函数 y=2 图象上的点构成的集合 C.扇形边界及其内部点构成的集合 知识点 2、元素与集合关系 同步演练 1. 已知 A={1,a},则下列不正确的是( A.a∈A 2. B.1∈A ) C.(1、a)∈A ) D.3 D.1≠a
x



B.旋转体表面及其内部点构成的集合 D.正四面体表面及其内部点构成的集合

设集合 P={x|x2+x﹣6=0},则集合 P 的元素个数是( A.0 B.1 C.2

2

3.

设集合 P={3,4,5},Q={4,5,6,7},定义 P※Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则 P※Q 中元素的个 数为( A.3 ) B.4 C.7 D.12

4.

【12 全国理】已知集合 A = {1, 2,3, 4,5} , B = {( x, y ) x ∈ A, y ∈ A, x ? y ∈ A} ;,则 B 中所含元素 的个数为( )

( A) 3
5.

(B) 6

(C ) 8

( D ) 10

【12 江西理】若集合 A={-1,1} ,B={0,2} ,则集合{z︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数 为 A.5 B.4 C.3 D.2

6.

集合 P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},R={x|x=4k+1,k∈Z},且 a∈P,b∈Q,则有( ) A.a+b∈P C.a+b∈R B.a+b∈Q D.a+b 不属于 P、Q、R 中的任意一个

7.

对于任意两个正整数 m,n,定义某种运算“※”如下:当 m,n 都为正偶数或正奇数时,m※n=m+n; 当 m, 中一个为正偶数, n 另一个为正奇数时, m※n=mn. 则在此定义下, 集合 M={ (a, |a※b=12, b) a∈N ,b∈N }中的元素个数是( A.10 个 B.15 个
* *

) C.16 个 ) D.不能确定 D.18 个

8.

如果集合 A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素,则 a 的值是( A.0 B.0 或 1 C.1

9.

定义集合 A,B 的一种运算“*” ,A*B={p|p=x+y,x∈A,y∈B}.若 A={1,2,3},B={1,2},则集 合 A*B 中所有元素的和 .14

10. 设集合 A={x|x=2k,k∈Z},集合 B={x|x=2k+1,k∈Z},若 a∈A,b∈B,则元素 a+b 与集合 A、B 的关系是 .a+b∈B (a≠1) .求证:①若 2∈A,则 A 中必还有另外两个

11. .实数集 A 满足条件:若 a∈A, ,则 元素;②集合 A 不可能是单元素集. 证明:①若 a∈A,则 ∵﹣1∈A,∴ .又∵2∈A,∴ .∵ ,∴



∴A 中另外两个元素为﹣1,

3

②若 A 为单元素集,则 ∴ ,

,即 a2﹣a+1=0,方程无解.

∴A 不可能为单元素集. 12. 已知 A={a+2, (a+1)2,a2+3a+3}且 1∈A,求实数 a 的值. 解:由题意:a+2=1 或(a+1)2=1 或 a2+3a+3=1,解得 a=﹣1 或 a=﹣2 或 a=0.据元素的互异性可排除 ﹣1,﹣2,∴a=0. 13. 已知集合 A={0,m,m2﹣3m+2},且 2∈A,求实数 m 的值. 解:因 A={0,m,m2﹣3m+2},且 2∈A 所以 m=2 或 m ﹣3m+2=2 即 m=2 或 m=0 或 m=3
2

当 m=2 时,A={0,2,0}与元素的互异性相矛盾,舍去; 当 m=0 时,A={0,0,2}与元素的互异性相矛盾,舍去; 当 m=3 时,A={0,3,2}满足题意 ∴m=3 14. 已知集合 A={x∈R|ax ﹣3x﹣4=0}, (1)若 A 中有两个元素,求实数 a 的取值范围; (2)若 A 中至多有一个元素,求实数 a 的取值范围. 解: (1)∵A 中有两个元素, ∴关于 x 的方程 ax ﹣3x﹣4=0 有两个不等的实数根, ∴△=9+16a>0,且 a≠0,即所求的范围是 (2)当 a=0 时,方程为﹣3x﹣4=0, ∴集合 A= ;
2 2 2

,且 a≠0};

当 a≠0 时,若关于 x 的方程 ax ﹣3x﹣4=0 有两个相等的实数根,则 A 也只有一个元素,此时 若关于 x 的方程 ax2﹣3x﹣4=0 没有实数根,则 A 没有元素,此时 综合知此时所求的范围是 综合提分 15. (11 福建理)i 是虚数单位,若集合 S= ?1.0.1 ,或 a=0}. ,



{

} ,则
4

A. i ∈ S

B. i 2 ∈ S

C. i 3 ∈ S

D.

2 ∈S i

16. (11?广东) S 是整数集 Z 的非空子集, 设 如果?a, b∈S 有 ab∈S, 则称 S 关于数的乘法是封闭的, 若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集,T∪V=Z,且?a,b,c∈T,有 abc∈T;?x,y,z∈V, 有 xyz∈V,则下列结论恒成立的是( )

A.T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的 T,B.V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C.T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 T,D.V 中每一个关于乘法都是封闭的 17. (2007?湖北)设 f(x)≥g(x)和 Q 是两个集合,定义集合 P﹣Q={x|x∈P,且 x?Q},如果 ,Q={x||x﹣2|<1},那么 P﹣Q 等于( A.{x|0<x<1} B.{x|0<x≤1} ) D.{x|2≤x<3}

C.{x|1≤x<2}

18. (2007?江西)若集合 M={0,1,2},N={(x,y)|x﹣2y+1≥0 且 x﹣2y﹣1≤0,x,y∈M},则 N 中元素的个数为( A.9 ) B.6 C.4 D.2

19. (2009?北京)设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k﹣1?A 且 k+1?A,那么称 k 是 A 的一个“孤立元” ,给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8,},由 S 的 3 个元素构成的所有集合中, 不 含“孤立元”的集合共有 个.6

20. 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体:在定义域 D 内存在 x0,使得 f(x0+1)=f(x0) +f(1)成立. (Ⅰ)函数 是否属于集合 M?说明理由:

(Ⅱ)若函数 f(x)=kx+b 属于集合 M,试求实数 k 和 b 满足的约束条件. 解: (Ⅰ)D=(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,若 即 此方程无实数解,所以函数 , ,则存在非零实数 x0,使得 ,

(Ⅱ)D=R,由 f(x)=kx+b∈M,存在实数 x0,使得 k(x0+1)+b=kx0+b+k+b,解得 b=0 所以,实数 k 和 b 的取值范围是 k∈R,b=0 25.已知 P={x||x﹣1|>2},S={x|x2+(a+1)x+a>0},若 x∈P 的充分不必要条件是 x∈S,求实数 a 的取值范围. 解:P=(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) ,S={x|(x+a) (x+1)>0} 因为 x∈P 的充分不必要条件是 x∈S,所以 S 是 P 的真子集 所以﹣a>3,即所求 a 的范围是(﹣∞,﹣3)
5

21. 【2012 江苏】设集合 Pn = {1, , , } , n ∈ N * .记 f (n) 为同时满足下列条件的集合 A 的个数: 2 … n ① A ? Pn ;②若 x ∈ A ,则 2 x ? A ;③若 x ∈ C pn A ,则 2 x ? C p A 。
n

(1)求 f (4) ; (2)求 f (n) 的解析式(用 n 表示) . 解: (1)当 n=4 时,符合条件的集合 A 为: {2 },1, 4 }, 2 , 3 },1, 3 , 4 } ,∴ f (4) =4。 { { { ( 2 )任取偶数 x ∈ Pn ,将 x 除以 2 ,若商仍为偶数.再除以 2 ,··· 经过 k 次以后.商必为奇数. 此时记商为 m 。于是 x =mi 2k ,其中 m 为奇数 k ∈ N * 。 由条件知.若 m ∈ A 则 x ∈ A ? k 为偶数;若 m ? A ,则 x ∈ A ? k 为奇数。于是 x 是否属于 A ,由 m 是 否属于 A 确定。 设 Qn 是 Pn 中所有奇数的集合.因此 f (n) 等于 Qn 的子集个数。

? n 2 ?2 ( n为偶数 ) n n +1 当 n 为偶数〔 或奇数)时, Pn 中奇数的个数是 ( ) 。∴ f (n)= ? n +1 。 2 2 ?2 2 n为奇数 ( ) ?
知识点 3、集合的性质 同步演练 1. 下列集合中表示同一集合的是( A.M={(3,2)}N={3,2} C.M={(4,5)}N={(5,4)} 2. ) B.M={(x,y)|x+y=1}N={y|x+y=1} D.M={2,1}N={1,2} ) D.等腰三角形

若集合 M={a,b,c}中的元素是△ABC 的三边长,则△ABC 一定不是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

3.

(2012?江西)若集合 A={﹣1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 A.5 B.4 C.3 ) D.3 个 D.2

4.

由实数 a,﹣a,|a|,所组成的集合里,所含元素个数最多有( A.0 个 B.1 个 ) C.2 个

5.

数值{x2+x,2x}中,x 的取值范围是( A.(﹣∞,+∞) B. D.

(﹣∞,0)∪(0,+∞) (﹣∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞) ,也可表示为{a2,a+b,0},则 a2009+b2009 的值为( )

C.(﹣∞,1)∪(1,+∞) 6.

含有三个实数的集合可表示为

6

A.0 7. 8.

B.﹣1

C.1

D.±1 .

已知集合 A={x|ax2﹣3x+2=0}至多有一个元素,则 a 的取值范围是 若 a,b∈R,集合 ,求 b﹣a 的值 ,可知 a≠0,则只能 a+b=0,

解:由

则有以下对应关系:

①或

②;

由①得

,符合题意;

②无解;则 b﹣a=2;故 b﹣a=2. 9. 已知实数 a∈{﹣1,1,a2},求方程 x2﹣(1﹣a)x﹣2=0 的解.
2 2

解:在{﹣1,1,a }中,由集合中元素的互异性,可得 a ≠1,即 a≠±1; 又∵a∈{﹣1,1,a2}, ∴a 可能等于 1 或﹣1 或 a2, 故 a=a ,得 a=1(舍去)或 a=0. 代入方程可得 x2﹣x﹣2=0, 解可得,其解为﹣1,2. 综合题 10.己知集合 A={sinα,cosα},则α的取值范围是 .{α|α≠kπ+ ,k∈z}
2

知识点 4、集合的分类 同步演练 1. 设集合 A={面积为 1 的矩形},B={面积为 1 的正三角形},则正确的是( A.A,B 都是有限集 C.A 是无限集,B 是有限集 2. 点的集合 M={(x,y)|xy≥0}是指( A.第一象限内的点集 C.第一、第三象限内的点集 3. ) B.第三象限内的点集 D.不在第二、第四象限内的点集 ) B.A,B 都是无限集 D.A 是有限集,B 是无限集 )

已知 M={(x,y)|2x+3y=4320,x,y∈N},N={(x,y)|4x﹣3y=1,x,y∈N}, (

7

A.M 是有限集,N 是有限集 C.M 是无限集,N 是有限集 4.

B.M 是有限集,N 是无限集 D.M 是无限集,N 是无限集 ) D.{x|1≤x≤2}

数轴上到 A(1) ,B(2)两点距离之和等于 1 的点的集合为( A.{0,3} B.{0,1,2,3} C.{1,2}

5.

(2010?福建)对于平面上的点集Ω,如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω,则称Ω为平面 上的凸集,给出平面上 4 个点集的图形如下(阴影区域及其边界) :其中为凸集的是 ②③ (写 出所有凸集相应图形的序号) .

综合提高 知识点 5、集合的表示 同步演练 1. 方程 x2﹣1=0 的解集用列举法表示为( A.{x ﹣1=0} 2. 将集合 A.{2,3} 3.
2

) C.{﹣1,1} ) D.(2,3) D.以上都不对

B.{x∈R|x ﹣1=0}

2

表示成列举法,正确的是( B.{(2,3)} ) C.{0,1,2} ) C.{x=2,y=3}

集合{x∈N+|x<3}的另一种表示法是( A.{0,1,2,3} B.{1,2,3}

D.{1,2}

4.

下面关于集合的表示正确的个数是(

①{2,3}≠{3,2}; ③{x|x>1}={y|y>1}; A.0 5.

②{(x,y)|x+y=1}={y|x+y=1}; ④{x|x+y=1}={y|x+y=1}. B.1 C.2 D.3 .{(0,5)(1,3)(2,1)} , ,

用列举法表示集合{(x,y)|2x+y﹣5=0,x∈N,y∈N}=

8

6. 7.

用描述法表示“被 3 除余 1 的正整数组成的集合” : 已知集合

.{x|x=3k+1,k∈N} .

有唯一实数解},用列举法表示集合 A 为

综合提高 第2节 知识点 1、子集 同步演练 1. 【2012 全国】已知集合 A = {x | x 是平行四边形 } , B = {x | x 是矩形 } , C = {x | x 是正方形 } , 集合的关系

D = {x | x 是菱形 } ,则
(A) A ? B 2. (B) C ? B (C) D ? C (D) A ? D

【2012 湖北】已知集合 A{x| x 2 -3x +2=0,x∈R } , B={x|0<x<5,x∈N },则满足条件 A ? C

? B 的集合 C 的个数为
A1 B2 C 3 D4

【解析】求解一元二次方程,得 A = x | x 2 ? 3x + 2 = 0, x ∈ R = x | ( x ? 1)( x ? 2 ) = 0, x ∈ R

{

} {

}

= {1, 2} ,易知 B = { x | 0 < x < 5, x ∈ N} = {1, 2,3, 4} .因为 A ? C ? B ,所以根据子集的定义,集合 C
必须含有元素 1,2,且可能含有元素 3,4,原题即求集合 {3, 4} 的子集个数,即有 22 = 4 个.故选 D. 3. (2008?四川)集合 A={﹣1,0,1},A 的子集中,含有元素 0 的子集共有( A 2个 4. B 4个 C 6个 ) D 15 D 8个 )

(2001?北京)集合 M={1,2,3,4,5}的子集个数是( A 32 B 31 C 16

5.

下列四个命题:①Φ={0};②空集没有子集;③任何一个集合必有两个或两个以上的子集;④空集 是任何一个集合的子集.其中正确的有( A 0个 B 1个 ) C 2个 D 3个

6.

2009 年国庆阅兵现场 60 名标兵担负着定位和武装警戒的任务,是受阅部队行进的参照物,同时还 要以良好的军姿军容展现国威军威.如果将每一名标兵看作一个元素,那么 60 名标兵形成的集合 的子集的个数是( )
9

A 120

B 60

C 260

D 260﹣1

解:由 60 名标兵形成的集合{a,b,c,…}的子集有:Φ,{a},{b},{c},{a,b}…{a,b,c},…共 260 个.故选 C. 7. 集合{x|x2﹣ax﹣1=0,a∈R}的子集个数是( A 4 B 3 ) C 1 D 与 a 的取值有关

解: 2﹣ax﹣1=0 中△=a2+4>0, ∵x 故关于 x 的一元二次方程 x2﹣ax﹣1=0 有两个不等实根, 故集合{x|x2 ﹣ax﹣1=0,a∈R}一定有 2 个元素,其子集有 22=4 个,故选 A 8. 下列四个关系: )

①0∈{0};②Φ?{0};③{0,1}?{(0,1)};④{(a,b)}={(b,a)}.其中正确的个数为( A 1 9. B 2 C 3 D 4

设 A={x|x2﹣4x+3≤0},B={x|x2﹣ax<x﹣a},且 A?B,求 a 的取值范围.

解:A={x|x2﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3}=[1,3];B={x|x2﹣ax<x﹣a}={x|x2﹣(a+1)x+a<0}={x|(x﹣1) (x ﹣a)<0} 记△=(a+1)2﹣4a=(a﹣1)2≥0, 当 a=1 时,B=? ,符合题意. 当 a<1 时 B=(a,1)不符合题意. 当 a>1 时 B=(1,a)还需 a≤3,即 1<a≤3 综上所述,求 a 的取值范围是 1≤a≤3. 10. 设集合 ,B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1<0}.

(1)当 x∈Z 时,求 A 的非空真子集的个数. (2)若 B=φ,求 m 的取值范围. (3)若 A?B,求 m 的取值范围. 解:化简集合 A={x|﹣2≤x≤5},集合 B 可写为 B={x|(x﹣m+1) (x﹣2m﹣1)<0} (1)∵x∈Z,∴A={﹣2,﹣1,0,1,2,3,4,5},即 A 中含有 8 个元素,∴A 的非空真子集数为 28﹣2=254(个) . (2)显然只有当 m﹣1=2m+1 即 m=﹣2 时,B=φ. (3)当 B=φ即 m=﹣2 时,B=φ?A; 当 B≠φ即 m≠﹣2 时,

10

(ⅰ)当 m<﹣2 时,B=(2m﹣1,m+1) ,要 B?A,只要 不存在; (ⅱ)当 m>﹣2 时,B=(m﹣1,2m+1) ,要 B?A,只要

,所以 m 的值



综合提高 11. (2011 湖南)设 M = {1, 2} , N = {a 2 } ,则“ a = 1 ”是“ N ? M ”则( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 )

D.既不充分又不必要条件

12. (2010?天津)设集合 A={x||x﹣a|<1,x∈R},B={x||x﹣b|>2,x∈R}.若 A?B,则实数 a,b 必 满足( A |a+b|≤3 ) B |a+b|≥3 C |a﹣b|≤3 D |a b|≥3 |a﹣b| b|≥

解:∵A={x|a﹣1<x<a+1},B={x|x<b﹣2 或 x>b+2},因为 A?B,所以 a+1≤b﹣2 或 a﹣1≥b+2,即 a﹣b≤﹣3 或 a﹣b≥3,即|a﹣b|≥3.故选 D. 13. (2004?湖北)设集合 P={m|﹣1<m≤0},Q={m∈R|mx 2+4mx﹣4<0 对任意实数 x 恒成立},则下 列关系中成立的是( Q A P?Q ) B Q?P C P=Q D ∩Q=Q

解:Q={m∈R|mx 2+4mx﹣4<0 对任意实数 x 恒成立},对 m 分类:①m=0 时,﹣4<0 恒成立; ②m<0 时,需△=(4m)2﹣4×m×(﹣4)<0,解得 m<0.综合①②知 m≤0,∴Q={m∈R|m≤0}. 故选 A 14. 已知集合 P={(x,y)||x|+|y|=1},Q={(x,y)|x2+y2≤1},则( Q A P?Q B P=Q C P?Q ) D P∩Q=Q

15. (2007?北京)记关于 x 的不等式 (I)若 a=3,求 P; (II)若 Q?P,求正数 a 的取值范围. 解: (1)由

的解集为 P,不等式|x﹣1|≤1 的解集为 Q.

,转化成(x﹣3) (x+1)<0,解可得 P={x|﹣1<x<3}.

(2)Q={x||x﹣1|≤3}={x|﹣2≤x≤4}. 当 a>﹣1 时,得 P={x|﹣1<x<a},又 P?Q,所以﹣1<a≤4, 当 a<﹣1 时,得 P={x|a<x<﹣1},又 P?Q,所以﹣2≤a<﹣1,

11

当 a=﹣1 时,得 P=Φ,满足 P?Q,所以,a=﹣1 符合题意.综上,a 的取值范围是[﹣2,4] 16. 若集合 A={x|x2+ax+1=0,x∈R},集合 B={1,2},且 A?B,求实数 a 的取值范围. 解: (1)若 A=φ,则△=a2﹣4<0,解得﹣2<a<2; (2)若 1∈A,则 12+a+1=0,解得 a=﹣2,此时 A={1},适合题意; (3)若 2∈A,则 22+2a+1=0,解得 围为[﹣2,2) 知识点 2、真子集 同步演练 1. 【2012 全国】已知集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则 (A)A?B ≠ 2. B B≠ (B)B?A (C)A=B (D)A∩B=? ) D 8 ) D 4 ) D (﹣∞,0] ) 此时 ,不合题意;综上所述,实数 m 的取值范

(2011?南康)集合{a,b,c}的真子集的个数是( A 3 B 6 C 7

3.

(2000?广东)已知集合 A={1,2,3,4},那么 A 的真子集的个数是( A 15 B 16 C 3

4.

若空集是集合{x|x2≤a,a∈R}的真子集,则实数 a 的取值范围是( A (0,+∞) B [0 +∞) [0,+ C (﹣∞,0)

5.

已知集合 A?{1,2,3},且 A 的元素中至少含有一个奇数,则满足条件的集合 A 共有( A 6个 B 5个 C 4个 D 3个

解:根据题意,集合 A?{1,2,3},且 A 的元素中至少含有一个奇数,则 A 的可能情况有{1}、{1,2}、 {1,3}、{3}、{2,3},共 5 个,故选 B. 6. 已知集合 A={x,1},B={y,1,2,4},且 A 是 B 的真子集.若实数 x 与 y 都在集合{0,1,2,3, 4}中,则不同的集合{x,y}共有( A 4个 B 5个 ) C 6个 D 7个

解:由 A 是 B 的真子集,则 x=2 或 x=4,y 在集合{0,1,2,3,4}中,由集合元素的互异性 y=0 或 y=3, 故集合{x,y}共有{2,0},{2,3},{4,0},{4,3}4 个,故选 A 7. (2002?天津)设集合 M= A M=N N B M?N ,N= C M?N ,则( )

D M∩N=Φ

12

解:当 k=2m(为偶数)时,N= 当 k=2m﹣1(为奇数)时,N= ∴M?N,故选 B 综合提高 8. (2006?湖南)设函数 数 a 的取值范围是( A.(﹣∞,﹣1) 解:函数 ) B.(0,1)

= = =M

,集合 M={x|f(x)<0},P={x|f'(x)>0},若 M?P,则实

1 + C.(1,+∞)

D.[1,+∞) >0,

,集合 M={x|f(x)<0},f'(x)=

若 a>1 时,M={x|1<x<a},P=R;若 a<1 时 M={x|a<x<1}, ,P=? ;a=1 时,M=? ;P={x|f'(x) >0}={x|x≠1}, 故选 C. 9. ( 2010 湖 南 ) 若 规 定 E= a1, a2 ...a10 的 子 集 ak1 ak2 ..., akn k= 2 1 + 2
k k
2

{

}

{

} 为 E 的第 k 个子集,其中

?1

+ ? + 2kn ?1 ,则

(1) a1, , a3 是 E 的第____个子集;5 (2)E 的第 211 个子集是_______ 2010 10. (2010 四川)设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 x, y ∈ S ,都有 x + y,x ? y,xy ∈ S ,则称 S 为封闭集。下列命题: ①集合 S={a+bi|( a,b 为整数, i 为虚数单位)}为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0 ∈ S ; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S ? T ? C 的任意集合 T 也是封闭集. 其中真命题是 解析:直接验证可知①正确. 当 S 为封闭集时,因为 x-y∈S,取 x=y,得 0∈S,②正确 对于集合 S={0},显然满足素有条件,但 S 是有限集,③错误 取 S={0},T={0,1},满足 S ? T ? C ,但由于 0-1=-1?T,故 T 不是封闭集,④错误
w_w w. k#s 5_u.c o*m w_w_w.k*s 5*u.c o*m

{

}

(写出所有真命题的序号)①②

13

知识点 3、相等 同步演练 11. 已知 A={﹣2,2011,x2﹣1},B={0,2011,x2+3x},且 A=B,则 x 的值为( A.1 或﹣1 B.0 C.﹣2 1 D.﹣1 ) )

12. 已知集合 P={y=x2+1}, Q={y|y=x2+1}, E={x|y=x2+1}, (x, |y=x2+1}, F={ y) G={x|x≥1}, 则( A P=F B Q=E C E=F ) D Q=G

13. 在下列各组中的集合 M 与 N 中,使 M=N 的是( A M={(1,﹣3)},N={(﹣3,1)} B M=φ,N={0}

C M={y|y=x2+1,x∈R},N={(x,y)|y=x2+1,x∈R} D M={y|y=x2+1 x∈R} N={t|t= y﹣1)2+1 y∈R} +1,x R} N={t|t=(y 1 +1,y R} R},N={t|t= )

14. 下列各组中的两个集合 M 和 N,表示同一集合的是( A M={π},N={3.14159} C M={x|﹣1<x≤1,x∈N},N={1}
k 15. 设集合 A={x|x=kπ+ (﹣1)

B M={2,3},N={(2,3)} D , , k∈Z}, 则集合 A 与 B 之间的关系为 ( ) D A∩B=φ ,k∈Z},B={x|x=2kπ+ ,

, k∈Z}, B={x|x=2kπ+

A A?B 解:A={x|x=kπ+(﹣1)k

B A?B ,k∈Z}={x|x=

C A=B

k∈Z}={x|x=

,k∈Z},

∴其中元素的本质上与集合 A 一样,∴A=B.故选 C. 16. 已知 a,b∈R,且集合{1,﹣b,2a+2 a}={2b,﹣1,a+b},则 b﹣a=( A ﹣1 B 1 C ﹣2


) D 2

17. 已知 M={2,a,b},N={2a,2,b2}且 M=N,求 a、b 的值.

解:由题意



,解得







根据集合中元素的互异性得



18. 设集合 P={x﹣y,x+y,xy},Q={x2+y2,x2﹣y2,0},若 P=Q,求 x,y 的值及集合 P、Q.
14

解:∵P=Q 且 0∈Q,∴0∈P. (1)若 x+y=0 或 x﹣y=0,则 x2﹣y2=0,从而 Q={x2+y2,0,0},与集合中元素的互异性矛盾,∴x+y≠0 且 x﹣y≠0; (2)若 xy=0,则 x=0 或 y=0. 当 y=0 时,P={x,x,0},与集合中元素的互异性矛盾,∴y≠0; 当 x=0 时,P={﹣y,y,0},Q={y2,﹣y2,0},

由 P=Q 得

①或



由①得 y=﹣1,由②得 y=1, ∴ 或 ,此时 P=Q={1,﹣1,0}.

19. 已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2}.若 A=B,求实数 c 的值. 解:若 ?a+ac2﹣2ac=0,

所以 a(c﹣1)2=0,即 a=0 或 c=1. 当 a=0 时,集合 B 中的元素均为 0,故舍去; 当 c=1 时,集合 B 中的元素均相同,故舍去. 若 ?2ac2﹣ac﹣a=0.

因为 a≠0,所以 2c2﹣c﹣1=0, 即(c﹣1) (2c+1)=0. 又 c≠1,所以只有 c=﹣ . 经检验,此时 A=B 成立.综上所述 c=﹣ . 综合提高 20. 设集合 A={x|x=a2+1,a∈N},B={y|y=b2﹣4b+5,b∈N},则下列关系中正确的是( A A=B B B 不属于 A C A 不属于 B D A∩B=空集 )

21. 设集合 A={x|f(x)=x},B={x|f[f(x)]=x}. (1)设 f(x)=x2﹣x﹣3,求集合 A 与 B;

15

(2)设 f(x)=x2﹣(2a﹣1)x+a2(常数 a∈R) ,求证:A=B. (3)猜测集合 A 与 B 的关系并给予证明. 解(1)由 A={x|f(x)=x},知集合 A 的元素就是方程 f(x)=x 的解. 即 f(x)=x?x2﹣x﹣3=x?x=﹣1 或 x=3.所以 A={﹣1,3}. 同理,集合 B 的元素就是方程 f[f(x)]=x 的解 即(x2﹣x﹣3)2﹣(x2﹣x﹣3)﹣3=x?(x2﹣x﹣3)2﹣ x2=0. . (2)由 f(x)=x2﹣(2a﹣1)x+a2, 得方程 f(x)﹣x=(x﹣a)2=0 的解为 x=a,所以 A={a}; 而方程 f[f(x)]=x 的解是集合 B 的元素, 即[f(x)]2﹣f(x)=[f(x)﹣a]2?[(x﹣a)2+x﹣a]2+(x﹣a)2=0. (x﹣a)2[(x﹣a+1)2+1]=0?x=a, 所以 B={a}. 故 A=B. (3)若 A=? ,显然 A?B;若 A≠? ,任取 x0∈A,于是 f(x0)=x0,则 f[f(x0)]=f(x0)=x0,所以 x0∈B,∴A?B. .所以

第2节 知识点 1、交集运算 同步演练 1.

集合的运算

【2102 福建】已知集合 M={1,2,3,4},N={-2,2},下列结论成立的是 B.M∪N=M C.M∩N=N D.M N={2} D.M∩N={2}

A.N ? M 2.

【2012 高考真题湖南文理 1】设集合 M={-1,0,1},N={x|x2≤x},则 M∩N= B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0}

A.{0} 3.

【2012 高考真题北京文理 1】已知集合 A={x∈R|3x+2>0} B={x∈R|(x+1)(x-3)>0} 则 A∩B=

A (- ∞ ,-1)B (-1,4.

2 2 ) C (- ,3) D (3,+ ∞ ) 3 3
(C)( 2,3] (D)[2,3]

(2011 年高考山东卷文科 1)设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0},N ={x|1≤x≤3},则 M∩N = (B)[1,2]

(A)[1,2) 5.

(2011 安徽理科 8)设集合 A = {1, 2,3, 4,5, 6} , B = {4,5, 6, 7}, 则满足 S ? A 且 S ∩ B ≠ Z 的集合
16

S为
(A)57 B 56 (B)56 (C)49 (D)8

【解析】集合 A 的所有子集共有 26 = 64 个,其中不含 4,5,6,7 的子集有 23 = 8 个,所以集合 S 共有 56 个.故选 B. 6. (2011 福建文) 若集合 M={-1,0,1} ,N={0,1,2} ,则 M∩N 等于 B.{-1,0,1} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}

A. 0,1} A.{0 1 7.

(2011 江西理)若集合 A = {x | ?1 ≤ 2 x + 1 ≤ 3}, B = {x | A. {x | ?1 ≤ x < 0} B. {x | 0 < x ≤ 1}

x?2 ≤ 0} ,则 A ∩ B = ( x
D. {x | 0 ≤ x ≤ 1}

)

C. {x | 0 ≤ x ≤ 2}

8.

(2011 辽宁文)已知集合 A={x | x > 1 },B={x | ?1 < x < 2 }},则 A ∩ B= { A.{x | ?1 < x < 2 } B.{x | x > ?1 } C.{x | ?1 < x < 1 } D.{x | 1 < x < 2 }

9.

(2011 全国文)已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M ∩ N ,则 P 的子集共有 A.2 个 B.4 个 4 C.6 个 -1≤x≤2},B={x -1≤x≤2} (C) {x D.8 个

10. (2010 陕西文数)集合 A={x (A){x

x<1},则 A∩B=( )
-1≤x≤1} (D) {x -1≤x<1} )

x<1}

(B){x

11. (2010 广东理数)若集合 A={ x -2< x <1},B={ x 0< x <2}则集合 A ∩ B=( A. { x -1< x <1} B. { x -2< x <1} C. { x -2< x <2}

D. { x 0< x <1} }

12. (2010 江西理)若集合 A= x | x ≤ 1 x ∈ R , B= y | y = x 2,x ∈ R ,则 A ∩ B =( , A.

{

}

{

}



{ x | ?1 ≤ x ≤ 1}

B.

{ x | x ≥ 0}

C.

{ x | 0 ≤ x ≤ 1}

D. ?

13. (2010 天津文数)(7)设集合 A = {x||x-a|<1,x ∈ R} , B = { x |1 < x < 5, x ∈ R} .若A ∩ B = ?, 则实 数 a 的取值范围是 (A) {a | 0 ≤ a ≤ 6} (B) {a | a ≤ 2, 或a ≥ 4} (C) {a | a ≤ 0, 或a ≥ 6} (D) {a | 2 ≤ a ≤ 4} 由图可知 a+1

【解析】由|x-a|<1 得-1<x-a<1,即 a-1<x<a+1.如图 : ≦1 或 a-1≧5,所以 a≦0 或 a≧6.

14. 设方程 x2﹣px﹣q=0 的解集为 A,方程 x2+qx﹣p=0 的解集为 B,若 A∩B={1},则 p+q=( A.2 B.0 1 C.1 D.﹣1



17

解:∵A∩B={1},∴一元二次方程方程 x2﹣px﹣q=0, ,方程 x2+qx﹣p=0 的都有一个根是 1, 根据一元二次方程根的定义,得 ∴解得 ∴p+q=1,故选 C. , )

15. 已知集合 M={a,0},N={x|2x2﹣5x<0,x∈Z},若 M∩N≠Φ,则 a 等于( A.1 B.2 C.1 或 2.5

1 D.1 或 2

解:∵N={x|2x2﹣5x<0,x∈Z}={1,2},又∵M={a,0},又∵M∩N≠Φ,∴a=1,或 a=2,故选 D 16. 【 2012 天 津 理 】 已 知 集 合 A = {x ∈ R | x + 2 < 3}, 集 合 B = {x ∈ R | ( x ? m)( x ? 2) < 0}, 且

A ∩ B = (?1, n), 则 m =__________,n = __________. ? 1,1
17. (2010 江苏卷)设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a=___________. 【 解 析 】 由 x + 2 < 3 , 得 ? 3 < x + 2 < 3 , 即 ? 5 < x < 1 , 所 以 集 合 A = {x ?5 < x < 1} , 因 为

A ∩ B = (?1,n) ,所以 ? 1是方程 ( x ? m)( x ? 2) = 0 的根,所以代入得 3(1 + m) = 0 ,所以 m = ?1 ,
此时不等式 ( x + 1)( x ? 2) < 0 的解为 ? 1 < x < 2 ,所以 A ∩ B = ( ?1 1) ,即 n = 1 。 , 18. 已知 A={x|ax﹣1=0},B={x|x2﹣5x+4=0},若 A∩B=A,求 a 的值,并确定集合 A. 解:∵B={x|x2﹣5x+4=0}={1,4},A∩B=A?A?B 当 a=0 时,A=Φ满足题意;当 a≠0 时,A={ } 所以 , 解得 a=1 或 a= 时,A={4} .

当 a=0 时,A=Φ,当 a=1 时,A={1},当 19. 已知集合 (1)若 A∩B=A,求 a 的取值范围; (2)若 A∩B≠Φ,求 a 的取值范围.

解: (1)解得 A=(﹣1,0];B=(a+1,a+4) ,∵A∩B=A 则 A?B,

即为﹣4<a≤﹣2;

(2)A∩B≠Φ,即满足

解得﹣4<a≤﹣2; ,

答:A∩B=A 时,a 的取值范围是﹣4<a≤﹣2;A∩B≠Φ,a 的取值范围是﹣4<a≤﹣2.

综合提高
18

20. 【 2012 重 庆 文 】 设 函 数 f ( x ) = x 2 ? 4 x + 3, g ( x ) = 3x ? 2, 集 合 M = {x ∈ R | f ( g ( x )) > 0},

N = {x ∈ R | g ( x) < 2}, 则 M ∩ N 为
(A) (1, +∞ ) (B) (0,1) (C) (-1,1) (D) ( ?∞,1)

【解析】由 f ( g ( x )) > 0 得 g 2 ( x) ? 4 g ( x) + 3 > 0 则 g ( x ) < 1或 g ( x ) > 3 即 3x ? 2 < 1 或 3x ? 2 > 3 所以

x < 1或 x > log 35 ;由 g ( x ) < 2 得 3x ? 2 < 2 即 3x < 4 所以 x < log 3 4 故.,选 D.
21. 【2012 陕西文理】集合 M = {x | lg x > 0} , N = {x | x 2 ≤ 4} ,则 M ∩ N = ( A. (1, 2) B. [1, 2) C. (1, 2] D. [1, 2] )

22. 【2012 安徽文】 设集合 A={ x | ?3 ≤ 2 x ? 1 ≤ 3 }, 集合 B 为函数 y = lg( x ? 1) 的定义域, A ∩ B= 则 (A) (1,2) (B)[1,2] (C)[ 1,2) D (1 2 (D) 1,2 ]

【解析】 A = {x ?3 ≤ 2 x ? 1 ≤ 3} = [ ?1, 2] , B = (1, +∞) ? A ∩ B = (1, 2] 23. (2011 广东理)已知集合 A =

{( x, y ) ∣ x, y 为实数,且 x

2

+ y 2 = 1} , B = {( x, y ) x, y 为实数,

且 y = x} ,则 A ∩ B 的元素个数为 A.0 B.1 2 C.2 D.3
2

24. (2011 广东文)已知集合 A =

{( x, y ) | x、y 为实数,且 x


+ y 2 = 1} , B = {( x, y ) | x、y 为实数,

且 x + y = 1} ,则 A ∩ B 的元素个数为( A.4 B.3 2 C.2

D.1

25. (10 湖北理)设集合 A = {( x, y ) | 4 A.4 B.3 C .2 D.1

x2 y 2 + = 1} , B = {( x, y ) | y = 3x } ,则 A ∩ B 的子集的个数是 4 16

26. 【12 上海理】若集合 A = {x | 2 x + 1 > 0} , B = {x || x ? 1 |< 2} ,则 A ∩ B = 知识点 2、并集运算 同步演练 1. 【2012 四川文】设集合 A = {a, b} , B = {b, c, d } ,则 A ∪ B = ( B、 {b, c, d } C、 {a, c, d } )

1 (? ,3) 2

A、 {b}

D、 {a, b, c, d }

19

2. A 3.

【2012 全国理】已知集合 A={1.3. 0或 3 B 0或3

m },B={1,m} ,A ∪ B=A, 则 m=
D 1或3

C 1或 3

(2010 广东文)若集合 A = {0,1,2,3} , B = { , 2,4} 则集合 A ∪ B = 1 A. {0,1,2,3,4} B. { ,2,3,4} 1 C. { ,2} 1 D.

{0}

4. 5.

(2012 上海春) 已知集合 A = [1, 2, k }, B = {2, 5}. 若 A ∪ B = {1, 2, 3, 5}, 则 k = ______.3 ) (2012 江苏) 已知集合 A = {1, , , B = {2 , , ,则 A ∪ B = ____. {1,2,4,6} ) 2 4} 4 6}

综合提高 6. 设集合 A={x||x﹣a|<3},B={x|x2﹣x﹣2>0},若 A∪B=R,则实数 a 的取值范围是( A.(﹣1,2] 1 2 B.(﹣1,2) C.[﹣2,1] )

D.(﹣2,﹣1)

解:由题意可得 A={x|a﹣3<x<a+3},B={x|x>2 或 x<﹣1} ∵A∪B=R,∴ ∴﹣1<a<2,故选 B ,

知识点 3、补集运算 同步演练 1. 【2012 广东理】设集合 U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4 },则 CuM= B. {1,3,5} {3,5,6} C.{3,5,6} D. {2,4,6}

A.U

2.

R 【2012 江西文】 若全集 U={x∈R|x2≤4} R B |x∈R |0≤x<2|

R A={x∈R||x+1|≤1}的补集 CuA 为 C |x R |0 x≤2| |x∈R |0<x R D |x∈R |0≤x≤2|

R A |x∈R |0<x<2| 3.

(2011 北京理)已知集合 P={x︱x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是 A.(-∞, -1] B.[1, +∞) [-1 C.[-1 1] [-1,1] D.(-∞,-1] ∪[1,+∞)

4.

(2011 北京文)已知全集 U=R,集合 P = x x 2 ≤ 1 ,那么 CU P = A.

{

}

( ?∞, ?1)

B.

(1, +∞ )
, (C) ,

C.

( ?1,1)
,则

D.

( ?∞, ?1) ∪ (1, +∞ )

5.

(2011 重庆文)设 (B) ,

(A) ,

,

(D)

,

,

20

6.

(2011 湖北理)已知 U = { y | y = log 2 x, x > 1} , P = ? y | y =

? ?

1 ? , x > 2 ? ,则 CU P = x ?

A. [ , +∞)

1 2

B. ? 0,

? ?

1? ? 2?

C.

( 0, +∞ )

D. ( ?∞, 0][ , +∞ )

1 2

7.

(2010 辽宁文)已知集合 U = {1,3,5, 7,9} , A = {1,5, 7} ,则 CU A = (A) {1,3} (B) {3, 7,9} (C) {3,5,9} (D) {3,9}

8. A. 9.

2010 (2010 山东文)已知全集 U = R ,集合 M = x x 2 ? 4 ≤ 0 ,则 CU M =

{

}

{x ?2 < x < 2}

B.

{ x ?2 ≤ x ≤ 2}

C. x x < ?2或x > 2

{

}

D.

{x x ≤ ?2或x ≥ 2}
。 {x | 0 < x < 1}

(2011 上海理) 若全集 U = R , 集合 A = {x | x ≥ 1} ∪ {x | x ≤ 0} , CU A = 则

10. (2011 上海文)若全集 U = R ,集合 A = {x | x ≥ 1} ,则 CU A = 知识点 4、交并补混合运算 同步演练 1.

{x | x < 1}

【2012 浙江理】设集合 A={x|1<x<4},集合 B ={x| x 2 -2x-3≤0}, 则 A∩(CRB)= A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪(3,4)

2.

【2012 浙江文】设全集 U={1,2,3,4,5,6} ,设集合 P={1,2,3,4} ,Q{3,4,5},则 P ∩(CUQ)= A.{1,2,3,4,6} B.{1,2,3,4,5} C.{1,2,5} D.{1,2}

3.

【2012 山东文理】已知全集 U = {0,1, 2,3, 4} ,集合 A = {1, 2,3} , B = {2, 4} ,则 CU A ∪ B 为 (B) {2,3, 4} (C) {0, 2, 4} (D) {0, 2,3, 4}

(A) {1, 2, 4} 4.

【2012 辽宁文理】已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,集合 A={0,1,3,5,8} ,集合 B={2,4,5,6,8} , 则 (CU A) ∩ (CU B ) 为 (A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}

5.

(2011 安徽文)集合 U = 1, 2, 3, 4, 5, 6} , S = 1, 4, 5} , T = 2, 3, 4} ,则 S ∩ (CU T ) 等于

{

{

{

(A) 1, 4, 5, 6} 6.

{

B (B)

{1, 5}

(C)

{4}

(D) 1, 2, 3, 4, 5} )

{

(2011 湖南文)设全集 U = M ∪ N = {1, 2,3, 4,5}, M ∩ CU N = {2, 4}, 则 N = (

21

A. {1, 2,3} 7.

B. {1,3,5}

C. {1, 4,5}

D. {2,3, 4} )

(2011 江西文)若全集 U = {1, 2,3, 4,5, 6}, M = {2,3}, N = {1, 4} ,则集合 {5, 6} 等于( A. M ∪ N B. M ∩ N C. (CU M ) ∪ (CU N ) D. (CU M ) ∩ (CU N )

8.

(2011 辽宁理) 已知 M, 为集合 u 的非空真子集, M, 不相等, N ∩ C u M ? , M ∪ N = N 且 N 若 则 A.M B.N C.I D. ? )

9.

已知全集 U={0,2,4,6,8,10},集合 A={2,4,6},B={1},则(CUA)∪B 等于( {0 A.{0 1,8,10} {0,1 8 10} B.{1,2,4,6} C.{0,8,10} D.Φ

10. 【 2012 高 考 真 题 四 川 理 】 设 全 集 U = {a, b, c, d } , 集 合 A = {a, b} , B = {b, c, d } , 则

CU A ∪ CU B ___________。 {a, c, d }
第4节 知识点 1、空集 同步演练 1. 下列四个集合中,是空集的是( A.{x|x+3=3} 2. ) C.{x|x2<x} D. {(x,y)|y2=﹣x2,x,y∈R} 空集与韦恩图

B.{x|x2﹣x+1=0}

下列命题: (1)空集没有子集; (2)任何集合至少有两个子集; (3)空集是任何集合的真子集; (4) 若? ?A,则 A≠? ,其中正确的有( A.0 个 B.1 个 ) C.2 个 D.3 个 ) D. M ∩ N ? A ∩ B

3.

A ∩ B = ? ,M={P|P 为 A 的子集},N={Q|Q 为 B 的子集},那么(
A. M ∩ N = ? B. M ∩ N = {?} C. M ∩ N = A ∩ B



解:由于 A、B 的子集中都有 ? ,即 ? ? A , ? ? B ,而 ? 相对 M、N 来说是作为一个元素的身份 出现,则 M ∩ N = {?} ,应选 B。

4.

已知集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且满足 B?A,求实数 m 的取值范围。 解:由 B?A 可知有以下两种情况:

?m + 1 ≥ ?2 ? 当 B≠?时,应满足不等式组 ?2m ? 1 ≤ 5 ? 2≤ m ≤3. ? m + 1 ≤ 2m ? 1 ?
当 B=?时,应满足 m+1>2m-1,解得 m<2。 以上两种情况取并集,得 m≤3。
22

5.

已知集合 A={x|-2≤x≤6},集合 B={x|p-1≤x≤2p-1}.若 B
p≥0.由 B

A,求实数 p 的取值范围.

解: ①当 B≠ 时,即 p-1≤2p-1

A 得:-2≤p-1 且 2p-1≤6,解得-1≤p≤

7 2

∴ 0≤p≤

7 ;②当 B= 时,即 p-1>2p-1 2

p<0;由①、②得:p≤

7 2

6.

已知集合 M={x|x2-3x+2=0},N={x|ax-2=0},且 M∪N=M,求实数 a 组成的集合 P。

2 解:由已知可得 M={1,2},当 a≠0 时,N= {x | x = } ,

a

故 a=1 或 2 时,均满足 M∪N=M。但是应当注意,当 a=0 时,N=?也满足 M∩U=M,故 P={0,1,2}。 7. 已知集合 A={x|x2-ax+a2-8a+19=0}, x|x2-4x+3=0}, x|x2-7x+12=0}, B={ C={ 满足 A∩B≠?, A∩C=?, 求实数 a 的值。 解:由已知可得 B={1,3},C={3,4},且 A∩B≠?,A∩C=?,∴3?A,4?A,1∈A。 把 x=1 代入 A 中的方程,得 a2-9a+20=0,解得 a=4 或 a=5。 若 a=4,则 A={1,3},A∩C={3}与已知 A∩C=?矛盾,故舍去; 若 a=5,则 A={1,4},A∩C={4}与已知 A∩C=?矛盾,故舍去。 综上所述,a∈?,即 a 不存在。 8. 已知集合 A={x|a≤x≤2a},若 A∪R+=R+,R+为正实数集,求实数 a 的取值范围。 解:当 A=?时,a<0,显然满足 A∪R+=R+; 当 A≠?时,a≥0,又 A∪R+=R+,须满足 a>0。 综上所述,a∈(-∞,0)∪(0,+∞)。 9. 设集合 A = {x| x 2 + 4 x = 0} , B = {x| x 2 + 2( a + 1) x + a 2 ? 1 = 0} , A ? B , 若 求实数 a 的范围。 解:A= {x| x 2 + 4 x = 0} = {0, ? 4} 。由 B ? A ,得 B= ? ,或{0},或{-4},或{0,-4}。 ①当 B= ? 时, ? = 4( a + 1) 2 ? 4( a 2 ? 1) < 0 ,解得 a < ?1 。

②当 B={0}时,由两根为 0 及韦达定理得 ?

?2(a + 1) = 0
2 ?a ? 1 = 0

,解得 a=-1。

③当 B={-4}时,由两根为-4 及韦达定理得 ?

?2(a + 1) = 8
2 ?a ? 1 = 16

,无解。

④当 B={0,-4}时,由韦达定理得 ?

?2(a + 1) = 4
2 ?a ? 1 = 0

,解得 a=1。

综上①②③④知,所求实数 a 的范围为 ( ?∞, ? 1] ∪{1} 。

23

10.已知 A = {x| x 2 ? 3x ? 10 ≤ 0},B = {x| m + 1 ≤ x ≤ 2m ? 1} ,若 A ∪ B =A,求实数 m 的范围。 解: A = {x| x 2 ? 3x ? 10 ≤ 0} = {x|?2 ≤ x ≤ 5} ①若 m + 1 > 2m ? 1 ,即 m < 2 时, B = ? ,适合题意。 ②若 m + 1 = 2m ? 1 ,即 m = 2 时, B = {3} ,适合题意。

③若 m + 1 < 2m ? 1 ,即 m > 2 时,要使 B ? A 成立,只需 ? 解得 ?3 ≤ m ≤ 3 。从而可得 2 < m ≤ 3 ,适合题意。 综上①②③知,所求 m 的范围应为 ( ?∞,3] 知识点 2、韦恩图 同步演练

?2m ? 1 ≤ 5 ?m + 1 ≥ ?2

综合提高

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