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3.1.1方程的根与函数的零点(公开课) (1)


3.1.1方程的根与函数的零点
y
授课老师:吴金竹 授课班级:高一(15)

x1

0

x2

x

一、兴趣导入,引入新知

判断下列方程是否有实数根?如果有,请求出方 程的根 2 x? y ? 3 x ? 2 (1)3x ? 2

? 0 3
2

(2) x ? 2 x ? 3 ? 0

x1 ? ?1, x2 ? 3

y ? x ? 2x ? 3
2

(3) ln x ? 2 x ? 6 ? 0


y ? ln x ? 2 x ? 6

问题1 观察说出表中方程根与相应函数图象与x轴的 交点的关系? 方程 函数 函 数 的 图 象 X2-2x-3=0 y= x2-2x-3
.
-1

X2-2x+1=0 y= x2-2x+1
y

X2-2x+3=0 y= x2-2x+3
y

y
2

.
-1

.0
-3 -4

1 1 2

.

.
x
-1

2 1

. . . .
2

.
3 2

5

3

.

4

.
1

.
2

.

-2

0

.

1

x
-1

1

0

3

x

△>0 △=0 △<0 方程的实数 x1=-1,x2=3 x1=x2=1 根 无实数根 结论:方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标. 函数的图象 (-1,0)、(3,0) (1,0) 无交点 与x轴的交点

问题2 若由特殊到一般上述结论是否仍然成立?

结论:方程的实数根就是函数图 象与x轴交点的横坐标.

二、探索新知,得出概念
1.函数零点的概念:
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
思考:零点是不是点? 注意: 零点指的是一个实数;

既是相应方程的实根, 又是函数图象与x轴交 点的横坐标

2.等价关系
函数y=f(x) 的零点 方程f(x)=0 的实数根 函数y=f(x)的图象与 x轴交点的横坐标

函数y=f(x)有零点

方程f(x)=0 有实数根

函数y=f(x) 的图象与x 轴有交点

零点的求法

方程法 图象 法

ln x ? 2 x ? 6 ? 0

y ? ln x ? 2 x ? 6
y

找到图像与x轴这 个交点, 随之我们就得到方 程的根

14 12 10 8 6 4 2 0 -2 1

. 2

..
3 4 5 6 7 8 9 10

.
x

.

.

.

.

-4 -6

.

三、深入理解,巩固新知
求下列函数的零点:

?1? f ( x) ? x ? 4 x ? 5 x ?3? f ( x) ? 2 ? 4
2

(2) f ( x) ? log2 x ? 1

答案(1) x ? ?1,x ? 5

(2) x ? 2

(3) x ? 2

四、问题引导,继续探究(零点存在性)
在怎样的条件下,函数y=f(x)在区间[a,b]上存在零点? 探究1: 观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象: 在区间[-2, 1]上有零点______ -1 ; > 0 ,f(1)______ f(-2)_____ < 0

y

f(-2)· f(1)_____0 (“<”或“>”). < 在区间[2,4]上有零点______ -2 -1 O 1 2 3 4 x 3 ; -1 <0 ,f(4) ______ -2 f(2) ______ >0 ,
< (“<”或“>”). f(2)· f(4)____0
-3 -4

2 1

探究2:
观察函数f(x)的图像
y x

有 有/无)零点; 1. 在区间(a,b)上____( f(a)· f(b) ____ < 0(填<或>). 有 有/无)零点; 2 .在区间(b,c)上____( < 0(填<或>). f(b)· f(c)____

0

猜想: f(a)· f(b)< 0 若函数在区间[a,b]上图象是连续的,如果有 成立, 那么函数在区间(a,b)上有零点。

3.零点存在性定理
y a O c b y

x

c
O a

b

x

如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一 条曲线,并且有f(a) · f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在区间 (a,b)内有零点. 即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程 f(x)=0的根. 只要同时满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间 内存在零点。

定理理解:判断正误
(1)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是间断的,且 错 f(a)· f(b)<0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。 (2) 函数y=f(x)在区间(a,b)内零点,则f(a)· f(b)<0。 错
y (3) f(a)· f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。 错 y
2

y

a
0

a
-5

0

0

b

x

a
-2

x1

b

x

0

b

x

函数零点存在定理的三个注意点: 1 函数是连续的。 思考:在什么条件下,函数y=f(x) -4 在区间(a,b)上有且只有一个零点 2 定理不可逆。

3 至少存在一个零点。 -6

五、学以致用,例题巩固:
例 1 求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数,并确定零 点所在的区间[n, n+1] (n∈Z) . 解法 用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表:
x f ( x) 1
-4

2

3

4

5
5.6094

6

7
y

8

9

-1.3069 1.0986 3.3863

7.7918 9.9459 12.0794 14.1972

思考:如何说明零点的唯一性?

由表可知f(2)<0,f(3)>0,从而f(2)· f(3)<0, 10 ∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点. f(x8 )=lnx+2x- 6
6 4 2

由于函数y=lnx和y=2x在定义域域(0,+∞)内 是增函数, 所以函数f(x)在定义域(0,+∞)内是 O 1 2 3 4 5 6 -2 增函数,因此它仅有一个零点. 你能给出这个函数是增函数的证明吗?
-4

x

解法2:

函数y ? f ( x )的零 点个数 等于 方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0的根 个数 y
则ln x ? ?2 x ? 6
2 1
0

该方程 的解个数等 于数 函 y ? ln x与y ? ?2 x ? 6 的交点个数,如图

1

2

3

4

x

-1 -2

x0

故函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6有一个零点

零点存在性定理的应用:
巩固练习

1.函数f ( x) ? x( x 2 ?16)的零点是
A. (0,0),(4,0) C. (–4,0),(0,0),(4,0)

(

D

)

B.0,4 D.–4,0,4

2、已知函数f (x)的图象是连续不断的,有如下对应值表: x f ( x) 1 23 2 9 3 –7 4 11 5 6 7

–5 –12 –26

那么函数在区间[1, 6]上的零点至少有(C )个 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个

3、f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有 ( )

零点

B

A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 4、下列函数在区间(1,2)上有零点的( (A) f(x)=3x2-4x+5 (B) f(x)=x?-5x-5

D

)

(C) f(x)=lnx-3x+6
A.(1,2) B.(2,3)

(D) f(x)=ex+3x-6
C.(3,4) D.(e,3)

课堂小结
(1)函数零点概念

(2)方程实根与函数零点的等价关系
(3)函数零点的判断方法 (方程法 ) ( 图象法 ) ( 定理法)

(4)函数零点存在性定理 (5)体会两种思想:函数方程思想;数形结合思想 .

思考:由例1可知,方程区间(2,3)内 有且只有一个实数根,即函数在区(2,3) 上有且只有一个零点,你能否求出零点 或把零点所在的范围进一步缩小精呢? 这个问题我们下节课再来研究


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