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课时作业4-5 三角函数的图像


三角函数图像变换 π 1.(2013· 沧州七校联考)将函数 y=f(x)· sinx 的图像向右平移 个单位后,再作关于 x 轴的对称变换,得 4 到函数 y=1-2sin2x 的图像,则 f(x)可以是 A.cosx C.sinx 答案 B π 2.(2013· 济宁模拟)为了得到函数 y=sin(2x- )的图像,可将函数 y=cos2x 的图像 6 π A.向右平移 个单

位长度 6 π C.向左平移 个单位长度 6 答案 B 3.与图中曲线对应的函数是 ( ) π B.向右平移 个单位长度 3 π D.向左平移 个单位长度 3 ( )

B.2cosx D.2sinx

A.y=sinx B.y=sin|x| C.y=-sin|x| D.y=-|sinx| 答案 C 4.(2012· 安徽)要得到函数 y=cos(2x+1)的图像,只要将函数 y=cos2x 的图像 A.向左平移 1 个单位 1 C.向左平移 个单位 2 答案 C 1 1 解析 将 y=cos2x 的图像向左平移 个单位后即变成 y=cos2(x+ )=cos(2x+1)的图像. 2 2 5. B.向右平移 1 个单位 1 D.向右平移 个单位 2

π 电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ< )的图像如右图所示,则当 t 2 = 1 秒时,电流强度是 100 A.-5 A ( )

B .5 A

C.5 3A 答案 A

D.10 A

T 4 1 1 解析 由图像知 A=10, = - = . 2 300 300 100 2π ∴ω= =100π.∴T=10sin(100πt+φ). T 1 1 π ( ,10)为五点中的第二个点,∴100π× +φ= . 300 300 2 π π 1 ∴φ= .∴I=10sin(100πt+ ),当 t= 秒时,I=-5 A,故选 A. 6 6 100 6.如果两个函数的图像平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数.给出下列四个函 数:①f(x)=sinx+cosx;②f(x)= 2(sinx+cosx);③f(x)=sinx;④f(x)= 2sinx+ 2. 其中为“互为生成”函数的是 A.①② C.③④ 答案 D 解析 π π 首先化简所给四个函数解析式:①f(x)= 2sin(x+ ),②f(x)=2sin(x+ ),③f(x)=sinx,④f(x) 4 4 B.②③ D.①④ ( )

= 2sinx+ 2.可知,③f(x)=sinx 不能单纯经过平移与其他三个函数图像重合,必须经过伸缩变换才能实 现,故③不能与其他函数构成“互为生成”函数,同理,①与②的图像也不能仅靠图像平移达到重合,因 此①④可仅靠平移能使其图像重合,所以①④为“互为生成”函数,故选 D. 7.(2013· 衡水调研卷)周期函数 f(x)的图像大致如下

x 当 0≤x<π 时,f(x)=5cos , 2 则 f(x)的解析式为:(其中 k∈Z) x A.f(x)=5cos ,kπ≤x<(k+1)π 2 x B.f(x)=5cos( +kπ),kπ≤x<(k+1)π 2 x+kπ C.f(x)=5cos ,kπ≤x<(k+1)π 2 x-kπ D.f(x)=5cos ,kπ≤x<(k+1)π 2 答案 D π 5π 8.(2012· 新课标全国)已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的 4 4 ( )

对称轴,则 φ= π A. 4 π C. 2 答案 A π B. 3 3π D. 4

(

)

π 5π 解析 由于直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,所以函数 f(x)的最小 4 4 π π π 正周期 T=2π,所以 ω=1,所以 +φ=kπ+ (k∈Z),又 0<φ<π,所以 φ= . 4 2 4 π 9.(2012· 东北三校一模)要得到函数 f(x)=sin(2x+ )的导函数 f′(x)的图像,只需将 f(x)的图像 3 π A.向左平移 个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 2 π 1 B.向左平移 个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的 2 2 π C.向左平移 个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 4 π 1 D.向左平移 个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的 倍 4 2 答案 C π π π π 解析 依题意得 f′(x)=2cos(2x+ ),先将 f(x)的图像向左平移 个单位得到的是 y=sin[2(x+ )+ ]= 3 4 4 3 π π cos(2x+ )的图像;再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)得到的是 y=2cos(2x+ )的图像,因 3 3 此选 C. π 10.(2011· 全国大纲文)设函数 f(x)=cosωx(ω>0),将 y=f(x)的图像向右平移 个单位长度后,所得的图 3 像与原图像重合,则 ω 的最小值等于 1 A. 3 C.6 答案 C π π π ωπ 解析 依题意得, 将 y=f(x)的图像向右平移 个单位长度后得到的是 f(x- )=cosω(x- )=cos(ωx- ) 3 3 3 3 ωπ ωπ ωπ 的图像,故有 cosωx=cos(ωx- ),而 cosωx=cos(2kπ+ωx- ),故 ωx-(ωx- )=2kπ,即 ω=6k(k 3 3 3 ∈N*),因此 ω 的最小值是 6,故选 C. 11.函数 y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图像如图所示,则 ω= ______. ( B .3 D.9 )

答案 3 2π 2π 解析 由题图可知,T= ,∴ω= =3. 3 T π 12.将函数 y=sin(-2x)的图像向右平移 个单位,所得函数图像的解析式为________. 3 2 答案 y=sin( π-2x) 3 π 13.已知 f(x)=cos(ωx+ )的图像与 y=1 的图像的两相邻交点间的距离为 π,要得到 y=f(x)的图像, 3 只需把 y=sinωx 的图像向左平移________个单位. 答案 5π 12

π π π 5π 解析 依题意,y=f(x)的最小正周期为 π,故 ω=2,因为 y=cos(2x+ )=sin(2x+ + )=sin(2x+ ) 3 3 2 6 5π 5π π =sin[2(x+ )],所以把 y=sin2x 的图像向左平移 个单位即可得到 y=cos(2x+ )的图像. 12 12 3 π 14.已知将函数 f(x)=2sin x 的图像向左平移 1 个单位,然后向上平移 2 个单位后得到的图像与函数 y 3 =g(x)的图像关于直线 x=1 对称,则函数 g(x)=________. π 答案 2sin x+2 3 π π 解析 将 f(x)=2sin x 的图像向左平移 1 个单位后得到 y=2sin[ (x+1)]的图像,向上平移 2 个单位后 3 3 π π 得到 y=2sin[ (x+1)]+2 的图像, 又因为其与函数 y=g(x)的图像关于直线 x=1 对称, 所以 y=g(x)=2sin[ 3 3 π π π (2-x+1)]+2=2sin[ (3-x)]+2=2sin(π- x)+2=2sin x+2. 3 3 3 π 15.函数 y=sin2x 的图像向右平移 φ(φ>0)个单位,得到的图像恰好关于直线 x= 对称,则 φ 的最小值 6 是________. 答案 5π 12

解析 y=sin2x 的图像向右平移 φ(φ>0)个单位,得 y=sin2(x-φ)=sin(2x-2φ).因其中一条对称轴方 π π π 5π 程为 x= ,则 2·-2φ=kπ+ (k∈Z).因为 φ>0,所以 φ 的最小值为 6 6 2 12 π π 16.已知函数 f(x)=2sinxcos( -x)- 3sin(π+x)cosx+sin( +x)cosx. 2 2 (1)求函数 y=f(x)的最小正周期和最值; (2)指出 y=f(x)的图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于坐标原点对称.

5 1 答案 (1)T=π,最大值 ,最小值 2 2 π 3 (2)左移 ,下移 个单位 12 2 解析 3 3 1 3 (1)f(x) = 2sinxsinx + 3sinxcosx + cosxcosx = sin2x + 1 + 3sinxcosx = + sin2x - cos2x = + 2 2 2 2

π sin(2x- ), 6 ∴y=f(x)的最小正周期 T=π, 3 5 3 1 y=f(x)的最大值为 +1= ,最小值为 -1= . 2 2 2 2 3 π π 3 (2)将函数 f(x)= +sin(2x- )的图像左移 个单位,下移 个单位得到 y=sin2x 关于坐标原点对称. 2 6 12 2 kπ π 3 (附注:平移(- - ,- ),k∈Z 均可) 2 12 2 π-3 3 π 17.(2012· 福建)已知函数 f(x)=axsinx- (a∈R),且在[0, ]上的最大值为 . 2 2 2 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明. 解析 (1)由已知得 f′(x)=a(sinx+xcosx), π 对于任意 x∈(0, ),有 sinx+xcosx>0. 2 3 当 a=0 时,f(x)=- ,不合题意; 2 π π π 当 a<0 时,x∈(0, )时,f′(x)<0,从而 f(x)在(0, )内单调递减,又 f(x)在[0, ]上的图像是连续不断 2 2 2 π 3 的,故 f(x)在[0, ]上的最大值为 f(0)=- ,不合题意; 2 2 π π π 当 a>0,x∈(0, )时,f′(x)>0,从而 f(x)在(0, )内单调递增,又 f(x)在[0, ]上的图像是连续不断的, 2 2 2 π π π 3 π-3 故 f(x)在[0, ]上的最大值为 f( ),即 a- = ,解得 a=1. 2 2 2 2 2 3 综上所述,得 f(x)=xsinx- . 2 (2)f(x)在(0,π)内有且只有两个零点.证明如下: 3 3 π π-3 由(1)知,f(x)=xsinx- ,从而有 f(0)=- <0,f( )= >0. 2 2 2 2 π 又 f(x)在[0, ]上的图像是连续不断的, 2 π 所以 f(x)在(0, )内至少存在一个零点. 2 π π 又由(1)知 f(x)在[0, ]上单调递增,故 f(x)在(0, )内有且只有一个零点. 2 2

π 当 x∈[ ,π]时,令 g(x)=f′(x)=sinx+xcosx. 2 π π π 由 g( )=1>0,g(π)=-π<0,且 g(x)在[ ,π]上的图像是连续不断的,故存在 m∈( ,π),使得 g(m)= 2 2 2 0. π 由 g′(x)=2cosx-xsinx,知 x∈( ,π)时,有 g′(x)<0. 2 π 从而 g(x)在( ,π)内单调递减. 2 π π 当 x∈( ,m)时,g(x)>g(m)=0,即 f′(x)>0,从而 f(x)在( ,m)内单调递增, 2 2 π π π-3 π 故当 x∈[ ,m]时,f(x)≥f( )= >0,故 f(x)在[ ,m]上无零点; 2 2 2 2 当 x∈(m,π)时,有 g(x)<g(m)=0,即 f′(x)<0,从而 f(x)在(m,π)内单调递减. 又 f(m)>0,f(π)<0,且 f(x)在[m,π]上的图像是连续不断的,从而 f(x)在(m,π)内有且仅有一个零点. 综上所述,f(x)在(0,π)内有且只有两个零点. π 18.(2012· 湖南)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0<φ< )的部分图像如图所示. 2

(1)求函数 f(x)的解析式; π π (2)求函数 g(x)=f(x- )-f(x+ )的单调递增区间. 12 12 11π 5π 2π 解析 (1)由题设图像知,最小正周期 T=2×( - )=π,所以 ω= =2. 12 12 T 5π 5π 因为点( ,0)在函数图像上,所以 Asin(2× +φ)=0. 12 12 5π 即 sin( +φ)=0. 6 π 5π 5π 4π 5π π 又因为 0<φ< ,所以 < +φ< .从而 +φ=π,即 φ= . 2 6 6 3 6 6 π 又点(0,1)在函数图像上,所以 Asin =1,得 A=2. 6 π 故 f(x)=2sin(2x+ ). 6 π π π π (2)g(x)=2sin[2(x- )+ ]-2sin[2(x+ )+ ] 12 6 12 6 π =2sin2x-2sin(2x+ ) 3

1 3 =2sin2x-2( sin2x+ cos2x) 2 2 =sin2x- 3cos2x π =2sin(2x- ). 3 π π π π 5π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 2 3 2 12 12 π 5π 所以函数 g(x)的单调递增区间是[kπ- ,kπ+ ],k∈Z. 12 12

π 1.已知函数 y=f(x),将 f(x)的图像上各点纵坐标乘以 3,横坐标乘以 2,再将图像向右平移 ,得 y= 3 sinx 的图像,则原函数解析式为 1 π A.y= sin(2x+ ) 3 3 1 x π C.y= sin( + ) 3 2 3 答案 C π π 2.已知简谐运动 f(x)=2sin( x+φ)(|φ|< )的图像经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 3 2 分别为 π A.T=6,φ= 6 π C.T=6π,φ= 6 答案 A 1 解析 ∵图像过点(0,1),∴2sinφ=1,∴sinφ= . 2 π π 2π ∵|φ|< ,∴φ= ,T= =6. 2 6 π 3 π 3π 3.(2012· 天津)将函数 f(x)=sinωx(其中 ω>0)的图像向右平移 个单位长度,所得图像经过点( ,0), 4 4 则 ω 的最小值是 1 A. 3 5 C. 3 答案 D π 解析 将函数 f(x)=sinωx 的图像向右平移 个单位长度,得到的图像对应的函数解析式为 y=sinω(x- 4 ( B .1 D.2 ) π B.T=6,φ= 3 π D.T=6π,φ= 3 ( ) ( )

1 π B.y= sin(2x+ ) 3 6 1 x π D.y= sin( + ) 3 2 6

π ωπ 3π 3ωπ ωπ ωπ ωπ )=sin(ωx- ).又因为所得图像经过点( ,0),所以 sin( - )=sin =0,所以 =kπ(k∈Z),即 4 4 4 4 4 2 2 ω=2k(k∈Z),因为 ω>0,所以 ω 的最小值为 2. 4.(2013· 唐山模拟)函数 y=sin3x 的图像可以由函数 y=cos3x 的图像( π A.向左平移 个单位得到 3 π C.向左平移 个单位得到 6 答案 D π π π 解析 ∵sin3x=cos( -3x)=cos(3x- )=cos[3(x- )] 2 2 6 π ∴函数 y=cos3x 图像向右平移 个单位即可得到 y=sin3x 图像. 6 π π 5.要得到函数 y=2sin(3x- )的图像,只需要将函数 y=2sin(3x+ )的图像 3 6 ( π A.向右平移 6 π C.向右平移 12 答案 A π 6.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图像如图所示,则 ω,φ 的值分别为 2 π B.向右平移 2 π D.向左平移 2 ) π B.向右平移 个单位得到 3 π D.向右平移 个单位得到 6 )

A.2,0 π C.2,- 3 答案 D

π B.2, 4 π D.2, 6

3 11 π 3 解析 由图可知 A=1, T= π- = π, 4 12 6 4 2π 所以 T=π.又 T= ,所以 ω=2. ω π π π φ 又 f( )=sin( +φ)=1, +φ= +2kπ(k∈Z), 6 3 3 2 π π 又|φ|< ,∴φ= ,故选 D. 2 6 1 1 7.函数 y=tan( x- π)在同一周期内的图像是 2 3 ( )

答案 A 8.(2013· 海淀区期末)函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A,φ∈R)的部分图像如图所示,那么 f(0)=

1 A.- 2 B.- 3 2

C.-1 D.- 3 答案 C π 2π 解析 由图可知,A=2,f( )=2,∴2sin( +φ)=2. 3 3 2π 2π π ∴sin( +φ)=1,∴ +φ= +2kπ(k∈Z). 3 3 2 π ∴φ=- +2kπ(k∈Z). 6 π 1 ∴f(0)=2sinφ=2sin(- +2kπ)=2×(- )=-1. 6 2 π π 9.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图像关于直线 x= 对称,且 f( )=0,则 ω 的最小值为 3 12 A.2 C.6 答案 A π π π 解析 由题意得 ω+φ=k1π+ (k1∈Z), ω+φ=k2π(k2∈Z). 3 2 12 π π ∴ ω=(k1-k2)π+ (k1,k2∈Z). 4 2 ∴ω=4(k1-k2)+2(k1,k2∈Z). ∵ω>0,∴ω 的最小值为 2.故选 A. 10.(2011· 江苏)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的部分图像如图所示,则 f(0)的 值是________. B .4 D.8

答案

6 2

T 7π π π 2π π π 解析 由图可知:A= 2, = - = ,所以 T=π,ω= =2,又函数图像经过点( ,0),所以 2× 4 12 3 4 T 3 3 π π π 6 +φ=π,则 φ= ,故函数的解析式为 f(x)= 2sin(2x+ ),所以 f(0)= 2sin = . 3 3 3 2 5π π π 11.若将函数 y=sin(ωx+ )(ω>0)的图像向右平移 个单位长度后,与函数 y=sin(ωx+ )的图像重合, 6 3 4 则 ω 的最小值为________. 答案 7 4

5π π 解析 依题意, 将函数 y=sin(ωx+ )(ω>0)的图像向右平移 个单位长度后, 所对应的函数是 y=sin(ωx 6 3 + 5π π π 5π π π 7 - ω)(ω>0),它的图像与函数 y=sin(ωx+ )的图像重合,所以 - ω= +2kπ(k∈Z),解得 ω= - 6 3 4 6 3 4 4

7 6k(k∈Z).因为 ω>0,所以 ωmin= . 4


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