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2014年干一镇初级中学数学竞赛及优录培训4


2012 年全国初中数学竞赛试卷答案 (福建赛区)
(考试时间:120 分钟,总分:150 分)

一、选择题(每小题 7 分,共 35 分) 1.如果实数 a , b , c 在数轴上的位置如图所示,那么代数式
a 2 ? a ? b ? (c ? a ) 2 ? b ? c 可以化简为(



(第 1 小题图)

A. 2c ? a

B. 2a ? 2b )

C. ?a

D. a

2.在平面直角坐标系 xOy 中,满足不等式 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y 的整数点坐标
(x , y) 的个数为(

A.10

B.9

C.7

D.5

3.如右图,四边形 ABCD 中,AC,BD 是对角线, △ABC 是等边三角形. ?ADC ? 30? , AD = 3,BD = 5,则 CD 的长为( A. 3 2 B. 4 C. 2 5 ) D. 4.5
(第 3 小题图)

4.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说: “你若给我 2 元,我的钱数将是你的 n 倍” ;小玲对小倩说: “你若 给我 n 元,我的钱数将是你的 2 倍” ,其中 n 为正整数,则 n 的可能 值的个数是( A.1 B.2
1 1 2 3

) C.3
1 100

D.4

5.黑板上写有 1,  ,  , ?,   共 100 个数字.每次操作先从黑板上的数 中选取 2 个数 a , b ,然后删去 a , b ,并在黑板上写上数 a ? b ? ab , 则经过 99 次操作后,黑板上剩下的数是( A.2012 B.101 C.100
1

) D.99

二、填空题(每小题 7 分,共 35 分) 6.按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值 x”到“结 果是否>487?”为一次操作.如果操作进行四次才停止,那么 x 的 取值范围是 .

(第 6 小题图)

7.如图,⊙ O 的半径为 20, A 是⊙ O 上一点. 以 OA 为对角线作矩形 OBAC ,且 OC ? 12 . 延长 BC ,与⊙ O 分别交于 D,E 两点, 则 CE ? BD 的值等于
3 4


9 2

(第 7 小题图)

8.如果关于 x 的方程 x 2 ? kx ? k 2 ? 3k ? ? 0 的两个实数根分别为 x1 , x2 , 那么
x1 x2
2011 2012

的值为



9.2 位八年级同学和 m 位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循 环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者 得 3 分,负者得 0 分;平局各得 1 分.比赛结束后,所有同学的得 分总和为 130 分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则 m 的值 为 .

10.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AB 是直径,
AD ? DC .分别延长 BA , CD ,交点为 E .

作 BF ? EC ,并与 EC 的延长线交于点 F . 若 AE ? AO , BC ? 6 ,则 CF 的长为
2


(第 10 小题图)

三、解答题(每题 20 分,共 80 分) 11. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中,AO ? 8 ,AB ? AC ,sin ?ABC ? . CD 与 y 轴交于点 E ,且 S△COE ? S△ADE .已知经过 B,C,E 三点的图象 是一条抛物线,求这条抛物线对应的二次函数的解析式.
4 5

12.如图,⊙O 的内接四边形 ABCD 中,AC,BD 是它的对角线,AC 的中点 I 是△ABD 的内心. 求证: (1)OI 是△IBD 的外接圆的切线; (2) AB ? AD ? 2BD .

3

13.已知整数 a , b 满足: a ? b 是素数,且 ab 是完全平方数. 当 a ? 2012 时,求 a 的最小值.

14.将 2 ,   3,   ?, n( n ? 2 )任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到 数 a ,, b c (可以相同)使得 ab ? c ,求 n 的最小值.

4

2012 年全国初中数学竞赛试卷答案(福建赛区)
(考试时间:120 分钟,总分:150 分) 一、选择题(每小题 7 分,共 35 分) 1.如果实数 a , b , c 在数轴上的位置如图所示,那么代数式

a 2 ? a ? b ? (c ? a ) 2 ? b ? c 可以化简为( C )
A. 2c ? a B. 2a ? 2b C. ?a D. a 解:由实数 a , b , c 在数轴上的位置可知 b ? a ? 0 ? c ,且

b ? c ,所以 a 2 ? a ? b ? (c ? a ) 2 ? b ? c ? ?a ? (a ? b) ? (c ? a ) ? (b ? c) ? ?a
2 .在平面直角坐标系 xOy 中,满足不等式 x ? y ? 2 x ? 2 y 的整数点坐标 ( x , y) 的个数为 ( B ) A.10 B.9 C.7 D.5
2 2

解:由题设 x ? y ? 2 x ? 2 y ,得 0 ? ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 .因为 x , y 均为整数,所以有
2 2
2 2
2 2 2 2 ? ?( x ? 1) ? 0 ? ?( x ? 1) ? 1 ? ?( x ? 1) ? 0 ? ?( x ? 1) ? 1 , , , ? ? ? ? 2 2 2 2 ? ?( y ? 1) ? 0 ? ?( y ? 1) ? 0 ? ?( y ? 1) ? 1 ? ?( y ? 1) ? 1

?x ? 1 ?x ? 1 ?x ? 1 ?x ? 0 ?x ? 2 ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 2 ?x ? 2 解得 ? ,? ,? ,? ,? ,? ,? ,? ,? ,以上共计 ?y ?1 ?y ? 2 ?y ? 0 ?y ?1 ?y ?1 ?y ? 0 ?y ? 2 ?y ? 0 ?y ? 2 9 对 (x , y)
3.如图,四边形 ABCD 中,AC,BD 是对角线,△ABC 是等边三角形. ?ADC ? 30? ,AD = 3,BD = 5,则 CD 的长为( B ) A. 3 2 B.4 C. 2 5 D. 4.5

解:如图,以 CD 为边作等边△CDE,连接 AE.由于 AC = BC,CD = CE, ?BCD ? ?BCA ? ?ACD ? ?DCE ? ?ACD ? ?ACE . 所以 △BCD≌△ACE, BD = AE.又因为 ?ADC ? 30? ,所以 ?ADE ? 90? . 在 Rt △ ADE 中, AE ? 5 ,AD ? 3 ,于是 DE=

AE 2 ? AD 2 ? 4 ,所以 CD = DE = 4.

4.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说: “你若给我 2 元,我的钱 数将是你的 n 倍” ;小玲对小倩说: “你若给我 n 元,我的钱数将是你的 2 倍” ,其中 n 为正整 数,则 n 的可能值的个数是( D ) A.1 B.2 C.3 D.4 解:设小倩所有的钱数为 x 元、小玲所有的钱数为 y 元, x,y 均为非负整数.

? x ? 2 ? n( y ? 2) . 消 去 x 得 , ( y 2? 7 n ?) y ? , 4 ? ? y ? n ? 2( x ? n) (2 y ? 7) ? 15 15 2n ? ? 1? . 2y ? 7 2y ? 7 15 因为 为正整数,所以 2 y ? 7 的值分别为 1,3,5,15.y 的值只能为 4,5,6,11. 2y ? 7
由 题 设 可 得 从而 n 的值分别为 8,3,2,1.所以 x 的值分别为 14,7,6,7.
5

5. 黑板上写有 1, 每次操作先从黑板上的数中选取 2 个数 a ,  ,  , ?,   共 100 个数字. b, 然后删去 a , b ,并在黑板上写上数 a ? b ? ab ,则经过 99 次操作后,黑板上剩下的数是( C ) A.2012 B.101 C.100 D.99 解:因为 a ? b ? ab ? 1 ? (a ? 1)(b ? 1) ,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加 1 后的 乘积不变. 设经过 99 次操作后黑板上剩下的数为 x ,则 x ? 1 ? (1 ? 1)( ? 1)( ? 1) ? ... ? (

1 1 2 3

1 100

解得, x ? 1 ? 101 , x ? 100 . 二、填空题(每小题 7 分,共 35 分) 6.按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值 x”到“结果是否>487?”为一次 操作.如果操作进行四次才停止,那么 x 的取值范围是 . 解:前四次操作的结果分别为 3x ? 2 , 3(3x ? 2) ? 2 ? 9 x ? 8 , 3(9 x ? 8) ? 2 ? 27 x ? 26 ,

1 2

1 3

1 ? 1) , 100

7 ? x ? 19

? 27 x ? 26 ? 487 .解得 7 ? x ? 19 . 3(27 x ? 26) ? 2 ? 81x ? 80 .由已知得, ? ? 81x ? 80 ? 487 容易验证,当 7 ? x ? 19 , 3x ? 2 ? 487 , 9 x ? 8 ? 487 ,故 x 的取值范围是 7 ? x ? 19 . 7. 如图, ⊙ O 的半径为 20,A 是⊙ O 上一点. 以 OA 为对角线作矩形 OBAC , 且 OC ? 12 . 延 28 5 . 长 BC ,与⊙ O 分别交于 D,E 两点,则 CE ? BD 的值等于 解:如图,设 DE 的中点为 M ,连接 OM ,则 OM ? DE . OB ? OC 16 ?12 48 2 2 因为 OB ? 20 ? 12 ? 16 ,所以 OM ? , ? ? BC 20 5 36 64 . CM ? OC 2 ? OM 2 ? , BM ? 5 5 64 36 28 . ? BM ? CM ? ? ? CE ? BD ? (EM ? CM) ? (DM ? BM) 5 5 5 2011 x 3 2 9 2 8.如果关于 x 的方程 x ? kx ? k ? 3k ? ? 0 的两个实数根分别为 x1 , x2 ,那么 1 2012 的 4 2 x2

?
值为

2 3


2

解:根据题意,关于 x 的方程有 ? ? k ? 4( k ? 3k ? ) ? 0 ,由此得 (k ? 3) ? 0 .
2
2

3 4

9 2

又 (k ? 3) ? 0 ,所以 (k ? 3) ? 0 , k ? 3 .
2 2

此时方程为 x ? 3x ?
2

x 2011 1 2 9 3 ?? ? 0 ,解得 x1 ? x2 ? ? .故 1 2012 ? x2 x2 3 4 2

9.2 位八年级同学和 m 位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此 恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分;平局各得 1 分.比赛结束后,
6

所有同学的得分总和为 130 分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则 m 的值为 8 . 解:设平局数为 a ,胜(负)局数为 b ,由题设知 2a ? 3b ? 130 .由此得 0 ? b ? 43 . 又a?b ?

(m ? 1)(m ? 2) ,所以 2a ? 2b ? (m ? 1)(m ? 2) . 2 于是 0 ? b ? 130 ? (m ? 1)(m ? 2) ? 43 , 87 ? (m ? 1)(m ? 2) ? 130 . 由此得 m ? 8 或 m ? 9 . a ? b 55 当 m ? 8 时,b ? 40 , a ? 5 ;当 m ? 9 时,b ? 20 , a ? 35 , a ? ? .不合题设.故 2 2 m ?8. 10.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AB 是直径, AD ? DC .分别延长 BA , CD ,交点为 E .作 BF ? EC ,并与 EC 的延长线交于点 F .若 AE ? AO , BC ? 6 ,则 CF 的长为 3 2 2 . 解:如图,连接 AC , BD , OD . 由 AB 是⊙O 的直径知 ?BCA ? ?BDA ? 90? . 依题设 ?BFC ? 90? ,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, BC BA 所以 ?BCF ? ?BAD .所以 Rt△BCF ∽ Rt△BAD ,因此 . ? CF AD 因为 OD 是⊙O 的半径, AD ? CD , DE OE 所以 OD 垂直平分 AC , OD∥BC ,于是 ? ?2. DC OB 因此 DE ? 2CD ? 2 AD , CE ? 3 AD .由 △AED ∽△CEB ,知 DE ? EC ? AE ? BE . BA 3 BA 3 因为 AE ? , BE ? BA ,所以 2 AD ? 3 AD ? ? BA , BA ? 2 2 AD . 2 2 2 2 AD BC 3 2 ? BC ? ? 故 CF ? . BA 2 2 2
三、解答题(每题 20 分,共 80 分) 11.如图,在平面直角坐标系 xOy 中, AO ? 8 , AB ? AC , sin ?ABC ?

于点 E ,且 S△COE ? S△ADE .已知经过 B,C,E 三点的图象是一条抛物线,求这条抛物线对 应的二次函数的解析式. 解:因为 sin∠ABC = 由勾股定理,得 BO ?

4 . CD 与 y 轴交 5

AO 4 ? , AO ? 8 ,所以 AB = 10. AB 5

AB 2 ? AO 2 ? 6 .易知 △ABO ≌△ACO , 因此 CO = BO = 6. 于是 A(0 , ? 8) , B(6 , 0) , C (?6 , 0) . 设点 D 的坐标为 (m , n) .由 S△COE ? S△ADE ,得 S△CDB ? S△AOB . 1 1 1 1 所以 BC ? n ? AO ? BO , ?12(?n) ? ? 8 ? 6 .解得 n ? ?4 . 2 2 2 2 因此 D 为 AB 的中点,点 D 的坐标为 (3 , ? 4) .因此 CD,AO 分别为 AB,BC 的两条中线,

7

点 E 为△ABC 的重心,所以点 E 的坐标为 (0 , ? ). 设经过 B,C,E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为 y ? a( x ? 6)( x ? 6) .将点 E 的坐标 代入, 解得 a =

8 3

2 2 8 2 . 故经过 B, C, E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为 y ? x ? . 27 27 3

12.如图,⊙O 的内接四边形 ABCD 中,AC,BD 是它的对角线,AC 的中点 I 是△ABD 的内 心. 求证: (1)OI 是△IBD 的外接圆的切线; (2) AB ? AD ? 2BD . 解: (1)如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知 ?CID ? ?IAD ? ?IDA , ?CDI ? ?CDB ? ?BDI ? ?BAC ? ?IDA ? ?IAD ? ?IDA . 所以 ?CID ? ?CDI , CI = CD. 同理,CI = CB .故点 C 是△IBD 的外心.连接 OA,OC,因为 I 是 AC 的中点, 且 OA = OC,所以 OI⊥AC,即 OI⊥CI .故 OI 是△IBD 外接圆的切线. (2)如图,过点 I 作 IE⊥AD 于点 E,设 OC 与 BD 交于点 F.

? ? CD ? ,知 OC⊥BD. 由 BC 因为∠CBF =∠IAE,BC = CI = AI,所以 Rt△BCF ≌ Rt△AIE .所以 BF = AE.
又因为 I 是△ABD 的内心,所以 AB ? AD ? BD ? 2 AE ? BD ? BD ? 2BF ? BD . 故 AB ? AD ? 2BD . 13.已知整数 a ,b 满足:a ? b 是素数,且 ab 是完全平方数.当 a ? 2012 时,求 a 的最小值. 【解答 1】设 a ? b ? m ( m 是素数) , ab ? n (n 是正整数) .
2





(a ? b)2 ? 4ab ? (a ? b) 2
2







(2a ? m)2 ? 4n2 ? m2



(2a ? m ? 2n)(2a ? m ? 2n) ? m . 因为 2a ? m ? 2n 与 2a ? m ? 2n 都是正整数,且 2a ? m ? 2n ? 2a ? m ? 2n (m 为素数), 2 所以 2a ? m ? 2n ? m , 2a ? m ? 2n ? 1. 2 (m ? 1 2) m2 ? 1 (m ? 1 ) 解 得 a? , n? . 于 是 b? a? m? . 又 a ? 2012 , 即 4 4 4 (m ? 1 2) ? 2012 . 4 (89 ? 1)2 又因为 m 是素数,解得 m ? 89 . 此时, a ? =2025. 当 a ? 2025 时, m ? 89 , 4 b ? 1936 , n ? 1980 .因此,a 的最小值为 2025.
【解答 2】设 a ? b ? m ( m 是素数) , ab ? n (n 是非负整数) 。
2

由于 2012 ? 2 ?1006 ,2013 ? 3 ? 671 ,2014 ? 2 ?1007 ,2015 ? 5 ? 403 ,2016 ? 2 ?1008 , 因此, 2012 , 2013 , 2014 , 2015 , 2016 都不是质数。 5 分 由于 ?

?

2017 ? ? ? 44 ,且 2017 不能被 2,3,4,?,44 整除,

因此, 2017 是质数。………… 10 分 (1)当 n ? 0 ,即 b ? 0 时,由 a ? 2012 以及 a ? b 是素数知, a 的最小值为 2017 。………… 15 分
8

(2)当 n ? 0 时, b ? 1 , a ? 2012 ? 1 ? 2013 , 由于 2013 , 2014 , 2015 , 2016 都不是质数,而 2017 是质数。 当 a ? 2017 时, b ? 6 , ab 不是完全平方数。所以,此时 a ? 2017 。 由(! ) 、 (2)可知, a 的最小值为 2017 。 …………… 20 分 14.将 2 , ( )任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数   3,   ?, n n?2 a ,, b c (可以 相同)使得 a ? c ,求 n 的最小值.
b 16   3,  , 2   2 ? 1,   ?,   2 ?1 解: 当 n ? 2 ? 1 时, 把 2,   3,   ?, n 分成如下两个数组: 2 ,
8 8 16

  5,   ?,   2 ?1 . 和 4,
8

?

2   3,  , 2   2 ? 1,   ?,   2 ? 1 中,由于 33 ? 28 ( ,28) ? 216 ? 1 ,所以其中不存在数 在数组 2 ,
8 8 16

?

?

?

?

?

a ,, b c ,使得 a ? c .
b

  5,   ?,   2 ? 1 中,由于 44 ? 28 ?1 ,所以其中不存在数 a ,, 在数组 4 , b c ,使得 ab ? c .
8

?

?

所以, n ? 2 .
16

下面证明当 n ? 2 时,满足题设条件.不妨设 2 在第一组,若 2 ? 4 也在第一组,则结论已经
16

2

成立.故不妨设 22 ? 4 在第二组. 同理可设 44 ? 28 在第一组, (2 ) ? 2 在第二组.
8 2 16

b ? 8, c ? 2 ,此时 a ? c ;如果 8 在第二组, 此时考虑数 8.如果 8 在第一组,我们取 a ? 2 ,
8

b

我们取 a ? 4 , b ? 8, c ? 2 ,此时 a ? c .综上, n ? 2 满足题设条件.所以, n 的最小值
16

b

16

为 216 . 注:也可以通过考虑 2,4,16,256,65536 的分组情况得到 n 最小值为 65536.

9


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