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数列的新定义


五 考点 8 数列的新定义

1.由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项,将每个图形的层数增加可得到 这四个数列的后继项.按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数 列”…,将构图边数增加到 n 可得到“n 边形数列”,记它的第 r 项为 P(n,r) .

第 1 题图 YRN2 (1)求使得 P(3,r)>3

6 的最小 r 的取值; (2)试推导 P(n,r)关于 n、r 的解析式; (3)是否存在这样的“n 边形数列”,它的任意连续两项的和均为完全平方数.若存在,指 出所有满足条件的数列,并证明你的结论;若不存在,请说明理由. 【考点】归纳推理. 【解】 (1)由题意得:P(3,r)=1+2+…+r=

r (r ? 1) 2 ,



r (r ? 1) 2 >36,即 r +r-72>0,解得 r>8∴最小的 r=9. 2

(2)设 n 边形数列所对应的图形中第 r 层的点数为 ar , 则 P(n,r)= a1 ? a2 ? ? ? ar , 从图中可以得出:后一层的点在 n-2 条边上增加了一点,另两条边上的点数不变, 所以 ar ?1 ? ar =n-2, a1 =1,所以 {ar } 是首项为 1 公差为 n-2 的等差数列, 所以 P(n,r)=r+

( n ? 2)r (r ? 1) ; 2
2

(3)P(n,r+1)+P(n,r)=(n-2) r +2r+1, n=3 时,满足题意; 而结论要对于任意的正整数 r 都成立,则(n-2) r +2r+1 的判别式必须为 0, ∴4-4(n-2)=0,∴n=3, 故满足题意的数列为“三角形数列”. 2.对于给定数列 ?cn ? ,如果存在实常数 p,q,使得 cn?1 ? pcn ? q(p≠0)对于任意的 n∈ N 都成立,我们称这个数列 ?cn ? 是“M 类数列”.
*
2

五 考点 8 数列的新定义

(1)若 an ? 2n,bn ? 3 ? 2 n,n ? N* ,判断数列 ?an ? , ?bn ? 是否为“M 类数列”,并说明理 由; (2)若数列 ?an ? 是“M 类数列”,则数列 ?an ? an?1? 、 ?an ? an?1? 是否一定是“M 类数列”, 若是的,加以证明;若不是,说明理由;
n (3)若数列 ?an ? 满足: a1 ? 1,an ? an?1 ? 3 ? 2 ,设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , ( n ? N*)

求 Sn 的表达式,并判断 ?an ? 是否是“M 类数列”. 【考点】数列的应用. 【解】 (1)因为 an?1 ? an ? 2 ,即 p=1,q=2,所以 ?an ? 是“M 类数列”;

bn?1 ? 2bn ,即 p=2,q=0, ?bn ? 也是“M 类数列”.
(2)因为 ?an ? 是“M 类数列”,所以 an?1 ? pan ? q , an?2 ? pan?1 ? q , 所以 an?1 ? an?2 ? p ? an?1 ? an ? ? 2q ,因此, ?an ? an?1? 是“M 类数列”. 因为 ?an ? 是“M 类数列”,所以 an?1 ? pan ? q , an?2 ? pan?1 ? q , 所以 an?1an?2 ? p
2

? anan?1 ? ? pq ? an ? an?1 ? ? q2



当 q=0 时, ?an ? an?1? 是“M 类数列”; 当 q≠0 时, ?an ? an?1? 不是“M 类数列”; (3)当 n 为偶数时, Sn =3( 2 ? 2 ? ??? ? 2
3 n ?1

)= 2

n ?1

? 2,

当 n 为奇数时, Sn =1+3( 2 ? 2 ? ??? ? 2
2 4

n ?1

)= 2

n ?1

? 3,

?2n ?1 ? 2, ? 所以 Sn = ? n ?1 ? ?2 ? 3,

? n ? 2k , k ? Z ? . ? n ? 2k ? 1, k ? Z ?
n ?1

当 n 为偶数时 an = Sn ? Sn ?1 = 2

? 2 ? ( 2n ? 3 )= 2 n ? 1 ,

当 n 为奇数时, an = Sn ? Sn ?1 = 2 所以 an = ?
n ? ?2 ? 1 n ? ?2 ? 1

n ?1

? 3 ? ( 2n ? 2 )= 2 n ? 1 (n≥ 3) ,n=1 时,也适合,

? n ? 2k , k ? Z ? ,假设 ?an ? 是“M 类数列”, ? n ? 2k ? 1, k ? Z ?

n ?1 n ? p ? 2, q ? ?3 , 当 n 为偶数时, an ?1 ? 2 ? 1 ? pan ? q ? p 2 ? 1 ? q, n ?1 n 当 n 为奇数时, an ?1 ? 2 ? 1 ? pan ? q ? p 2 ? 1 ? q , ? p=2,q=3,

?

?

?

?

五 考点 8 数列的新定义

两种情况矛盾,所以 ?an ? 不是“M 类数列”. 3.我们规定:对于任意实数 A,若存在数列 ?an ? 和实数 x(x≠0) ,使得 A= a1 ? a2 x ? a3 x2 ? ? ? an xn?1 ,则称数 A 可以表示成 x 进制形式,简记为: A= x ? a1 ?? a2 ?? a3 ?? ? an ?1 ?? an ? .如:A= 2 ? ?1?? 3?? ?2 ??1? ,则表示 A 是一个 2 进制形式 的数,且 A= ? 1+3× 2+( ? 2)×2 +1×2 =5.
2 3

(1)已知 m=(1 ? 2x) (1+3 x ) (其中 x≠0) ,试将 m 表示成 x 进制的简记形式.
2

(2)若数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , ak ?1 ?

1 , k ? N? , 1 ? ak

,是否存在实常数 p 和 q,对于任意 bn = 2 ? a1 ?? a2 ?? a3 ?? ? a3n ? 2 ?? a3n ?1 ?? a3n ? (n∈ N? ) 的 n∈ N , bn ? p ? 8n ? q 总成立?若存在,求出 p 和 q;若不存在,说明理由. (3)若常数 t 满足 t≠0 且 t> ? 1, dn = t Cn
1

?

? ?? C ?? C ??? C ?? C ? ,求 lim dd
2 n 3 n n ?1 n n n

n

n ??



n ?1

【考点】数列与函数的综合;数列的极限. 【解】 (1) m=(1 ? 2x) (1+3 x )=1 ? 2x+3 x ? 6 x
2 2 3

则 m= x ?1?? ?2 ?? 3 ?? ?6 ? ; (2) a2 ? ?1, a3 ? ∵ an ?1 ?

1 1 , a4 ? 2, a5 ? ?1, a6 ? , 2 2

1 ? an 1 1 1 ? ? ∴ an ? 2 ? 1 ? an ?1 1 ? 1 ?an 1 ? an 1 ? an 1 1 ? ? an (n∈ N? ) ,则 ?an ? 是周期为 3 的数列, 1 ? an ? 2 1 ? 1 ? an ?an
?

∴ an ?3 ?

假设存在实常数 p 和 q,对于任意的 n∈ N , bn ? p ? 8n ? q 总成立, 则 bn = 2 ? a1 ?? a2 ?? a3 ?? ? a3n ? 2 ?? a3n ?1 ?? a3n ?

五 考点 8 数列的新定义

= ? 2 ? ? ?1? ? 2 ?

? ?

? 1 2? ? 1 ? ? 2 ? ? ?2 ? 23 ? ? ?1? ? 24 ? ? 25 ? ??? ? 2 ? 23n?3 ? ? ?1? ? 23n?2 ? 2 2 ? ? ? ?

1 ? 8n 2 n 2 1 2? 1 3n?1 ? ? 3 6 3 n ?3 2 ? ? ?8 ? , = = 2 ? ? 1 ? 2 ? ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? 1? 8 7 7 2 2 ? ? ?
2 2 ,q ? ? . 7 7 2 2 ? 即存在实常数 p ? , q ? ? ,对于任意的 n∈ N , bn ? p ? 8n ? q 总成立; 7 7
∴p? (3) d n ? Cn ? Cnt ? Cnt ? Cnt ? ? ? Cnt
1 2 3 2 4 3 n n ?1

?

2 2 3 3 4 4 n n C1 n t ? Cn t ? Cn t ? Cn t ? ? ? Cn t t

1 2 2 3 3 n n ?1 ? t ? ?1 , [C0 n ? Cnt ? Cnt ? Cnt ? ? ? Cnt ] ? 1 = ? t t n
n ? 1 1 ? t ? ?1 ? ,|1 ? t |? 1 ? dn ∴ lim , ? lim ? ?1 ? t n ? 1 n ?? d n ?? 1 ? t ? 1 ? ? n ?1 ? ?1,|1 ? t |? 1

? 1 ,t ? 0 dn ? 即 lim . ? ?1 ? t n ?? d n ?1 ? ?1, ?1 ? t ? 0
an ? 2 =q(q 为常数) ,则称数 an
*

4.若数列{ an }的每一项都不为零,且对于任意的 n ? N ,都有
*

列{ an }为“类等比数列”.已知数列{ bn }满足: b1 =b(b ? R,b≠0) ,对于任意的 n ? N ,都 有 bn ? bn?1 ? 2n?1 . (1)求证:数列{ bn }是“类等比数列”; (2)若{ bn }是单调递增数列,求实数 b 的取值范围; (3)设数列{ bn }的前 n 项和为 Sn ,试探讨 lim 【考点】数列的应用;等比数列的性质. 【解】 (1)证明:∵ bn ? bn?1 ? 2n?1 ,∴ bn?1 ? bn?2 ? 2n?2 ,∴ ∴数列{ bn }是“类等比数列”;

Sn 是否存在,说明理由. n ?∞ b ? b n n ?1 bn ? 2 bn ?1 ? bn ? 2 2n ? 2 ? n ?1 ? 2 , ? 2 bn bn ? bn ?1

五 考点 8 数列的新定义

(2)∵ b1 ? b , bn ? bn?1 ? 2n?1 ,∴ b2 ?

22 4 ? , b1 b

n ?1 ? 2 ?b ? 2 ,n为奇数 ∴ bn = ? ,∵数列{ bn }是单调递增数列, n?2 ? 4 ? 2 2 ,n为偶数 ?b 4 k ?1 4 k ?1 k ∴ b2k ?1≤b2k ≤b2k ?1 ,即 b ? 2 ≤ ? 2 ≤b ? 2 ,整理得 b≤ ≤2b ,解得 2≤b≤2 , b b

∴实数 b 的取值范围为[ 2 ,2]; (3)结论:当 b= ? 4 8 时 lim

n ?∞

Sn ? 2 ,否则不存在. bn ? bn?1

n ?1 ? 2 ?b ? 2 ,n为奇数 理由如下:由(2)可知 bn = ? , n?2 ? 4 ? 2 2 ,n为偶数 ?b

①当 n=2k ? 1(k ? N )时,
*

4 4 bn ? bn?1 ? b2k ?1 ? b2k ? b ? 2k ?1 ? ? 2 k ?1 ? (b ? ) ? 2k ?1 , b b

4 (1 ? 2k ?1 ) b(1 ? 2 ) b Sn ? (b1 ? b3 ? ? ? b2k ?1 ) ? (b2 ? b4 ? ?? b2k ?2 ) ? ? 1? 2 1? 2 4 4 ? (2b ? ) ? 2k ?1 ? (b ? ) , b b 4 4 4 (2b ? ) ? 2k ?1 ? (b ? ) 2b ? Sn b b ? b ? 2? 4 ; ∴ lim ? lim n ?∞ b ? b k ?∞ 4 4 4 ? b2 n n ?1 (b ? ) ? 2k ?1 b? b b
k

②当 n=2k(k ? N )时,
*

4 4 bn ? bn ?1 ? b2 k ? b2 k ?1 ? ? 2k ?1 ? b ? 2k ? (2b ? ) ? 2k ?1 , b b

Sn ? (b1 ? b3 ? ? ? b2k ?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? ? b2k ?2 ?b2 k ) =

b ?1 ? 2k ? 1? 2

4 ?1 ? 2k ? b ? 1? 2

4 4 ? 2(b ? ) ? 2k ?1 ? (b ? ) , b b 4 4 4 2(b ? ) ? 2k ?1 ? (b ? ) 2(b ? ) Sn b b ?? b ? 1? 2 ; lim ? lim n ?∞ b ? b k ?∞ 4 4 2 ? b2 n n ?1 (2b ? ) ? 2k ?1 2b ? b b

五 考点 8 数列的新定义

令2?

4 2 4 ? 1? ,化简得 b ? 8 ,解得 b ? ? 4 8 , 2 2 4?b 2?b
n ?∞

综上所述,当 b ? ? 4 8 时 lim

Sn ? 2 ,否则不存在. bn ? bn?1

【点评】本题考查数列的通项及求和,考查分类讨论的思想,考查极限思想,注意解题方法 的积累,属于中档题.


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