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2013-2014学年福州市高三上学期1月质检考数学试卷(文)


福州市 2013-2014 学年第一学期高三期末质量检测
文科数学
一、选择题 1、已知全集 U ? R ,集合 A ? {1,2,3,4,5} , B ? [2, ??) ,则图中阴影部分所表示的集合 为( ) A. {0,1,2} B. {0,1} C. {1,2} D. {1}

2、复数 z ? i(1 ? 2i) ( i 是虚数单位)的共轭复数在复平面上的对应点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3、设 a ? log5 4 , b ? log5 3 , c ? log4 5 ,则 a, b, c 的大小为( ) A. a ? c ? b B. b ? a ? c C. a ? b ? c D. b ? c ? a 4、阅读右边程序框图,为使输出的数据为 30 ,则判断框中应填入的条件为( ) A. i ? 4 B. i ? 5 C. i ? 6 D. i ? 7

5、将参加夏令营的编号为 1 , 2 , 3 ? 52 的 52 名学生,采用系统抽样的方法抽取一个容量 为 4 的样本, 已知 6 号,32 号,45 号学生在样本中, 则样本中还有一名学生的编号为 ( ) A. 3 B. 12 C. 16 D. 19 6、以 x 轴为对称轴,原点为顶点的抛物线上的一点 P (1, m) 到焦点的距离为 3 ,则其方程是 A. y ? 4 x
2

B. y ? 8 x
2

2

C. y ? 4 x
2

D. y ? 8 x
2

7、已知函数 f ( x) ? x ? ax 的图像在点 A(1 ,f (1)) 处的切线 l 与直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 垂直, 若数列 ? A.

? 1 ? ? 的前项和为 Sn ,则 S2013 的值为( ? f ( n) ?
2010 2011
B.



2011 2012

C.

2012 2013

D.

2013 2014

8、若函数 g ( x) ? a sin x cos x(a ? 0) 的最大值为 的一条对称轴方程为( A. x ? 0 ) B. x ? ?

1 ,则函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象 2
C. x ? ?

3? 4

?
4

D. x ? ?

5? 4

9、如图, ?ABC 中, ?C ? 90? 且 AC ? BC ? 4 ,点 M 满足 BM ? 3MA ,则 CM ?CB ? A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

10、已知实数 4 , m , 9 构成一个等比数列,则圆锥曲线

x2 ? y 2 ? 1的离心率为( m



A.

30 6

B. 7

C.

30 或 7 6

D.

5 或7 6

11、已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1 、 x2 ,不等式

( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 恒成立,则不等式 f (1 ? x) ? 0 的解集为( )
A. (??, 0) B. (0, ??) C. (??,1) D. (1, ??)

12、如图,偶函数 f ( x ) 的图像形如字母 M ,奇函数 g ( x) 的图像形如字母 N ,若方程:

f ( g ( x)) ? 0 , g ( f ( x)) ? 0 的实根个数分别为 a 、 b ,则 a ? b ? (
A. 18 B. 21 C. 24

) D. 27

二、填空题 13、在边长为 2 的正方形 ABCD 内随机取一点 M ,则 AM ? 1 的概率为_______

?x ? y ? 0 ? 14、在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 所表示的平面区域的面积为____ ?x ? 1 ?

15、在平面直角坐标系 xoy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f ( x) ? 两点,则线段 PQ 长的最小值是______ 16、给出下列命题: ①“ x ? ?1 ”是“ x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件; ②在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12 ,则 | AB |? 4 ;

4 的图像交于 P 、 Q x

x?3 的图象关于点 (?1,1) 对称; x ?1 ④若命题 p 是:对任意的 x ? R ,都有 sin x ? 1 ,则 ? p 为:存在 x ? R ,使得 sin x ? 1 ,
③函数 y ? 其中所有真命题的序号是_______ 17、已知 a ? (2cos2 x, 3) , b ? (1,sin 2x) ,函数 f ( x) ? a ? b ?1, g ( x) ? b ?1 (Ⅰ)求方程 g ( x) ? 0 的解集; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及其单调增区间
2

18、在数列 {an } 中, a1 ? (Ⅰ)证明 ?

n ?1 1 an , an ?1 ? 3n 3

? an ? ? 是等比数列,并求 {an } 的通项公式 ?n?

(Ⅱ)求 {an } 的前 n 项和 Sn 19、对一批共 50 件的某电器进行分类检测,其重量(克)统计如下: 重量段 件数

[80,85)
5

[85,90)

[90,95)
15

[95,100]
b

a

规定重量在 82 克及以下的为“ A ”型,重量在 85 克及以上的为“ B ”型,已知该批电器 有“ A ”型 2 件 (Ⅰ)从该批电器中任选 1 件,求其为“ B ”型的概率; (Ⅱ)从重量在 [80,85) 的 5 件电器中,任选 2 件,求其中恰有 1 件为“ A ”型的概率

20、某工厂的固定成本为 3 万元,该工厂每生产 100 台某产品的生产成本为1 万元,设生产

该产品 x(百台) , 其总成本为 g ( x) 万元 (总成本=固定成本+生产成本) , 并且销售收入 r ( x) 满足 r ( x) ? ?

??0.5x 2 ? 7 x ? 10.5(0 ? x ? 7) ?13.5( x ? 7)

假定该产品产销平衡,根据上述统计规律求: (Ⅰ)要使工厂有盈利,产品数量 x 应控制在什么范围? (Ⅱ)工厂生产多少台产品时盈利最大? 21、已知函数 f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? ax ,对于任意实数 x 恒有 f '( x) ? 2x2 ? 2x ? 4 (Ⅰ)求实数 a 的最大值; (Ⅱ)当 a 最大时,函数 F ( x) ? f ( x) ? x ? k 有三个零点,求实数 k 的取值范围 22 、 已 知 中 心 在 原 点 的 双 曲 线 C 的 一 个 焦 点 是 F1 (?3,0) , 一 条 渐 近 线 的 方 程 是

5x ? 2 y ? 0
(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)若以 k (k ? 0) 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M , N ,且线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为

81 ,求 k 的取值范围 2

福州市 2013—2014 学年第一学期高三期末质量检测 数学(文科) 试卷 参考答案与评分标准
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个答案中 有且只有一个答案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1.D 12.A 2.D 3.B 4. A 5.D 6.D 7.D 8.B 9.C.10.C 11.C

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置 上. 13.

? 16

14.9

15. 4 2

16. .②④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) g ( x) ? b ? 1 ? sin 2 2 x
?? 2

················· 2 分

由 g ( x) ? 0 得 sin 2 x ? 0 ? 2 x ? k? ?k ? Z ? 即 x ? 故方程 g ( x) =0 的解集为 x x ?
?? ?? 2

?

k? ?k ? Z ? 2

k? ?k ? Z ? ······· 5 分 2
············ 6 分
2

?

(Ⅱ) f ( x) ? a ? b ? 1 ? (2 cos x, 3 ) ? (1, sin 2 x) ? 1 ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? 1 · 7 分

? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ?
∴函数 f ( x) 的最小周期 T ? 由?

?
6

)

············· 9 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

2? ?? 2

················· 10 分

? 2k? ?k ? Z ? 得 ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? ?k ? Z ?

故函数 f ( x) 的单调增区间为 ??

? ? ? ? ( 开区间也可以) ? k? , ? k? ??k ? Z ? . 6 ? 3 ?

································ 12 分 18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)

1 n ?1 a1 ? , an ?1 ? an ? an ? 0 3 3n a a1 1 1 an ? n ?1 = ,又 = ················· 2 分 n ?1 3 n 1 3

1 1 ?a ? ? ? n ? 为首项为 ,公比为 的等比数列 3 3 ?n?

··········· 4 分

?

an 1 ? 1 ? = ?? ? n 3 ? 3?

n ?1

, ? an =

n 3n

··················· 6 分

(Ⅱ) S n ?

1 2 3 n ··············· 7 分 ? 2 ? 3 ? ? n ??① 1 3 3 3 3 1 1 2 n ?1 n ? S n ? 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 ??② ············· 8 分 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 n ①-② 得: Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 ········ 9 分 3 3 3 3 3 3

1? 1? ?1 ? n ? n 3 3 ? ? ? ? n?1 1 3 1? 3
3? 1? n ? Sn ? ?1 ? n ? ? 4 ? 3 ? 2 ? 3n

············ 10 分

3n ?1 ? 3 ? 2n ? Sn ? 4 ? 3n
19. (本小题满分 12 分)

··················· 12 分

. 解:(Ⅰ)设“从该批电器中任选 1 件,其为”B”型”为事件 A 1,

···· 1 分

则 P ( A1 ) ?

50 ? 5 9 ? 50 10

····················· 3 分

所以从该批电器中任选 1 件,求其为”B”型的概率为

9 . 10

····· 4 分

(Ⅱ)设“从重量在[80,85)的 5 件电器中,任选 2 件电器,求其中恰有 1 件为”A”型” 为事件 A2 ,记这 5 件电器分别为 a,b,c,d,e,其中”A”型为 a,b.从中任选 2 件,所 有可能的情况为 ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共 10 种. ································· 8 分 其中恰有 1 件为”A”型的情况有 ac,ad,ae,bc,bd,be,共 6 种. ·· 10 分 所以 P ( A2 ) ?

6 3 ? . 10 5

所以从重量在[80,85)的 5 件电器中,任选 2 件电器,其中恰有 1 件为”A”型的概率 3 为 . ································ 12 分 5

20. (本小题满分 12 分) 解:依题意得 g(x) ? x ? 3 ,设利润函数为 f(x) ,则 f(x) ? r (x) ? g(x) , 所以 f(x) ? ?

? ?0.5 x 2 ? 6 x ? 13.5 ? 10.5 ? x

(0 ? x ? 7) (x ? 7)

,

·········· 2 分

(I)要使工厂有盈利,则有 f(x)>0,因为

f(x)>0? ?

0?x?7 ? x?7 , ········· 4 分 或? ??0.5x ? 6 x ? 13.5 ? 0 ?10.5 ? x ? 0 ?
2

?0 ? x ? 7 0?x?7 ? ? x?7 或 ?? 2 ?? 或? 3? x ?9 ? ? x ? 12 x ? 27 ? 0 ?10.5 ? x ? 0
?3 ? x ? 7或7 ? x 即3? x

7 ? x ? 10.5

10.5 ,

················ 6 分

10.5 . ······················ 7 分
8分

所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于 300 台小于 1050 台的范围内. (II)当 3 ? x ? 7 时, f(x) ? ?0.5( x ? 6)2 ? 4.5

故当 x=6 时,f(x)有最大值 4.5. ················· 10 分 而当 x>7 时, f(x) ? 10.5 ? 7 ? 3.5 . 所以当工厂生产 600 台产品时,盈利最大. 21. (本小题满分 12 分) 解: (1) ············· 12 分

f(x) =x3 ? 2 x2 ? ax
2

' ?f ( x) =3x2 ? 4 x ? a

··· 2 分

对于 x ? R 恒有 f '( x) ? 2x2 ? 2x ? 4 ,即 x ? 2 x ? 4 ? a ? 0 对于 x ? R 恒成立 ································ 4 分

?? ? 4 ? 4(4 ? a) ? 0

?a?3

················· 5 分

? amax ? 3

··························· 6 分

(2) 当a=3时F(x) =f ( x) ? k ? x 有三个零点

? k ? x3 ? 2 x 2 ? 4 x 有三个不同的实根

··············· 7 分 ········· 8 分

令g ( x) ? x3 ? 2x2 ? 4x ,则 g '( x)=3x 2 ? 4x ? 4
令 g '( x) ? 0 解得 x1 ? ?2, x2 ?

2 3

x, g '( x), g ( x) 情况如下表:

x
g '( x ) g ( x)

(??, ?2)
+ 单调递增

?2
0 极大值 8

2 ( ?2, ) 3
- 单调递减

2 3
0 极小极

2 ( , ??) 3
+ 单调递增

?

40 27

································· 10 分 由 上 表 知 , 当 x ? ?2 时 g ( x) 取 得 极 大 值 g (?2) ? 8 , 当 x ?

2 时 g ( x) 取 得 极 小 值 3

2 40 g( ) ? ? 3 27
数形结合可知,实数 k 的取值范围为 ( ?

40 ,8) 27

············· 12 分

22. (本小题满分 14 分) 解: (I)设双曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) , ······· 1 分 a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? 9, ? 由题设得 ? b ···················· 3 分 5 . ? ? 2 ?a
解得 ?
2 ? ?a ? 4, 2 ? ?b ? 5.

······················· 5 分



所以双曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1; 4 5

············· 6 分

(II)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0) ,点 M ( x1,y1 ) , N ( x2,y2 ) 的坐标满

① ? y ? kx ? m, x 2 (kx ? m) 2 ? 2 2 ? ?1, 足方程组 ? x 将①式代入②式,得 y 4 5 ? ? 1. ② ? 5 ?4 ,
整理得 (5 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 20 ? 0 , ············ 8 分
2 2 2

此方程有两个不等实根,于是 5 ? 4k ? 0 ,
2

且 ? ? (?8km) ? 4(5 ? 4k )(4m ? 20) ? 0 ,
2 2 2

整理得 m ? 5 ? 4k ? 0 .③
2 2

················· 9 分

由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标 ( x0,y0 ) 满足:

x0 ?

x1 ? x2 4km 5m , y0 ? kx0 ? m ? , ······· 10 分 ? 2 2 5 ? 4k 5 ? 4k 2
5m 1? 4km ? ?? ?x? ? 2 5 ? 4k k? 5 ? 4k 2 ? ,
1分

从而线段 MN 的垂直平分线的方程为 y ?

此直线与 x 轴, y 轴的交点坐标分别为 ?

9m ? ? 9km ? ? , , 0 ? , ? 0, 2 2 ? ? 5 ? 4k ? ? 5 ? 4k ?

由题设可得

1 9km 2 5 ? 4k 2

(5 ? 4k 2 ) 2 9m 81 2 ,整理得 ,k ? 0, m ? ? k 5 ? 4k 2 2

································ 12 分

(5 ? 4k 2 ) 2 将上式代入③式得 ? 5 ? 4k 2 ? 0 , ··········· 13 分 k
整理得 (4k ? 5)(4k ? k ? 5) ? 0 , k ? 0 ,解得 0 ? k ?
2 2

5 5 或k ? , 4 2

所以 k 的取值范围是 ? ?∞, ?

? ?

5? ? 4?

? 5 ? ? 0? ? ? 2 , ? ? ?

? 5? ?5 ? 0 , , ? ∞ ? . · 14 分 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?4


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