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湖北省宜昌市2015届高考数学一模试卷(文科)


湖北省宜昌市 2015 届高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:每小题 5 分,共 50 分.在四个选项中只有一项是符合题目要求的. 2 1.已知集合 M={x|﹣2≤x<2},集合 N={x|x ﹣2x﹣3≥0},则 M∩N 等于( ) A.[﹣1,1] B.[1,2) C.[﹣2,﹣1] D.[1,2) 2.给出如下四个命题: ①若“p 且 q”为假命题,则 p,q

均为假命题; 3 3 3 3 ②命题“若 a>b,则 a >b ”的否命题为“若 a≤b,则 a ≤b ”; 2 2 ③“?x∈R, x +1≥1”的否定是“?x∈R,x +1≤1”; ④在△ ABC 中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件. 其中正确的命题序号是( ) A.①② B.②④ C.②③

D.①④

3.设{an}的首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4 成等比数 列,则 a1=( ) A.2 B.﹣2 C. D.﹣

4.下列命题正确的是( ) A.直线 a 与平面 α 不平行,则 a 与平面 α 内的所有直线都不平行 B.直线 a 与平面 α 不垂直,则 a 与平面 α 内的所有直线都不垂直 C.异面直线 a,b 不垂直,则过 a 的任何平面与 b 都不垂直 D.若直线 a 和 b 共面,直线 b 和 c 共面,则 a 和 c 共面

5.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=y﹣2x 的最小值为(

)

A.﹣7

B.﹣4

C .1

D.2

6.如图,面积为 8 的平行四边形 OABC,对角线 AC⊥OC,AC 与 BO 交于点 E,某指数函 x 数 y=a (a>0,且 a≠1)的图象经过点 E,B,则 a=( )

A.

B.

C .2

D.3

7.设 F1、F2 是双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A 是其右支上一点,连接 )

AF1 交双曲线的左支于点 B,若|AB|=|AF2|,且∠BAF2=60°,则该双曲线的离心率为( A. B. C .2 ﹣1 D.

8. 由无理数引发的数学危机已知延续带 19 世纪, 直到 1872 年, 德国数学家戴德金提出了“戴 德金分割”,才结束了持续 2000 多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割,是指将 有理数集 Q 划分为两个非空的子集 M 与 N,且满足 M∪N=Q,M∩N=?,M 中的每一个元 素都小于 N 中的每一个元素,则称(M,N)为戴金德分割.试判断,对于任一戴金德分割 (M,N) ,下列选项中不可能恒成立的是( ) A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素 C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素

二、填空题:本大题共 7 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 9.已知平面向量 =(1,2) , =(1,k ﹣1) ,若 ⊥ ,则 k=__________.
2 2 2 2

10.已知 x+2y+3z=2,则 x +y +z 的最小值是__________. 11.如图,一桥拱的形状为抛物线,该抛物线拱的高为 h=6m,宽为 b=24m,则该抛物线拱 的面积为__________m .
2

12.若以曲线 y=f(x)上任意一点 M(x1,y1)为切点作切线 l1,曲线上总存在异于 M 的 点 N(x2,y2) ,以点 N 为切点作切线 l2,且 l1∥l2,则称曲线 y=f(x)具有“可平行性”.现 有下列命题: ①函数 y=(x﹣2) +lnx 的图象具有“可平行性”; ②定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)的奇函数 y=f(x)的图象都具有“可平行性”; 3 2 ③三次函数 f(x)=x ﹣x +ax+b 具有“可平行性”,且对应的两切点 M(x1,y1) ,N(x2, y2)的横坐标满足 x1+x2= ;
2

④要使得分段函数 ( f x) =

的图象具有“可平行性”, 当且仅当实数 m=1. 其

中的真命题是__________. (写出所有真命题的序号) 13. 若抛物线 y =2px (p>0) 上一点 A 到焦点和到 x 轴的距离分别为 10 和 6, 则 p=__________. 14.如图,两高速公路线垂直相交于站 A,若已知 AB=100 千米,甲汽车从 A 站出发,沿 AC 方向以 50 千米/小时的速度行驶,同时乙汽车从 B 站出发,一年 BA 方向以 v 千米/小时 的速度行驶,至 A 站即停止前行(甲车仍继续行驶) (两车的车长忽略不计) . (1)甲、乙两车的最近距离为__________(用含 v 的式子表示) ; (2)若甲、乙两车从开始行驶到甲、乙两车相距最近时所用时间为 t0 小时,则当 v 为 __________时 t0 最大.
2

15.定义域为 R 的偶函数 f(x)满足对?x∈R,有 f(x+2)=f(x) ,且当 x∈[0,1]时,f(x) =2x ﹣4x+2,若函数 g(x)=f(x)﹣loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则 a 的 取值范围是__________.
2

三、解答题:共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知函数 f(x)=1+2 sinxcosx﹣2sin x(x∈R) (1)求函数 f(x)的单调增区间; (2)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a=3,b= 角 C.
2

,f(A)=1,求

17. 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ∠BAD=60°, 已知 PB=PD=2, PA= . (1)证明:PC⊥BD; (2)若 E 为 PA 的中点,求三棱锥 E﹣ABC 的体积.

18.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=7,a2 为整数,当且仅当 n=4 时 Sn 取得最大值. (1)求数列{an}的通项公式; n+1 (2)设 bn=(9﹣an)?2 ,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn. 19.已知函数 f(x)=ax +(b﹣ )x+c(a≠0)过坐标原点,且在 x=1 处的切线方程为 x﹣y ﹣1=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)设 g(x)=lnx﹣f(x)f′(x) ,求 g(x)的最大值及相应的 x 值; (3)对于任意正数 x,恒有 f(x)+f( )﹣2≥(x+ )?lnm,求实数 m 的取值范围.
2

20.在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 上的任意一点到点 A(﹣1,0) ,B(1,0)的 距离之和为 2 . (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C2:x +
2

=1,若斜率为 k 的直线 OM 交椭圆 C2 于点 M,垂直于 OM 的直

线 ON 交曲线 C1 于点 N. (i)求证:|MN|的最小值为 ; (ii)问:是否存在以原点为圆心且与直线 MN 相切的圆?若存在,求出圆的方程;若不存 在,请说明理由.

湖北省宜昌市 2015 届高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:每小题 5 分,共 50 分.在四个选项中只有一项是符合题目要求的. 2 1.已知集合 M={x|﹣2≤x<2},集合 N={x|x ﹣2x﹣3≥0},则 M∩N 等于( ) A.[﹣1,1] B.[1,2) C.[﹣2,﹣1] D.[1,2) 考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:求出 N 中不等式的解集确定出 N,找出 M 与 N 的交集即可. 解答: 解:由 N 中不等式变形得: (x﹣3) (x+1)≥0, 解得:x≤﹣1 或 x≥3,即 N=(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) , ∵M=[﹣2,2) , ∴M∩N=[﹣2,﹣1], 故选:C. 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.给出如下四个命题: ①若“p 且 q”为假命题,则 p,q 均为假命题; ②命题“若 a>b,则 a >b ”的否命题为“若 a≤b,则 a ≤b ”; 2 2 ③“?x∈R,x +1≥1”的否定是“?x∈R,x +1≤1”; ④在△ ABC 中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件. 其中正确的命题序号是( ) A.①② B.②④ C.②③ D.①④ 考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑. 分析: ①根据复合命题与简单命题之间的关系进行判断. ②根据否命题的定义进行判断. ③ 根据含有量词的命题的否定进行判断.④根据正弦定理及充要条件的定义进行判断. 解答: 解:①若“p 且 q”为假命题,则 p、q 至少有一个为假命题,∴①错误. a b a b ②根据命题的否命题可知,命题“若 a>b,则 2 >2 ﹣1”的否命题为“若 a≤b,则 2 ≤2 ﹣1”, ∴②正确. 2 2 ③全称命题的否定是特称命题,得③“?x∈R,x +1≥1”的否定是“?x∈R,x +1<1”.∴③错 误. ④在△ ABC 中,sinA>sinB?sinA?2R>sinB?2R?a>b?A>B,∴④正确; 故②④正确; 故选:B. 点评: 本题主要考查四种命题之间的关系, 复合命题与简单命题之间的关系以及含有量词的 命题的否定,充要条件的定义,比较基础. 3.设{an}的首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4 成等比数 列,则 a1=( ) A.2 B.﹣2 C. D.﹣
3 3 3 3

考点:等比数列的性质;等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由等差数列的前 n 项和求出 S1,S2,S4,然后再由 S1,S2,S4 成等比数列列式求解 a1. 解答: 解:∵{an}是首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和, ∴S1=a1,S2=2a1﹣1,S4=4a1﹣6, 由 S1,S2,S4 成等比数列,得: 即 ,解得: , .

故选:D. 点评:本题考查等差数列的前 n 项和公式,考查了等比数列的性质,是基础的计算题. 4.下列命题正确的是( ) A.直线 a 与平面 α 不平行,则 a 与平面 α 内的所有直线都不平行 B.直线 a 与平面 α 不垂直,则 a 与平面 α 内的所有直线都不垂直

C.异面直线 a,b 不垂直,则过 a 的任何平面与 b 都不垂直 D.若直线 a 和 b 共面,直线 b 和 c 共面,则 a 和 c 共面 考点:命题的真假判断与应用;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离;简易逻辑. 分析:找出反例判断 A 的正误;通过直线与平面内的直线的关系判断 B 的正误;反证法判 断 C 的正误;通过反例判断 D 的正误; 解答: 解:对于 A,若直线 a 与平面 α 不平行,则直线 a 也可能在平面 α 内,则此时 a 与平面 α 内的无数条直线平行,故 A 错误; 对于 B,若直线 a 与平面 α 不垂直,如果直线 a 也在平面 α 内,则 a 与平面 α 内的有无数条 直线都垂直,故 B 错误; 对于 C,假设过 a 的平面 α 与 b 垂直,由线面垂直的定义,则 a⊥b,这与异面直线 a、b 不 垂直相矛盾,故 C 正确 对于 D,直线 a 和 b 共面,直线 b 和 c 共面,a 和 c 可能平行、相交也可能异面,故 a 和 c 不一定共面,故 D 错误 即 4 个结论中有 3 个是错误的.只有 C 正确. 故选:C. 点评:本题考查直线与平面,直线与直线的位置关系,命题的真假的判断,要证明一个结论 是正确的,要经过严谨的论证,要找到能充分说明问题的相关公理、定理、性质进行说明; 但要证明一个结论是错误的,只要举出反例即可

5.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=y﹣2x 的最小值为(

)

A.﹣7

B.﹣4

C .1

D.2

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:先根据条件画出可行域,设 z=y﹣2x,再利用几何意义求最值,将最小值转化为 y 轴 上的截距最小,只需求出直线 z=y﹣2x,过可行域内的点 B(5,3)时的最小值,从而得到 z 最小值即可.

解答: 解:设变量 x、y 满足约束条件



在坐标系中画出可行域三角形, 平移直线 y﹣2x=0 经过点 A(5,3)时,y﹣2x 最小,最小值为:﹣7, 则目标函数 z=y﹣2x 的最小值为﹣7. 故选 A.

点评: 借助于平面区域特性, 用几何方法处理代数问题, 体现了数形结合思想、 化归思想. 线 性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定. 6.如图,面积为 8 的平行四边形 OABC,对角线 AC⊥OC,AC 与 BO 交于点 E,某指数函 数 y=a (a>0,且 a≠1)的图象经过点 E,B,则 a=(
x

)

A.

B.

C .2

D.3

考点:指数函数的图像与性质. 专题:函数的性质及应用. t t t 2t t 分析:首先设点 E(t,a ) ,则点 B 坐标为(2t,2a ) ,又因为 2a =a ,所以 a =2;然后根据 t 平行四边形的面积是 8,求出 t 的值,代入 a =2,求出 a 的值即可. t t 解答: 解:设点 E(t,a ) ,则点 B 坐标为(2t,2a ) , t 2t 又因为 2a =a , t 所以 a =2; t 因为平行四边形 OABC 的面积 S=OC×AC=a ×2t=4t,又平行四边形 OABC 的面积为 8 所以 4t=8,t=2, 2 所以 a =2, 即 a= 点评:本题主要考查了指数函数的图象和性质,属于基础题.

7.设 F1、F2 是双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A 是其右支上一点,连接 )

AF1 交双曲线的左支于点 B,若|AB|=|AF2|,且∠BAF2=60°,则该双曲线的离心率为(

A.

B.

C .2

﹣1

D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;解三角形;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由题意可得△ BAF2 为等边三角形,设 AF2=t,则 AB=BF2=t,再由双曲线的定义,求 得 t=4a,再由余弦定理可得 a,c 的关系,结合离心率公式即可计算得到. 解答: 解:若|AB|=|AF2|,且∠BAF2=60°, 则△ BAF2 为等边三角形, 设 AF2=t,则 AB=BF2=t, 由双曲线的定义可得, AF1﹣AF2=2a,BF2﹣BF1=2a,AF1=AB+BF1, 即有 t+2a=2t﹣2a, 解得,t=4a, AF1=6a,AF2=4a,F1F2=2c, 由余弦定理可得, F1F2 =AF1 +AF2 ﹣2AF1?AF2cos60°, 即有 4c =36a +16a ﹣2×6a×4a× , 即为 4c =28a , 则有 e= = .
2 2 2 2 2 2 2 2

故选 D. 点评:本题考查双曲线的离心率的求法,考查双曲线的定义的运用,考查余弦定理的运用, 考查运算能力,属于中档题. 8. 由无理数引发的数学危机已知延续带 19 世纪, 直到 1872 年, 德国数学家戴德金提出了“戴 德金分割”,才结束了持续 2000 多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割,是指将 有理数集 Q 划分为两个非空的子集 M 与 N,且满足 M∪N=Q,M∩N=?,M 中的每一个元 素都小于 N 中的每一个元素,则称(M,N)为戴金德分割.试判断,对于任一戴金德分割 (M,N) ,下列选项中不可能恒成立的是( ) A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素 C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素 考点:子集与真子集. 专题:计算题;集合. 分析:由题意依次举例对四个命题判断,从而确定答案. 解答: 解:若 M={x∈Q|x<0},N={x∈Q|x≥0};则 M 没有最大元素,N 有一个最小元素 0; 故 A 正确; 若 M={x∈Q|x< }, N={x∈Q|x≥ }; 则 M 没有最大元素, N 也没有最小元素; 故 B 正确; 若 M={x∈Q|x≤0},N={x∈Q|x>0};M 有一个最大元素,N 没有最小元素,故 D 正确; M 有一个最大元素,N 有一个最小元素不可能,故 C 不正确;

故选 C. 点评:本题考查了学生对新定义的接受与应用能力,属于基础题. 二、填空题:本大题共 7 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 9.已知平面向量 =(1,2) , =(1,k ﹣1) ,若 ⊥ ,则 k=
2



考点:平面向量数量积的运算. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析:运用向量垂直的条件:数量积为 0,由数量积的坐标表示,解方程即可得到 k. 解答: 解:平面向量 =(1,2) , =(1,k ﹣1) , 若 ⊥ ,则
2 2

=0,

即 1+2(k ﹣1)=0, 解得,k= 故答案为: . .

点评:本题考查平面向量垂直的条件:数量积为 0,考查运算能力,属于基础题. 10.已知 x+2y+3z=2,则 x +y +z 的最小值是 .
2 2 2

考点:二维形式的柯西不等式. 专题:不等式的解法及应用. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 分析:由条件利用柯西不等式(1 +2 +3 ) (x +y +z )≥(x+2y+3z) ,求得 x +y +z 的最 小值. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 解答: 解:1 +2 +3 =14,∴由柯西不等式可得(1 +2 +3 ) (x +y +z )≥(x+2y+3z) =4, ∴x +y +z ≥
2 2 2

= ,即 x +y +z 的最小值是

2

2

2



故答案为: . 点评:本题主要考查了函数的最值,以及柯西不等式的应用,解题的关键是利用柯西不等式 2 2 2 2 2 2 2 (1 +2 +3 ) (x +y +z )≥(x+2y+3z) ,进行解决. 11.如图,一桥拱的形状为抛物线,该抛物线拱的高为 h=6m,宽为 b=24m,则该抛物线拱 2 的面积为 96m .

考点:抛物线的应用. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:建立坐标系,设抛物线方程为 x =﹣2py(p>0) ,则将(12,﹣6)代入可得 p=12, y=﹣ ,该抛物线拱的面积为 2(12×6﹣ ) ,即可得出结论.
2 2

解答: 解:由题意,建立如图所示的坐标系,设抛物线方程为 x =﹣2py(p>0) ,则 将(12,﹣6)代入可得 p=12,∴y=﹣ ∴该抛物线拱的面积为 2(12×6﹣ 故答案为:96. , )=2(72﹣24)=96m ,
2

点评: 解决该试题的关键是利用定积分表示出抛物线拱的面积, 然后借助于定积分得到结论. 12.若以曲线 y=f(x)上任意一点 M(x1,y1)为切点作切线 l1,曲线上总存在异于 M 的 点 N(x2,y2) ,以点 N 为切点作切线 l2,且 l1∥l2,则称曲线 y=f(x)具有“可平行性”.现 有下列命题: 2 ①函数 y=(x﹣2) +lnx 的图象具有“可平行性”; ②定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)的奇函数 y=f(x)的图象都具有“可平行性”; 3 2 ③三次函数 f(x)=x ﹣x +ax+b 具有“可平行性”,且对应的两切点 M(x1,y1) ,N(x2, y2)的横坐标满足 x1+x2= ;

④要使得分段函数 ( f x) =

的图象具有“可平行性”, 当且仅当实数 m=1. 其

中的真命题是④. (写出所有真命题的序号) 考点:命题的真假判断与应用. 专题:新定义;简易逻辑. 分析:根据导数的几何意义,将定义转化为:“方程 y′=a(a 是导数值)至少有两个根”,利 用:y′=﹣4+ 时,x 的取值唯一判断①不符合;对于②,举例说明不正确;对于③, 求出导数列出方程化简后判断;对于④,由两分段函数的导数的值域相等求得满足条件的 m 值判断. 解答: 解:由“可平行性”的定义,可得曲线 y=f(x)具有“可平行性”,则方程 y′=a(a 是 导数值)至少有两个根. ①函数 y= (x﹣2)+lnx, 则 即 2x ﹣(4+a)x+1=0,当 a=﹣4+
2 2

(x>0) , 方程 时有两个相等正根,不符合题意;



②定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,如 y=x,x∈(﹣∞,0)∪(0,+∞)在各点 处没有切线,∴②错误; ③三次函数 f(x)=x ﹣x +ax+b,则 f′(x)=3x ﹣2x+a,方程 3x ﹣2x+a﹣m=0 在(﹣2) 2 ﹣12(a﹣m)≤0 时不满足方程 y′=a(a 是导数值)至少有两个根.命题③错误; x x ④函数 y=e ﹣1(x<0) ,y′=e ∈(0,1) , 函数 y=x+ , ∴x>1,则 m=1. = ,由 ,得 ,
3 2 2 2

故要使得分段函数 f(x)=

的图象具有“可平行性”,当且仅当实数 m=1,

④正确. ∴正确的命题是②④. 故答案为:④. 点评:本题考查了导数的几何意义,关键是将定义正确转化为:曲线上至少存在两个不同的 点,对应的导数值相等,综合性较强,考查了转化思想. 13. 若抛物线 y =2px (p>0) 上一点 A 到焦点和到 x 轴的距离分别为 10 和 6, 则 p=2 或 18. 考点:抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由抛物线方程得到焦点 F( ,0) ,设 A(x, ) ,由 A 到焦点和到 x 轴的距离
2

分别为 10 和 6,利用抛物线定义和两点间距离公式建立方程组,能求出 p 的值. 2 解答: 解:∵点 A 是抛物线 y =2px(p>0)上一点, ∴焦点 F( ,0) ,可设 A(x, ) ,

∵A 到焦点和到 x 轴的距离分别为 10 和 6, ∴
4 2



整理,得 p ﹣328p +1296=0, 2 2 解得 p =4,或 p =324, ∴p=2,或 p=8. 故答案为:2 或 8. 点评:本题考查抛物线的简单性质的应用,是中档题,解题时要注意两点间距离公式的合理 运用. 14.如图,两高速公路线垂直相交于站 A,若已知 AB=100 千米,甲汽车从 A 站出发,沿 AC 方向以 50 千米/小时的速度行驶,同时乙汽车从 B 站出发,一年 BA 方向以 v 千米/小时 的速度行驶,至 A 站即停止前行(甲车仍继续行驶) (两车的车长忽略不计) .

(1)甲、乙两车的最近距离为

(用含 v 的式子表示) ;

(2)若甲、乙两车从开始行驶到甲、乙两车相距最近时所用时间为 t0 小时,则当 v 为 50 千米/小时时 t0 最大.

考点:函数模型的选择与应用. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)设乙车行驶 t 小时到 D,甲车行驶 t 小时到 E,分类讨论,利用二次函数确定最 值; (2)利用基本不等式,即可求得结论. 解答: 解: (1)设乙车行驶 t 小时到 D,甲车行驶 t 小时到 E 2 2 2 2 2 2 2 若 0≤vt≤100,则 DE =AE +AD =(100﹣vt) +(50t) =(2500+v )t ﹣200vt+10000 ∴t= 时,DE 取到最小值,DE 也取到最小值,最小值为
2



若 vt>100,乙车停止,甲车继续前行,DE 越来越大,无最大值 综上,甲,乙两车的最近距离为 千米;

(2)t0=

=



=1,

当且仅当 v= 故答案为:

,即 v=50 千米/小时,t0 最大, ;50 千米/小时;

点评:本题考查函数模型的构建,考查基本不等式的运用,属于中档题. 15.定义域为 R 的偶函数 f(x)满足对?x∈R,有 f(x+2)=f(x) ,且当 x∈[0,1]时,f(x) 2 =2x ﹣4x+2,若函数 g(x)=f(x)﹣loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则 a 的 取值范围是 a .

考点:函数奇偶性的性质;函数零点的判定定理. 专题:函数的性质及应用.

分析:由 f(x+2)=f(x)得出函数的周期,由 y=f(x)﹣loga(x+1)=0 得到 f(x)=loga (x+1) ,利用函数的周期性和偶函数的性质,分别作出函数 y=f(x)和 y=loga(x+1)的图 象,利用图象确定 a 的取值范围. 解答: 解:由 y=f(x)﹣loga(x+1)=0 得到 f(x)=loga(x+1) , 因为偶函数 f(x)满足对?x∈R,有 f(x+2)=f(x) , 所以偶函数的周期是 2, 由题意得,当 x∈[0,1]时,f(x)=2x ﹣4x+2, 分别作出函数 y=f(x)和 g(x)=loga(x+1)的图象, 已知 0<a<1 不满足条件, 则 a>1,要使函数 y=f(x)﹣loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点, 由图可得,loga(2+1)<f(2)=f(0)=2, 即 loga3< 解得 a , 故答案为:a ,则 a >3,
2 2



点评:本题主要考查函数零点应用,利用数形结合,将方程转化为两个函数图象的相交问题 是解决此类问题的基本方法.综合性较强. 三、解答题:共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 16.已知函数 f(x)=1+2 sinxcosx﹣2sin x(x∈R) (1)求函数 f(x)的单调增区间; (2)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a=3,b= 角 C. 考点:三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用三角函数中的恒等变换应用,化简可得 f(x)=2sin(2x+ 数的单调性,由不等式 2kπ﹣ (2)由 f(A)=2sin(2A+ ≤2x+ ≤2kπ+ ) ,利用正弦函

,f(A)=1,求

,k∈Z 可求得 f(x)的单调增区间; )= ,A∈(0,π) ,即可求得 A 的值,再

)=1?sin(2A+

结合正弦定理可求得 B 的值,从而可得角 C. 解答: 解:f(x)=1+2 (1)由 2kπ﹣ ≤2x+ sinxcosx﹣2sin x= ,k∈Z 得 kπ﹣
2

sin2x+cos2x=2sin(2x+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z.



≤2kπ+

∴函数 f(x)的单调递增区间为[kπ﹣

,kπ+

],k∈Z.

(2)f(A)=1?2sin(2A+ ∵A∈(0,π) , ∴2A+ ∴2A+ ∈( = , ,A= ) , ,

)=1?sin(2A+

)= .

由正弦定理得 sinB= 又 b<a, ∴B∈(0, ∴B= 故 C= . ﹣ = . ) ,

=

= .

点评: 本题考查三角函数中的恒等变换应用, 考查正弦函数的单调性与特殊角的三角函数值, 考查正弦定理的应用,属于中档题. 17. 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ∠BAD=60°, 已知 PB=PD=2, PA= . (1)证明:PC⊥BD; (2)若 E 为 PA 的中点,求三棱锥 E﹣ABC 的体积.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;棱锥的结构特征. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (1)连接 BD,AC 交于 O 点,由已知得 PO⊥BD,BD⊥AC,从而 BD⊥面 PAC,由 此能证明 BD⊥PC. (2)由 VE﹣ABC=VB﹣AEC,利用等积法能求出三棱锥 E﹣ABC 的体积. 解答: (1)证明:连接 BD,AC 交于 O 点, ∵PB=PD,∴PO⊥BD, 又∵ABCD 是菱形,∴BD⊥AC,

而 AC∩PO=O,∴BD⊥面 PAC, ∴BD⊥PC. (2)解:由(1)知 BD⊥面 PAC, = ∴VE﹣ABC=VB﹣AEC= = =3, = .

点评:本题考查异面直线垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,解题时要注意空间思维能 力的培养. 18.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=7,a2 为整数,当且仅当 n=4 时 Sn 取得最大值. (1)求数列{an}的通项公式; n+1 (2)设 bn=(9﹣an)?2 ,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn. 考点:数列的求和;等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)由当且仅当 n=4 时 Sn 取得最大值,可得 a4>0,a5<0.再利用等差数列的通项 公式即可得出; (2)利用“错位相减法”、等比数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (1)∵当且仅当 n=4 时 Sn 取得最大值, ∴a4>0,a5<0. ∴ ,解得 .

又 a2 为整数,∴7+d 为整数, ∴d 为整数,∴d=﹣2. 故 an=7﹣2(n﹣1)=9﹣2n. n+1 n (2)bn=(9﹣an)?2 =n?2 . 2 3 n ∴数列{bn}的前 n 项和为 Tn=1×2+2×2 +3×2 +…+n×2 , 2 3 4 n n+1 2Tn=2 +2×2 +3×2 +…+(n﹣1)×2 +n?2 , ∴﹣Tn=2+2 +2 +…+2 ﹣n×2 ∴
2 3 n n+1

=

﹣n×2

n+1

=(1﹣n)×2

n+1

﹣2,



点评:本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题.

19.已知函数 f(x)=ax +(b﹣ )x+c(a≠0)过坐标原点,且在 x=1 处的切线方程为 x﹣y ﹣1=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)设 g(x)=lnx﹣f(x)f′(x) ,求 g(x)的最大值及相应的 x 值; (3)对于任意正数 x,恒有 f(x)+f( )﹣2≥(x+ )?lnm,求实数 m 的取值范围.

2

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;二次函数的性质. 专题:计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)由函数 f(x)=ax +(b﹣ )x+c(a≠0)过坐标原点可得 f(0)=c=0,从而求导 f′(x)=2ax+(b﹣ ) ,从而得到 f′(1)=2a+(b﹣ )=1 且 f(1)=a+b﹣ =0;从而解得;
3 2 2

(2) 化简 g (x) =lnx﹣f (x) f( ′ x) =lnx﹣2x +3x ﹣x; 求导 g( ′ x) = 从而求最值; (3) x>0 时, 不等式 x + ﹣ ﹣1;从而求得. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=ax +(b﹣ )x+c(a≠0)过坐标原点, ∴f(0)=c=0, ∴f′(x)=2ax+(b﹣ ) , 由函数 f(x)在 x=1 处的切线方程为 x﹣y﹣1=0 知, f′(1)=2a+(b﹣ )=1 且 f(1)=a+b﹣ =0; 解得 a=1,b=﹣ ; ∴f(x)=x ﹣x. 3 2 (2)g(x)=lnx﹣f(x)f′(x)=lnx﹣2x +3x ﹣x; ∵g′(x)= ;
2 2 2



﹣ (x+ ) ﹣2≥ (x+ ) ?lnm 恒成立, 令 x+ =t, (t≥2) , 则 lnm≤t

∴当 x∈(0,1)时,g(x)单调递增;当 x∈(1,+∞)时,g(x)单调递减. ∴当 x=1 时,g(x)有最大值,且 gmax(x)=0; (3)x>0 时,不等式 x +
2

﹣(x+ )﹣2≥(x+ )?lnm 恒成立,

令 x+ =t, (t≥2) ,则 lnm≤t﹣ ﹣1;

∴lnm≤(t﹣ ﹣1)min=﹣1; ∴0<m≤ . 点评:本题考查了导数的综合应用及恒成立问题,同时考查了换元法的应用,属于中档题. 20.在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 上的任意一点到点 A(﹣1,0) ,B(1,0)的 距离之和为 2 . (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C2:x +
2

=1,若斜率为 k 的直线 OM 交椭圆 C2 于点 M,垂直于 OM 的直

线 ON 交曲线 C1 于点 N. (i)求证:|MN|的最小值为 ; (ii)问:是否存在以原点为圆心且与直线 MN 相切的圆?若存在,求出圆的方程;若不存 在,请说明理由. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由椭圆定义可知曲线 C1 的轨迹是椭圆,设 C1 的方程为 件知 2a=2 ,c=1,由此能求出曲线 的方程. 设直线 OM:y=kx, ,由已知条

(Ⅱ) (ⅰ)当 k=0,M 为 C2 长轴端点,N 为 C1 短轴的端点,|MN|= 代入 x +
2

=1,得(2+3k

)x =2,由此能求出|MN|的最小值.

2

(ⅱ) 存在以原点为圆心且与直线 MN 相切的圆. 设 Rt△ MON 斜边上的高为 h, 当 k=0 时, h= ,当 k≠0 时,|OM|?|ON|= ,由此能推导出存在以原点为圆心,半径

为 且与直线 MN 相切的圆,并能求出圆的方程. 解答: 满分. (Ⅰ)解:由椭圆定义可知曲线 C1 的轨迹是椭圆, 设 C1 的方程为 所以 2a=2 故 ,a>b>0,

,c=1,则 b=1, .…

的方程

(Ⅱ) (ⅰ) 证明:当 k=0,M 为 C2 长轴端点, 则 N 为 C1 短轴的端点,|MN|= .…

当 k≠0 时,设直线 OM:y=kx,代入 x +

2

=1,

整理得(2+3k

)x =2,即 x =

2

2

,y =

2



所以|OM| =x +y =

2

2

2

.…

又由已知 OM⊥ON,设 ON:y=﹣

,同理解得|ON| =

2

,…

所以|MN| =|OM| +|ON| =

2

2

2

+

=(2+2k )?

2

,…

又|MN| ﹣2=

2

=



所以|MN|的最小值为 .… (ⅱ)解:存在以原点为圆心且与直线 MN 相切的圆. 设 Rt△ MON 斜边上的高为 h,由(Ⅱ) (ⅰ)得当 k=0 时,h= ,…

当 k≠0 时,|OM|?|ON|=



又|MN|=

,…

由|MN|?h=|OM|?|ON|,得 h= 故存在以原点为圆心,半径为 圆方程为 .…

=



且与直线 MN 相切的圆,

点评:本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推 理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想等.


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