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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第二章第9课时课后达标检测


[基础达标] 一、选择题 1.(2014· 长沙模拟)已知函数 f(x)的图象是连续不断的,有如下的 x,f(x)的对应表 x 1 2 3 4 5 6 f(x) 136.13 15.552 10.88 -3.92 -52.488 -232.064 则函数 f(x)存在零点的区间有( ) A.区间[1,2]和[2,3] B.区间[2,3]和[3,4] C.区间[2,3],[3,4]

和[4,5] D.区间[3,4],[4,5]和[5,6] 解析:选 C.因为 f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,所以在区间[2,3],[3,4],[4,5]内有 零点. 2 2.函数 f(x)=2x- -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是( ) x A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2) 解析:选 C.由于函数的一个零点在区间(1,2)内, 所以 f(1)f(2)<0, 即(2-2-a)(4-1-a)<0, 即 a(a-3)<0, 解得 0<a<3,故选 C. 3.(2014· 广东潮州检测)函数 f(x)=|x-2|-ln x 在定义域内的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 C.在同一坐标系内作出函数 y=|x-2|及 y=ln x 的图象,如下:

观察图象可以发现它们有 2 个交点, 即函数 f(x)=|x-2|-ln x 在定义域内有 2 个零点. 4. (2014· 湖北省重点中学)奇函数 f(x), 偶函数 g(x)的图象如图 1,2 所示, 方程 f(g(x))=0, g(f(x))=0 的实根个数分别为 a,b,则 a+b 等于( )

A.14 B.10 C.7 D.3 解析:选 B.(1)对于方程 f(g(x))=0,令 t=g(x),则由 f(t)=0 可得 t=-1,0,1. g(x)=-1 时,x=± 1,有 2 个解;g(x)=0 时,有 3 个解; g(x)=1 时,x=± 2,有 2 个解,f(g(x))=0 的实根个数 a=7. (2)对于方程 g(f(x))=0,令 t=f(x),由 g(t)=0,得 t1∈(-2,-1),t2=0,t3∈(1,2),f(x)

=t1,无解,f(x)=t3,无解;f(x)=0,有 3 个解,即 b=3,∴a+b=10. 5.(2014· 武汉市质检)若函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x),且 x∈[-1,1]时,f(x)=1 lg x?x>0? ? ? 2 -x ,函数 g(x)=? 1 ,则函数 h(x)=f(x)-g(x)在[-5,5]上的零点个数为( ) - ?x<0? ? ? x A.5 B.7 C.8 D.10 解析:选 C.由 f(x+2)=f(x),得函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数,故可在同一直角坐 标系中画出函数 f(x)与 g(x)的图象(图略),由图象易知函数 f(x)与 g(x)的图象在区间[-5,5]上 有 8 个交点,即函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上有 8 个零点. 二、填空题 ?x-2?ln x 6.函数 f(x)= 的零点个数是________. x-3 解析:函数的定义域是(3,+∞),且由 f(x)=0 得 x=2 或 x=1,但 1?(3,+∞),2?(3, +∞),故 f(x)没有零点. 答案:0 7.用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0 可得 其中一个零点 x0∈________,第二次应计算________. 解析:∵f(x)=x3+3x-1 是 R 上的连续函数,且 f(0)<0,f(0.5)>0,则 f(x)在 x∈(0,0.5) 上存在零点,且第二次验证时需验证 f(0.25)的符号. 答案:(0,0.5) f(0.25) 8.若函数 f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2 和 3,则不等式 af(-2x)>0 的解集是 ________. 解析:∵f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2,3, ∴-2,3 是方程 x2+ax+b=0 的两根, ?-2+3=-a ? 由根与系数的关系知? , ? ?-2×3=b
? ?a=-1 ∴? , ?b=-6 ? ∴f(x)=x2-x-6. ∵不等式 af(-2x)>0,

3 即-(4x2+2x-6)>0?2x2+x-3<0?- <x<1, 2 3 ∴解集为{x|- <x<1}. 2 3 答案:{x|- <x<1} 2 三、解答题 1? x 1 9.已知函数 f(x)=x3-x2+ + .证明:存在 x0∈? ?0,2?,使 f(x0)=x0. 2 4 证明:令 g(x)=f(x)-x. 1? ?1? 1 1 1 ∵g(0)= ,g? =f - =- , 4 ?2? ?2? 2 8 1 ? ∴g(0)· g? ?2?<0. 1? 又函数 g(x)在? ?0,2?上连续, 1 0, ?,使 g(x0)=0,即 f(x0)=x0. ∴存在 x0∈? ? 2? 10.关于 x 的二次方程 x2+(m-1)x+1=0 在区间[0,2]上有解,求实数 m 的取值范围.

解:设 f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2], ①若 f(x)=0 在区间[0,2]上有一解, ∵f(0)=1>0,则应有 f(2)<0, 3 又∵f(2)=22+(m-1)×2+1,∴m<- . 2 ②若 f(x)=0 在区间[0,2]上有两解,则 Δ≥0, ? ? m-1 ?0<- 2 <2, ? ?f?2?≥0, m≥3或m≤-1, ? ?-3<m<1, ∴? 3 ? ?m≥-2. 3 ∴- ≤m≤-1. 2 由①②可知 m 的取值范围是(-∞,-1]. [能力提升] 一、选择题 1. (2014· 襄阳市高三调研)若函数 f(x)在(1,2)内有一个零点, 要使零点的近似值满足精确 度为 0.01,则对区间(1,2)至少二等分( ) A.5 次 B.6 次 C.7 次 D.8 次 1 解析:选 C.设对区间(1,2)二等分 n 次,开始时区间长为 1,第 1 次二等分后区间长为 , 2 1 1 1 第 2 次二等分后区间长为 2,第 3 次二等分后区间长为 3,?,第 n 次二等分后区间长为 n. 2 2 2 1 依题意得 n<0.01,∴n>log2100.由于 6<log2100<7, 2 ∴n≥7,即 n=7 为所求. [x] 2. (2014· 湖北省八校联考)已知 x∈R, 符号[x]表示不超过 x 的最大整数, 若函数 f(x)= x -a(x≠0)有且仅有 3 个零点,则 a 的取值范围是( ) 3 4 4 3 3 4 4 3 A.( , ]∪[ , ) B.[ , ]∪[ , ] 4 5 3 2 4 5 3 2 1 2 5 3 1 2 5 3 C.( , ]∪[ , ) D.[ , ]∪[ , ] 2 3 4 2 2 3 4 2 [x] 解析:选 A.当 0<x<1 时,f(x)= -a=-a, x [x] 1 [x] 2 1≤x<2 时,f(x)= -a= -a,2≤x<3 时,f(x)= -a= -a,?. x x x x [x] [x] [x] f(x)= -a 的图象是把 y= 的图象进行纵向平移而得到的,画出 y= 的图象,通过 x x x 3 4 4 3 数形结合可知 a∈( , ]∪[ , ),故选 A. 4 5 3 2 二、填空题 3.函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则 n=________. 解析:由于 ln 2<ln e=1,所以 f(2)<0,f(3)=2+ln 3,由于 ln 3>1,所以 f(3)>0,所 以函数 f(x)的零点位于区间(2,3)内,故 n=2. 答案:2 ?m-1? -4≥0, ? ? ∴?-3<m<1, ? ?4+?m-1?×2+1≥0.
2

x ? ?a ,x≥0, 4.已知 0<a<1,k≠0,函数 f(x)=? 若函数 g(x)=f(x)-k 有两个零点, ?kx+1,x<0, ?

则实数 k 的取值范围是________. 解析:

函数 g(x)=f(x)-k 有两个零点,即 f(x)-k=0 有两个解,即 y=f(x)与 y=k 的图象有两 个交点.分 k>0 和 k<0 作出函数 f(x)的图象.当 0<k<1 时,函数 y=f(x)与 y=k 的图象有 两个交点;当 k=1 时,有一个交点;当 k>1 或 k<0 时,没有交点,故当 0<k<1 时满足 题意. 答案:(0,1) 三、解答题 1? 5.设函数 f(x)=? ?1-x?(x>0). (1)作出函数 f(x)的图象; 1 1 (2)当 0<a<b,且 f(a)=f(b)时,求 + 的值; a b (3)若方程 f(x)=m 有两个不相等的正根,求 m 的取值范围. 解:(1)如图所示.

-1,x∈?0,1], 1? ?x ? (2)∵f(x)=?1-x?=? 1 ?1-x,x∈?1,+∞?, 故 f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数, 1 由 0<a<b 且 f(a)=f(b),得 0<a<1<b,且 -1= a 1 1 1 1- ,∴ + =2. b a b (3)由函数 f(x)的图象可知,当 0<m<1 时,方程 f(x)=m 有两个不相等的正根. 6.(选做题)已知二次函数 f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a. (1)判断命题“对于任意的 a∈R(R 为实数集),方程 f(x)=1 必有实数根”的真假,并写 出判断过程; 1 (2)若 y=f(x)在区间(-1,0)及(0, )内各有一个零点,求实数 a 的取值范围. 2 解:(1)“对于任意的 a∈R(R 为实数集),方程 f(x)=1 必有实数根”是真命题. 依题意:f(x)=1 有实根,即 x2+(2a-1)x-2a=0 有实根, ∵Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0 对于任意的 a∈R(R 为实数集)恒成立, 即 x2+(2a-1)x -2a=0 必有实数根,从而 f(x)=1 必有实数根. 1 (2)依题意:要使 y=f(x)在区间(-1,0)及(0, )内各有一个零点, 2

1

f?-1?>0, ? ?f?0?<0, 只需? ?>0, ?f?1 ? 2 3-4a>0, ? ?1-2a<0, 即? 3 ? ?4-a>0, 1 3 解得 <a< . 2 4

1 3 即实数 a 的取值范围是( , ). 2 4


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