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1.2.2单位圆与三角函数线(1)


1.2.2 单位圆与三角函数线

前面我们研究了三角函数在各象限内的
符号,学习了将任意角的三角函数化成0? 到 360? 角的三角函数的一组公式, 由三角函数的定义我们知道,对于角α 的各种三角函数我们都是用比值来表示的, 或者说是用数来表示的,今天我们再来学习

正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法—
—几何表示法



我们首先建立下面的坐标系:
在观览车转轮圆面所在的平面

内,以观览车转轮中心为原点,
以水平线为x轴,以转轮半径为

单位长建立直角坐标系。
设P 点为转轮边缘上的一点, 它表示座椅的位置,记 ?xOP ? ? ,则由正弦函数的定义可知,

MP ? sin ?

1.单位圆的概念
一般地,我们把半径为1的圆叫做单位圆, 设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与 x轴的交点分别为 A(1,0),A/(-1,0). 而与y轴的交点分别为

B(0,1),B/(0,-1).

2. 有向线段的概念:
带有方向的线段叫有向线段 ; 有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。 如在数轴上,|OA|=3,|OB|=3 ??? ? ??? ? OA ? 3 OB ? ?3
x B O A

3. 三角函数线
设任意角α的顶点 在原点,始边与x轴的 正半轴重合,终边与 单位圆相交于点P(x, y),过P作x轴的垂线, 垂足为M; 做PN垂直 y轴于点N, 则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影.

根据三角函数的定义有点P的坐标为(cosα,sinα) 其中cosα=OM,sinα=ON. 这就是说,角α的余弦和正弦分别等于角α 的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标. 以A为原点建立y/轴与y轴 同向,y/轴与α角的终边(或 其反向延长线)相交于点 T(或T /),则tanα=AT(或AT/)

???? ???? ??? ? ? ???? ? 我们把轴上的向量 OM , ON和AT (或AT ')

分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线.

例1.分别作出

2? 3

3? 、 ? 4

2? ? 、 3

的正弦线、

余弦线、正切线。

例2.比较大小:

(1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5;
(3) tan2和tan3. 解:由三角函数线得 sin1<sin1.5

cos1>cos1.5

tan2<tan3

例3. 已知sinx=0.5,求角x的大小.(0? <x<360? )

解:由在y轴上找 到y=0.5的点,做 x轴的平行线, 交单位圆于点P 和P’两点,由三 角函数线知
x1=30? x2=150? , . 变式: 已知 sinx>0.5,求角x的取值范围。

思考与讨论

? 已知α∈(0, 2 ),试证明

sinα<α<tanα .

证明:sinα=|ON|=|MP|, α= ? AP tanα=|AT|, 又 S扇形OAP ? S? OAT 所以
1 1 ? OA ? ? ? ? OA ? AT 2 2

y N O P T x M A

即sinα<α<tanα .

小结: 1. 给定任意一个角α,都能在单位圆中作出它
的正弦线、余弦线、正切线。 2. 三角函数线的位置 : 正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点 在y轴上的射影的有向线段; 余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点 在x轴上的射影的有向线段; 正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切 ??? ? 线上,为有向线段 AT

3. 特殊情况: ① 当角的终边在x轴上时,点P与点M重合, 点T与点A重合,这时正弦线与正切线都变成 了一点,数量为零,而余弦线OM=1或-1。 ② 当角的终边在y轴上时,正弦线MP=1或-1 余弦线变成了一点,它表示的数量为零,正切 线不存在。


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