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二倍角的正弦、余弦、正切公式课件1


§3.9 二倍角的正弦、余弦和正切公式

霍爱丽

(一)复习式导入

1.大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和
正切公式分别是什么?

sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos? cos ?

? sin ? sin ?
tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

2.两角和的正弦、余弦和正切公式巩固练习

? 求下列各式的值:

(1)cos 24? cos36? ? sin 24? sin 36? ?
(2)sin 37.5? cos7.5? ? cos37.5? sin 7.5? ?

tan12? ? tan 33? (3) ? ? ? 1 ? tan12 tan 33

1 ? tan15? (4) ? ? 1 ? tan15

(二)公式推导:二倍角基本公式
思考:在两角和的正弦、余弦和正切公式中,特别地,当 β =α 时,这三个公式分别变为什么形式?
? ?? ? sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ?????? sin 2? ? 2sin ? cos ?
? ?? ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ?sin? sin ? ?????? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ?
.

? ?? ? tan(? ? ? ) ? tan? ? tan ? ????? 1? tan? tan ?

2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?

(二)公式推导:二倍角基本公式

? ?? ? sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ??????
? ?? ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ?sin? sin ? ??????

sin 2? ? 2sin ? cos ?
.

cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2
? ?? ? tan(? ? ? ) ? tan? ? tan ? ????? 1? tan? tan ?

2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?

(三)公式探究
思考:利用这个 sin ? +cos 公式还可作哪些变形?
2 2

? =1
2

平方关系,二倍角的余弦

cos2? ? cos ? -sin ?
2

cos2? ? cos ? -sin ? =cos ? ? (1 ? cos ? )
2 2 2 2

? 2cos ? ? 1
2

cos2? ? cos ? -sin ? =1-sin ? ? sin ? 2 =1-2sin ?
2 2 2 2

(四)理论迁移
例题.(公式巩固性练习)求下列各式的值:

(1)sin15? cos15?

(2)2cos2 22.5? ?1
2 tan15? (4) 1 ? tan 2 15?

(3)cos2 ? ? sin 2 ? 8 8

1 解:(1)原式= ? 2sin15? cos15? (2)原式 ? cos 45? ? 2 2 2 1 ? 2 = ? sin 30? (3)原式 ? cos ? 2

1 = 4

4

2

3 (4)原式=tan30 ? 3
?

变式训练 求下列各式的值:

(1)sin 22.5? cos 22.5?
(2)sin2 ? ? cos2 ? 12 12
tan 22.5? (3) 2 ? 1 ? tan 22.5

(五)课堂小结
1、我们对二倍角的正弦、余弦和正切公式进行了推导 2、大家要熟记二倍角的正弦、余弦和正切公式,在解题过程中要善于发 现规律,学会灵活运用

(六)布置作业:
必做题课本 P 练习:2,3. 125 选做题:

在?ABC中, cos A? 4,tan B ? 2, 求tan(2A?2B)的值 5


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