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电子教案 函数的单调性1


课题 课型 教 学

§3.3

函数

上课时间 教学模式

总序号 教法

7、8

的单调性(1)

新授课 知识目标 能力目标

理解函数单调性的概念,并能判断一些简单函数在给定区 间上的单调性。 启发学生能够发现

问题和提出问题,学会分析问题和创造 地解决问题;通过观察——猜想——推理——证明这一重要 的思想方法,进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。

目 标 情感态度 与价值观

通过对函数单调性的探究过程让学生体会 数学探究的魅力, 培养学生对数学学习的兴趣, 以及学生自主探究的好习惯。

重点 难点 德育结 合点

函数单调性的有关概念的理解。 利用函数单调性的概念判断或证明函数单调性。 在揭示函数单调性实质的同时进行辩证唯物主义思想教育。

教学过程: 一、组织教学 考勤 应到 实到 请假:

二、复习导入:

1、 【探究活动】创设情境: 问题 1:观察下列函数的图象,并指出图象变化趋势。 y y=2x+1 y y=(x-1)2-1 y y=1/x,x>0

O (1)

O 1 -1 (2)

2

x

O (3)

x

y y=f(x),0≤x≤24 10 8 6 4 2
O

2 -2 -4

4

6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

x

(4) 问题 2:这四个函数在定义域范围内,哪些区间上随自变量 x 的增大,因变量 y 也增大,哪 些区间上随自变量 x 的增大,因变量 y 减小? 问题 3:如何用数学语言来准确表达函数的单调性? 例如,怎样表述当 x 的值在区间(0,+ ? )上增大时,函数 y 的值也增大? 能否说,由于 x=1 时,y=3 ; x=2 时,y=5 就说随着 x 的增大,函数值 y 也随着增大? 能否说,由于 x=1,2,3,4,5,…时,相应地 y=3,5,7,9,…就说随着 x 的增大,函数值 y 也随 着增大?

三、讲授新课 自主学习:
为了刻画函数的增、减性质,我们引入增函数和减函数的概念。 在函数 y ? f ( x) 的图像上任取两点 A( x1 , y1 ) , A( x2 , y 2 ) ,记

?x ? x2 ? x1 , ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? y2 ? y1

注:这里, ?x 表示自变量 x 的增量或改变量,相应的 ?y 表示函数值 y 的增量或改变量。 定义: 一般地, 对于函数 f ( x ) 在给定区间上任意两个不相等的值 x1 , 当 x2 , 时,那么就说,函数 f ( x ) 在这个区间上是增函数 ;当

这个区间上是减函数。 由此我们得到, 有一个函数的解析式判断这个函数在给定区间上是增函数还是减函数的一 般步骤: (1)在给定区间上任取两个不相等的自变量 x1 ,x2 , 则 ?x ? x2 ? x1 ,从而计算出 ?y ; (2)计算出 k ? (3)判断: 当 k ? 0 ,函数 y ? f ( x) 在这个区间上是增函数; 当 k ? 0 ,函数 y ? f ( x) 在这个区间上是减函数。 注:如果一个函数 y ? f ( x) 在某个区间上是增函数或者是减函数,就说这个函数在这个区 间上具有(严格的)单调性。这个区间就叫做这个函数的单调区间。 (函数的单调区间,一 般是指保持函数单调性的最大区间。 ) 说明: (1)函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质; (2)函数的单调性是对某个区间而言的,在某一点上不存在单调性; (3)函数单调性的定义中,实际上含有两层意思: ①对于任意的 x1 , x2 ? M ,若 x1 ? x2 ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称 f ( x ) 在 M 上 是增函数; ②若 f ( x ) 在 M 上是增函数,则当 x1 ? x2 时,就有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

?y ? 0 时,那么就说,函数 f ( x) 在 ?x

?y ?0 ?x

?y ; ?x

合作探究:
例 1 如图 3-9 (课本 53 页) ,函数 y ? f ( x) 的定义域是 [-10,10] ,根据图像指出函数

y ? f ( x) 的单调区间,并指出每一个单调区间上函数 y ? f ( x) 的单调性。
析:函数的单调区间,一般是指保持函数单调性的最大区间。

例 2 证明函数 f ( x) ? 2 x ? 1 在 (??,??) 上是增函数。 证明:设 x1 , x2 是任意两个不相等的实数。 因为 ?x ? x2 ? x1 ,而且

?y ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? (2 x 2 ? 1) ? (2 x1 ? 1) ? 2( x 2 ? x1 ) ? 2?x

所以

?y 2?x ? ? 2 ? 0。 ?x ?x

因此函数 f ( x) ? 2 x ? 1 在 (??,??) 上是增函数。

例3

证明函数 f ( x) ?

1 在 (??,0) 上是减函数。 x

证明:设 x1 , x2 是任意两个不相等的负实数。 因为 ?x ? x2 ? x1 ,而且

?y ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ? 1 1 ? x 2 x1 x1 ? x 2 x1 x 2 x 2 ? x1 x1 x 2 ?x x1 x 2

?? ??

又因为 x1 x2 ? 0 ,所以

?y 1 ?? ? 0。 ?x x1 x2
1 在区间 (??,0) 上是减函数。 x

因此,函数 f ( x) ?

拓展提升:
练习 1、画出下列函数的图象,并写出单调区间: (1)

f ( x) ? 7 x ? 2

(2) y ? x 2

(3) y ?

1 , ( x ? 0) x

思考:能不能说,函数 y ?

1 , ( x ? 0) 在定义域 (??,0) ? (0,??) 上是单调减函数? x

练习 2、求证:函数 f ( x ) ? ?

1 ? 1 在区间 (??,0) 上是单调增函数 x

拓展:判断函数 f ( x ) ? ?

1 ? 1 在定义域上的单调性? x

析: (1)判断 (通过画图) (2)证明:1.在 (??,0) 上单调增 设 ?x1 , x2 ?

?? ?,0? 且 x1 ? x2
(? 1 1 1 1 x ? x2 ? 1) ? (? ? 1) ? ? ? 1 x1 x2 x2 x1 x1 x2

?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) =

? x1 ? x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0

f ( x1 ? x2 ) ?
即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。

x1 ? x2 ?0 x1 x2

因此函数 f ( x ) ? ?

1 ? 1 在 (??,0) 上单调增 x

(注意:通分后分别判断 x1 2.在 (0,??) 上单调减 与上类同

? x2 和 x1 x2 与 0 的大小关系)

总结评价:
1. 2. 函数单调性如何定义的?单调增函数、单调减函数分别要满足什么条件? 怎样判断函数单调性?有哪些方法?

四、作业布置: 1.第 54 页练习 3-3
第 2 题.

2.学习指导与练习

五、课后检测:
1、下列说法正确的有( ) ①若 x1 , x2 ? I ,当 x1 ? x 2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 y ? f ( x) 在 I 上是增函数 ②函数 y ? x 在 R 上是增函数
2

③函数 y ? ?

1 在定义域上是增函数 x

④y? A.0 个

1 的单调区间是 (??,0) ? (0,??) x
B.1 个 C.2 个 D.3 个

2、设函数 f ( x) ? (2a ? 1) x ? b 在 R 上是减函数,则有 A. a ?

1 2

B. a ?

1 2

C. a ?

1 2

D. a ?

1 2

3、判断函数

y ? x 2 ? 1的单调性,并给出证明。

六、板书设计:

七、教后记


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