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二项式定理(1)


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班级:高二年级 周次 课题 教学目标 (识记、 理解 应用、 分析、 创见) 教学重点 及难点 教学方法 教学反馈
重点:二项式定理及通项公式的掌握及运用. 难点:二项式定理及通项公式的掌握及运用. 知识目标:进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式. 能力目标:能解决二项展开式有关的简单问题. 情感目标:教学过程中,要让学生充

分体验到归纳推理不仅可以猜想到 一般性的结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法.

科目:数学 教学时间 2016 年 5 月 日
1-4-1 二项式定理(1)

月教案序号 课型 新授

观察、思考、交流、讨论、概括。

板 书 设 计

宝石学校活页课时教案
高中选修 2-3 教案 第 2 页 共 4 页

一、复习引入:
0 2 1 2 2 ⑴ (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? C2 a ? C2 ab ? C2 b ;

0 3 1 2 2 3 3 ⑵ (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ? C3 a ? C3 a b ? C3 ab2 ? C3 b

王新敞
奎屯

新疆

⑶ (a ? b)4 ? (a ? b)(a ? b)(a ? b)(a ? b) 的各项都是 4 次式, 即展开式应有下面形式的各项: a , a b , a b , ab , b ,
4 3

2 2

3

4

a 的系数是 C4 ; 展开式各项的系数: 上面 4 个括号中, 每个都不取 b 的情况有 1种, 即 C4 种,
1 1 2 2 a b 的系数是 C4 a b 的系数是 C4 恰有 1个取 b 的情况有 C4 种, , 恰有 2 个取 b 的情况有 C4 种, ,
3

0

4

0

2 2

恰有 3 个取 b 的情况有 C4 种, ab 的系数是 C4 ,有 4 都取 b 的情况有 C4 种, b 的系数是 C4 ,
0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 ∴ (a ? b)4 ? C4 a ? C4 a b ? C4 a b ? C4 a b ? C4 b .

3

3

3

4

4

4

二、讲解新课:
0 n 1 n r n ?r r n n 1. 二项式定理: (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ??? Cn b (n ? N ? )

⑴ (a ? b) 的展开式的各项都是 n 次式,即展开式应有下面形式的各项:
n

a n , a n b ,…, a n?r br ,…, bn ,
⑵ 展开式各项的系数: 每个都不取 b 的情况有 1种,即 Cn 种, a 的系数是 Cn ;
1 1 恰有 1个取 b 的情况有 Cn 种, a b 的系数是 Cn ,……,
n

0

n

0

恰有 r 个取 b 的情况有 Cn 种, a
n
n

r

n?r

r br 的系数是 Cn ,……,
n

有 n 都取 b 的情况有 Cn 种, b 的系数是 Cn ,
0 n 1 n r n ?r r n n ∴ (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ??? Cn b (n ? N ? ) ,

这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫 (a ? b) 的二项展开式,⑶它有 n ? 1
n

项,各项的系数 Cn (r ? 0,1,?n) 叫二项式系数,
r

⑷ Cn a

r

n?r

r n ?r r br 叫二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示,即通项 Tr ?1 ? Cn a b .

2

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高中选修 2-3 教案
1 r r ⑸二项式定理中,设 a ? 1, b ? x ,则 (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? xn
王新敞
奎屯 新疆

第 3 页 共 4 页

2、讲解例题: 例 1.展开 (1 ?

1 4 ) . x
1 x 1 x 1 x 1 x

4 1 1 2 3 3 4 解一: (1 ? ) ? 1 ? C4 ( ) ? C4 ( ) ? C4 ( ) ? ( ) ? 1 ?

1 x

4 6 4 1 ? 2? 3? 4. x x x x

4 4 4 4 1 3 1 2 3 x 4 ? C4 x ? C4 x ? C4 x ? 1? 解二: (1 ? ) ? ( ) ( x ? 1) ? ( ) ? ? ? x x x

1

1

1

? 1?

4 6 4 1 ? 2? 3? 4. x x x x

例 2.展开 (2 x ?

1 6 ) . x

解: (2 x ?

1 6 1 ) ? 3 (2 x ? 1)6 x x

?

1 1 2 3 2 1 [(2 x)6 ? C6 (2 x)5 ? C6 (2 x) 4 ? C6 (2 x)3 ? C6 (2 x) 2 ? C6 (2 x) ? 1] x3 60 12 1 ? ? . x x 2 x3

? 64 x3 ? 192 x 2 ? 240 x ? 160 ?

例 3.求 ( x ? a) 的展开式中的倒数第 4 项
12 12

王新敞
奎屯

新疆

解: ( x ? a) 的展开式中共 13 项,它的倒数第 4 项是第 10 项,
9 12?9 9 3 3 9 T9?1 ? C12 x a ? C12 x a ? 220x3a9 .

三、小结 二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明;二项式定理及通项公式的特点 四、练习
3
王新敞
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6

1. 求 ? 2a ? 3b ? 的展开式的第 3 项. 2. 求 ? 3b ? 2a ? 的展开式的第 3 项.
6

3. 写出 (3 x ?

1 2 x
3

) n 的展开式的第 r+1 项.

五、作业 课本第 25 页的练习:1-4 题.

4


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