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全国高中数学联赛模拟试题(04)


全国高中数学联赛模拟试题(03)

2009.06.09.

全国高中数学联赛模拟试题三
(一试) 一、填空题 1 1、设 π<α<π,则满足等式 sinα- 3cosα=log2(x2-x+2)的实数 x 的取值范围是 2 .

2、直角三角形 ABC 中,C 是直角,D、E 是三等分斜边 AB 上的两点,已

知 CD= 3+ 2,CE= 3- 2,则斜边 AB 长为 . 3、方程||x|+y-1|+|x|=1 所表示的图形是 . 2 2 4、不等式 x(x-1)?y(1-y)的解集中 x、y 能使 x +y ?k 成立时 k 的最小值为____________. 5、设点 P(x,y)到 x、y 轴的最短距离为 z,点 P 在 A(3,1),B(4,5),C(5,2)为顶点的三角形内部及 周界上移动,使 z 取最大值的点 P 的坐标为__________________. 6、满足方程 2log2(3x-2y)=log 2(y+ 5-2x)+2 的整数解为__________________. 1 1 1 m 7、若不等式 + +…+ > 对一切大于 1 的自然数 n 都成立,则整数 m 的最大值为 1000 n+1 n+2 n+2n __________________. A C 8、在 ΔABC 中,若 a、b、c 成等比数列,则 tan tan 的取值范围是__________________. 2 2 三、解答题 9、若 x,y∈ [0,π],对于任何实数 t,表达式 1 (-2cost- cosxcosy)cosxcosy-1-cosx+cosy-cos2t 2 恒为负,试求 x、y 所满足的关系式.

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全国高中数学联赛模拟试题(03)

2009.06.09.

c 10、证明:一个奇自然数 c 为合数的充分必要条件是存在自然数 a? -1,使(2a-1)2+8c 为平方数. 3

11、已知 AB、BC、AC 是抛物线 y2=2px(p>0)的任意三条切线,它们交成一个 ΔABC,求证 ΔABC 的 垂心在某条固定的直线上.

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全国高中数学联赛模拟试题(03)

2009.06.09.

(二试)
1、E,F 为任意凸四边形 ABCD 的对边 AD,BC 的中点,M 为对角线 BD 延长线上任一点,若直线 ME, MF 分别与四边形 ABCD 相交于 P,Q 两点,求证:EF 平分 PQ.

M A P G E D Q

B

F

C

1 2、给定不增的正数列 a1?a2?a3?…?a2009,若 a1= ,a1+a2+a3+…+a2009=1,求证:从中可以 14 找到 7 个数,其中最小的数大于最大的数的一半.

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全国高中数学联赛模拟试题(03)

2009.06.09.
2m n

3.设 m,n 为任意正整数,试确定 2010 -2009 的最小正值.

4.设有集合 N={1,2,3,4,5,6,7,8,9},现将 N 分成两个子集,证明:不论如何分法,其中 必有一个子集含有构成等差数列的三个数.

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全国高中数学联赛模拟试题(03)

2009.06.09.

全国高中数学联赛模拟试题三(一试)解答
一、填空题 1 1、设 π<α<π,则满足等式 sinα- 3cosα=log2(x2-x+2)的实数 x 的取值范围是 2 填{x|-1?x<0 或 1<x?2} 1 1 1 2 1 解:∵ π<α<π, π<α- π? π,∴sinα- 3cosα=2sin(α- π)∈(1,2],由 1<log2(x2-x+2)?2 得 2 6 3 3 3 2<x2-x+2?4,
?x2-x>0, ?x>1或x<0, 故? 2 ?? ?-1?x<0 或 1<x?2. x -x-2?0. ?-1?x?2. ?



2、直角三角形 ABC 中,C 是直角,D、E 是三等分斜边 AB 上的两点,已知 CD= 3 + 2,CE= 3- 2,则斜边 AB 长为 . 填 3 2. 解: 设斜边为 3x, 2(CD2+CE2)=x2+(3x)2, 2[( 3+ 2)2+( 3- 2)2]=x2+9x2, 则 则 解得 x= 2,∴斜边 AB=3x=3 2. 3、方程||x|+y-1|+|x|=1 所表示的图形是 . 填等腰三角形;顶点为 A(-1,0),B(1,0),C(0,2).
?|x|+y-1?0, ?|x|+y-1<0, 解:选 C.由||x|+y-1|+|x|=1 得? ①或? ② 2|x|+y=2. ? ?y=0.

A x D x E C

x B

y
2 C D A B

|x|+y-1=0 对应的图形是折线 MDN; ①对应折线段 ACB;②对应线段 AB;故得三角形 ABC. 4、不等式 x(x-1)?y(1-y)的解集中 x、y 能使 x2+y2?k 成立时 k 的最小值为 ____________. 填 2. 1 1 1 解:由 x(x-1)?y(1-y),得(x- )2+(y- )2? .结合 x2+y2?k,得两圆相切时, 2 2 2

O 1
M N

x

kmin=2. 5、设点 P(x,y)到 x、y 轴的最短距离为 z,点 P 在 A(3,1),B(4,5),C(5,2)为顶点的三角形内部及 周界上移动,使 z 取最大值的点 P 的坐标为__________________. 17 17 填( , ). 4 4 解:设直线 y=x 将与 ΔABC 分为两个部分,在 y=x 的下方,y 愈大则 z 愈大;在 y=x 的上方,x 愈大 则 z 愈大; 17 17 因而 y=x 与 BC 边的交点 P( , )就是 z 取最大值的点. 4 4 6、满足方程 2log2(3x-2y)=log 2(y+ 5-2x)+2 的整数解为__________________. 填 x=2,y=1. 解:由题意可得,

? ? ?

5 5-2x?0, x? , ⑴ 2 3x-2y>0 ? - 5-2x<y<3x ⑵ y+ 5-2x>0 2 2 2 (3x-2y) =4(y+ 5-2x) . 3x-2y=2(y+ 5-2x)⑶

? ? ? ? ?

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全国高中数学联赛模拟试题(03)

2009.06.09.

?x?2, 5 9 5 10 由(1)(2)得? 3 即 0<x?2或 5-2x>4x .∴0<x?2或-2<x< 9 , ? 5-2x>-2x.
5
2

5 即-2<x? . 2 因为 x 为整数,则 x=-1,0,1,2,代入(3)得原方程的整数解为 x=2,y=1. 1 1 1 m 7、若不等式 + +…+ > 对一切大于 1 的自然数 n 都成立,则整数 m 的最大值为 n+1 n+2 n+2n 1000 ___________. 填 949. 1 1 1 1 1 1 1 19 解:记 f(n)= + +…+ ,f(2)= + + + = , n+1 n+2 n+2n 2+1 2+2 2+3 2+4 20 1 1 1 1 1 1 1 1 又 f(n+1)-f(n)= + + - > + + - =0. 3n+1 3n+2 3n+3 n+1 3n+3 3n+3 3n+3 n+1 m 即 f(n+1)>f(n).f(n)是 n 的单调递增函数,f(2)最小,要使 f(n)> 对一切大于 1 的自然树都成立, 2100 m 19 19× 1000 只需 < ,即 m< =950. 1000 20 20 所以整数 m 的最大值为 949. A C 8、在 ΔABC 中,若 a、b、c 成等比数列,则 tan tan 的取值范围是__________________. 2 2 1 3- 5 填[ , ). 3 2 b2+c2-a2 1- 2bc a-b+c A C 1-cosA cosC c 2 解:∵tan tan = · = · 2 =1- , 2 2= 2 2 sinA 1+cosC a a +b -c a+b+c a+c 1+ 1+ 2ab b a+c (a+c)2 a c 又∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac,设 z= ,则 z2= =2+ + ?4,即 z?2. b b2 c a 又 a-c<b,(a-c)2<b2=ac,则(a+c)2<5ac, a+c 1 A C 3- 5 z= < 5,2?z< 5,∴ ?tan tan < . 3 2 2 2 ac 三、解答题 9、若 x,y∈[0,π],对于任何实数 t,表达式 1 (-2cost- cosxcosy)cosxcosy-1-cosx+cosy-cos2t 2 恒为负,试求 x、y 所满足的关系式. 解:令 z=cost(-1?z?1),表达式可化为 1 f(z)=-2z2-2zcosxcosy- cos2xcos2y-cosx+cosy. 2 设函数 f(z)在 z∈[-1,1]上的最大值为 a,则问题转化为:x,y 满足何关系式,对一切 z∈[-1,1]恒 有 a<0. 1 1 1 1? ∵f(z)=-2(z+ cosxcosy)2-cosx+cosy 且- cosxcosy∈[- , ]≠[-1,1], 2 2 2 2

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全国高中数学联赛模拟试题(03)

2009.06.09.

1 ∴a=f(- cosxcosy)=-cosx+cosy,由 a=-cosx+cosy<0,得 cosx>cosy 2 ∵x,y∈[0,π],∴0?x<y?π. c 10、证明:一个奇自然数 c 为合数的充分必要条件是存在自然数 a? -1,使(2a-1)2+8c 为平方数. 3 解:先证明充分性. c 设(2a-1)2+8c=(2t+1)2(t∈N),a? -1,则 c?3(a-1),有(2t+1)2?(2a-1)2+24(a+1)=(2a+5)2, 3 于是 t?a+2,又 8c=(2t+1)2-(2a-1)2=4(t+a)(t-a+1),即 2c=(t+a)(t-a+1), 由于 t+a?4,t-a+1?3 且 t+a,t-a+1 中总有一个为偶数,故 c 为合数. 下面证必要性. 设 c 为奇合数,则 c=(2k-1)q,k?2,q?2k-1, c c c 令 a=q-k+1,则 a= -k+1? -1? -1, 3 2k-1 k-1 (2a-1)2+8c=(2q-2k+1)2+8(2k-1)q=[2q+(2k-1)]2.所以(2a-1)2+8c 为平方数. (本题也可以用反证法来证) 11、已知 AB、BC、AC 是抛物线 y2=2px(p>0)的任意三条切线,它们交成一个 ΔABC,求证 ΔABC 的 垂心在某条固定的直线上. y 证明:ΔABC 的垂心在抛物线的准线上. 1 1 设抛物线上三个切点为( pa2,pa),( pb2,pb),(pc2,pc). 2 2 1 则 BA 的方程为:pay=p(x+ pa2), 2 1 即 ay=x+ pa2,亦即 2x-2ay=-pa2 2 同理 AC 的方程为:2x-2cy=-pc2 CB 的方程为:2x-2by=-pb2 则 A 点的坐标为①、②的交点,①-②得
H ( A O
1

1 2

pa2 ,pa)


B ( D

x
2

pc2 ,pc)

② ③

C

1

(

2

pb2 ,pb)

2 2 p c -a 1 2cy-2ay=pc2-pa2.y= · = p(c+a), 2 c-a 2

1 p 1 1 1 1 x=ay- pa2=a·(c+a)- pa2= pac,则 A( pac, p(c+a)). 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 同理可得,B( pab, p(a+b)),C( pbc, p(b+c)). 2 2 2 2 p 1 ∵kAD=-b,则直线 AD 的方程为:y- (c+a)=-b(x- pac). 2 2 p p p 令 x=- ,得 AD 于准线交点 H 的坐标,H(- , (a+b+c+abc)). 2 2 2 p p (a+b+c+abc)- (a+b) 2 2 c+abc 1 而 kBH= = =-c.kBH= , p 1 c -(1+ab) - - pab 2 2 ∴BH⊥AC,同理 CH⊥AB,故 H 为 ΔABC 的垂心. 结论得证.

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全国高中数学联赛模拟试题(03)

2009.06.09.

(二试)
1、E,F 为任意凸四边形 ABCD 的对边 AD,BC 的中点,M 为对角线 BD 延长线上任一点,若直线 ME, MF 分别与四边形 ABCD 相交于 P,Q 两点,求证:EF 平分 PQ. 证明:法一:设 EF 与 PQ 交点为 G,取 BD 的中点 N,连 EN, FN,则 EN∥ AB,FN∥ CD, M ∵ ΔEFP 与 ΔEFM 同高,且 EP,EM 在同一直线上, A E 所以有 SΔEFP:SΔEFM=EP:EM=NB:NM, P D G 又 ΔEFQ 与 ΔEFM 同高,且 FQ,FM 在同一直线上, Q N 所以有 SΔEFQ:SΔEFM=FQ:FM=ND:NM, ∵ NB=ND, ∴ ΔEFP=SΔEFQ, S B F C 即 P,Q 到 EF 的距离相等,EF 平分 PQ. 法二:利用梅尼劳斯定理. MF QG PE MF MN PE BN MF PE QG · · =1,而 = , = ,所以 · =1,所以 =1,即 QG=GP. FQ GP EM FQ ND EM NM FQ EM GP 1 2、给定不增的正数列 a1?a2?a3?…?a2009,若 a1= ,a1+a2+a3+…+a2009=1,求证:从中可以 14 找到 7 个数,其中最小的数大于最大的数的一半. 解:用反证法. 假设数列的任意 7 个数中,最小的数都不大于最大数的一半,因此有 1 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7 中,a7? a1, 2 1 1 a7,a8,a9,a10,a11,a12,a13 中,a13? a7? 2a1, 2 2 1 1 a13,a14,a15,a16,a17,a18,a19 中,a19? a13? 3a1, 2 2 …… 1 1 a1999,a2000,a2001,a2002,a2003,a2004,a2005 中,a2005? a1999? 334a1, 2 2 1 1 1 1 设 S1=a1+a7+a13+…+a2005?a1(1+ + 2+…+ 334)=(2- 334)a1<2a1, 2 2 2 2 因此,S2=a2+a8+a14+…+a2006<S1<2a1, 同样,S3=a3+a9+a15+…+a2007<2a1, S4=a4+a10+a16+…+a2008<2a1, S5=a5+a11+a17+…+a2009<2a1, S6=a6+a13+a19+…+a2004<2a1, 6 ∴ S=S1+S2+S3+S4+S5+S6=a1+a2+a3+…+a2009<12a1= <1,与已知矛盾. 7 从而说明可以找到 7 个数,其中最小的数大于最大的数的一半. 3.设 m,n 为任意正整数,试确定 20102m-2009n 的最小正值. 解:记 p=1005,则 2p=2010,2p-1=2009.于是有 (2p)2m≡1(mod 2p-1),故(2p)2m-(2p-1)n≡1(mod 2p-1). 若存在 m,n,使(2p)2m-(2p-1)n=1,则有(2p)2m-1=(2p-1)n?((2p)m+1)((2p)m-1)=(2p-1)n. 由于((2p)m+1,(2p)m-1)=1,故(2p)m+1=an,(2p)m-1=bn,且(a,b)=1.即 an-bn=2.只有 n=1, - a=b+2 时成立,此时,解(2p)2m-(2p-1)=1?2p((2p)2m 1-1)=1 这是不可能的.故所求最小值≠1.
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全国高中数学联赛模拟试题(03)
2m n 2m n

2009.06.09.

再若存在 m,n 使(2p) -(2p-1) =(2p-1)+1=2p,此时,(2p) -(2p-1) ≡-(-1)n≠0(mod 2p), 故不可能. 于是,所求最小值?2(2p-1)+1=4p-1. 取 m=1,n=2,得(2p)2-(2p-1)2=4p-1. ∴ 所求最小值为 4p-1,当 m=1,n=2 时取得此最小值. 以 p=1005 代入,得所求最小正值为 4019. 3、设有集合 N={1,2,3,4,5,6,7,8,9},现将 N 分成两个子集,证明:不论如何分法,其中 必有一个子集含有构成等差数列的三个数. 解:假定存在 N 的某种划分 N=N1∪ 2,使得 N1 和 N2 两个集合中皆不含构成等差数列的三个数,为此 N 考察 3,5,7 三个数,由于它们本身构成等差数列,所以不能同在 N1 或 N2 中,而两个集合中必有一个集合 如 N1 含有这三个数中的两个. 下面用枚举法来得到矛盾. ① 3,5∈ 1,则 1,4,7 三个数中哪个数都不能在 N1 中,否则将出现(1,3,5),(3,4,5),(3,5, 设 N 7)三组等差数列之一,这与假设矛盾,于是(1,4,7)这组等差数列在 N2 中,这与假设又相矛盾; ② 5,7∈ 1,则 3,6,9 三个数中哪个数都不能在 N1 中,否则将出现(3,5,7),(5,6,7),(5,7, 设 N 9)三组等差数列之一,这与假设矛盾,于是(3,6,9)这组等差数列在 N2 中,这与假设又相矛盾; ③ 3,7∈ 1,而 5∈ 2,则三组数(1,9),(2,8),(4,6)中每组至多只能有一个数在 N2 中,否则将出 设 N N 现(1,5,9),(2,5,8),(4,5,6)三组等差数列之一,这与假设矛盾.换一种说法,三组数中每组至少有 一个在 N1 中,不妨在各组中取一个数连同 3 和 7 两个数共 5 个数组成的集合里来考察,共有八种不同的情 况:(1,2,3,4,7),(1,2,3,6,7),(1,3,4,7,8),(1,3,6,7,8),(2,3,4,7,9),(2,3,6, 7,9),(3,4,7,8,9),(3,6,7,8,9),发现八个数集中每个数集里都含有构成等差数列的三个数,而 且它们当中至少有一个数集是 N1 的子集,即在这种情形下,N1 中含有构成等差数列的三个数,这与假设矛 盾. 通过以上对一切情形的穷举,都说明假定不真,从而证明了本题的结论.

讨论法: 两个集合共有 9 个元素,其中必有一个集合中元素个数?5,设 A={a,b,c,d,e,…}.且 a<b<c<d< e<…,另一集合为 B. ⑴当 b=a+1 时,若 c=a+2,则 a,b,c 成等差,故 c?a+3; ① 若 c=a+3,d=a+4,若 e=a+5,则 b,c,e 成等差;若 e=a+6,则 a,c,e 成等差;若 e=a+7,则 b,d, e 成等差;若 e=a+8,则 a,d,e 成等差. ② 若 c=a+3,d=a+5,则 b,c,d 成等差;d=a+6,则 a,c,d 成等差;若 d?a+7,则 a+4,a+5,a+6 都 ∈B; ③ 若 c=a+4,d=a+5,若 e=a+6,则 c,d,e 成等差;若 e=a+7,则 b,c,e 成等差;e=a+8,则 a,c,e 成等差; ④ 若 c?a+5,则 a+2,a+3,a+4 都∈B; ⑵ 当 b=a+2 时, ① 若 c=a+3, d=a+4, b, d 成等差; 则 c, d=a+5, e=a+6, 则无论是否 a+7∈A, 均出现等差; d=a+5, e=a+7, 则 c,d,e 成等差;d=a+5,e=a+8,则 b,d,e 成等差;; ② 若 c=a+4,则 a,b,c 成等差; ③ 若 c=a+5,公差为 1:可有 7 种;公差为 2:可有 5 种,公差为 3,可有 3 种,公差为 4,可有 1 种. 设 N=A∪B,A∩B=?,
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全国高中数学联赛模拟试题(03)

2009.06.09.

1° 若 4,5 分在同一子集中,例如 4,5∈A,则 3,6∈A,故 3,6∈B(否则 A 中出现 3,4,5 或 4,5, / 6)?9∈A(否则 B 中出现 3,6,9)?1,7∈B(否则 A 出现 1,5,9 与 5,7,9)?8∈A(否则 B 中出现 6,7, 8)?2∈B(否则 A 中出现 2,5,8),但由 1,2,3∈B,知命题成立. 2° 若 4∈A,5∈B.则{1,7},{2,6}的每个中至多有 1 个元是 A 的元.又{1,9},{2,8},{3,7}, 的每个中至多有 1 个元是 B 的元.即|A|,|B|. ① |B|=5,此时{1,9},{2,8},{3,7}各取一元, ② |B|=4,

4、设实数集 R 上定义的函数 f(x),对任何 x∈R 都有 f(x)+f(-x)=2000,则这个函数的图像( ) (A)关于点(0,0)对称; (B)关于点(0,1000)对称; (C)关于点(0,2000)对称; (D)不存在对称中心 解:选 B.由 f(x)+f(-x)=2000 得 f(x)-1000=-[f(-x)-1000],令 g(x)=f(x)-1000,则 g(x)=-g(- x),则 g(x)关于原点对称,∴f(x)关于点(0,1000)对称. 5、一条线段的分割方法是:使小的一段比大的一段和大的一段比整条线段一样.设 x 是小的一段对大 的一段的比值,那么 x 填 3. a a b a+b a a a a a 解:如右图, = , = =1+ ,( )2+ =1,则( )2+ -1=0, b a+b a b b b b b b 3- 5 -2 3+ 5 2 -2 a -1+ 5 x= = ,∴ x2= ,x = ,x +x -1=2,∴原式=3. b 2 2 2 8、已知 x+y=4,xy=-4,那么(x3+y3)∶(x3-y3)=____________. 7 填± 2. 10 解:x3+y3=(x+y)[(x+y)2-3xy]=112 x3-y3=(x-y)[x2+xy+y)2]=± (x+y)2-4xy[(x+y)2-xy]=±80 2; 112 7 ∴(x3+y3)∶(x3-y3)= =± 2. 10 ±80 2 π π 6、方程 tan(xsinx)=cot(xcosx)在闭区间[ , ]内的解的个数共有 4 2 填 0 个. π π π π π π 解:由原方程得 tan(xsinx)=tan( -xcosx),∵ ?x? ,∴0<xsinx? ,0< -xcosx? ,故原方程等价于 2 4 2 2 2 2 π ππ π xsinx= -xcosx,即 xsinx+xcosx= ( ?x? ). 2 24 2 π π π 当 ?x<1 时,xsinx>x,xcosx>x,xsinx+xcosx>2x?2× = ; 4 4 2 π π 当 1?x? 时,xsinx?1,xcosx?1,xsinx+xcosx?2> ,此时方程无解. 2 2 .
x2+x 2-1


+x

-2

的值为


a (a<b) b

- 10 -


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