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圆锥曲线知识点、公式大全、测试题


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圆锥曲线的方程与性质 1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点 F 、 F2 的距离的和等于常数 2
1

a (大于 | F1F2 | )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若 M
? 1( a

为椭圆上任意一点,则有 | MF

r />1

| ? | MF2 |? 2a 。
2 x2 ? b ? 0) (焦点在 x 轴上)或 y ?

2 y2 椭圆的标准方程为: x (a ? ?1 a 2 b2

? b ? 0) (焦点在 y 轴上) 。

a2

b2

注:①以上方程中 a , b 的大小 a ②在

? b ? 0 ,其中 b2 ? a 2 ? c2 ;

x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 两个方程中都有 a 2 a b a b

? b ? 0 的条件,要分清焦点的位置,只要看 x 2 和 y 2 的分母的大小。例如椭圆 x

2

m

?

y2 (m ?1 n

?0,

n ? 0 , m ? n )当 m ? n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆;当 m ? n 时表示焦点在 y 轴上的椭圆。
(2)椭圆的性质
2 y2 ①范围:由标准方程 x 知| ? ?1 a 2 b2

x |? a , | y |? b ,说明椭圆位于直线 x ? ? a , y ? ?b 所围成的矩形里;
y 方程不变,所以若点 ( x, y ) 在曲线上时,点 ( x, ? y ) 也在曲线上,所以曲线关于 x 轴对称,同理,以 ?x 代替

②对称性:在曲线方程里,若以 ? y 代替

x 方程不变,则曲线关于 y 轴对称。若同时以 ?x 代替 x , ? y 代替 y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心;
③顶点: 确定曲线在坐标系中的位置, 常需要求出曲线与 在椭圆的标准方程中, 令x ? 0, 得 y ? ?b , 则 B1 ( 0 , ?)b x 轴、y 轴的交点坐标。 ,B2 (0, b)

是椭圆与

y 轴的两个交点。同理令 y ? 0 得 x ? ? a ,即 A1 (?a,0) , A2 (a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。

所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段

A1 A2 、 B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为 2a 和 2b , a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
在 Rt ?OB2 F2 中, 且| O | OB2 |? b ,| OF2 |? c ,| B2 F2 |? a , a; F 2| 2 ? | BF 2 2|
2

由椭圆的对称性知: 椭圆的短轴端点到焦点的距离为 即 c 2 ? a 2 ? b2 ;

|? O B 2|

2



c 叫椭圆的离心率。∵ a ? c ? 0 ,∴ 0 ? e ? 1 ,且 e 越接近 1 , c 就越接近 a ,从而 b 就越小,对应的椭圆 a 越扁;反之, e 越接近于 0 , c 就越接近于 0 ,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,两焦点重合,图形变为圆,方程
④离心率:椭圆的焦距与长轴的比 e

?

为 x2

? y 2 ? a2 。

2.双曲线 (1)双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线( || PF ) 。 1 | ? | PF2 ||? 2a 注意:①式中是差的绝对值,在 0 ? 2a ?| F 条件下; | PF 1F 2 | 1 | ? | PF 2 ②当 2a ?| F 时, || PF 1F 2 | 1 | ? | PF2 ; |? 2a 时为双曲线的一支; | PF2 | ? | PF1 |? 2a 时为双曲线的另一支(含 F 1 的一支)

||? 2a 表示两条射线;③当 2a ?| F1F2 | 时, || PF1 | ? | PF2 ||? 2a 不表示任何图形;④两定点 F1 , F2 叫做双曲线的焦点,

| F1F2 | 叫做焦距。
椭圆和双曲线比较: 椭 定义 圆 双 曲 线

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 x2 y 2 ? ?1 b2 a 2

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a(2a ?| F1F2 |)
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

方程

焦点

F (?c, 0)

F (0, ?c)

F (?c, 0)

F (0, ?c)
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注意:如何用方程确定焦点的位置! (2)双曲线的性质
2 2 ①范围:从标准方程 x ? y ? 1 ,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线 2 2

a

b

x ? ? a 的外侧。即 x 2 ? a 2 , x ? a 即双曲线在两条直线 x ? ? a 的

外侧。 ②对称性:双曲线 x ? y ? 1 关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线 2 2
2 2

a

b

x2 y2 ? ? 1 的对称中心,双曲线的对称中 a2 b2

心叫做双曲线的中心。
2 2 ③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 x ? y ? 1 的方程里,对称轴是 x, 2 2

y 轴,所以令 y ? 0 得 x ? ? a ,因此双曲线和 x 轴有

a

b

2 y2 两个交点 A (?a,0) A (a,0) ,他们是双曲线 x 的顶点。 ? 2 ?1 2 2

a

b



x ? 0 ,没有实根,因此双曲线和 y 轴没有交点。

1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点) ,双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。 2)实轴:线段 的虚半轴长。
2 y2 ④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看,双曲线 x 的各支向外延伸时,与这 ? ?1 a2 b2

A A2 叫做双曲线的实轴,它的长等于 2a, a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴:线段 B B2 叫做双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b 叫做双曲线

两条直线逐渐接近。 ⑤等轴双曲线: 1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式: a 2)等轴双曲线的性质: (1)渐近线方程为:

y ? ?x

? b;

; (2)渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。 3)注意到等轴双曲线的特征 a

? b ,则等轴双曲线可以设为: x 2 ? y 2 ? ? (? ? 0)

,当

? ? 0 时交点在 x 轴,当 ? ? 0 时焦点在 y 轴上。

2 2 2 2 ⑥注意 x ? y ? 1 与 y ? x ? 1 的区别:三个量 a, b, c 中 a , b 不同(互换)

c 相同,还有焦点所在的坐标轴也变了。

16

9

9

16

3.抛物线(1)抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线。 方程 y 2

? 2 px

? p ? 0? 叫做抛物线的标准方程。

注意:它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,焦点坐标是 F( p ,0) ,它的准线方程是 x ? ? p ; 2 2 (2)抛物线的性质 一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:

y 2 ? ?2 px , x 2 ? 2 py ,

x 2 ? ?2 py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:
标准方程

y 2 ? 2 px ( p ? 0)

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)

x2 ? 2 py ( p ? 0)

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

l
图形

y F

y

l

y

o

x

F o

x

F

l

o

x

焦点坐标

p ( , 0) 2

(?

p , 0) 2

p (0, ) 2

p (0, ? ) 2

准线方程

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2
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范围 对称性 顶点 离心率

x?0

x?0

y?0
y轴

y?0
y轴

x轴
(0, 0)
e ?1

x轴
(0, 0)
e ?1

(0, 0)
e ?1

(0, 0)
e ?1

说明: (1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径; (2)抛物线的几何性质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心, 没有渐近线; (3)注意强调 圆锥曲线公式大全

p 的几何意义:是焦点到准线的距离。

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