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河南省实验中学2013-2014高三上期期中文科


河南省实验中学 2013——2014 学年上期期中试卷
高三 文科数学 命题人 李新德
(时间:120 分钟,满分:150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1.设集合 A ? x ?3 ? 2 x ? 1 ? 3 ,集合 B 是函数 y ? lg ?

x ? 1? 的定义域;则 A ? B ( A. ?1, 2 ? B. ?1, 2? C. ?1, 2 ? D. ?1, 2? )

?

?



2.若f (x)是偶函数,且当 x ? ? 0, +? ? 时,f (x) = x-1,则f (x-1) < 0的解集是( A.{x |-1 < x < 0} C.{x | 0 < x < 2} 3.设向量 a, b 满足 a ? b ? 1 , a ? b ? ? A. 2, B. 3, B.{x | x < 0或1< x < 2} D.{x | 1 < x < 2}

? ?

?

?

? ?

? ? 1 ,则 a ? 2b =( 2

) D. 7

C. 5, )

4.函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ?

?
3

) 图象的对称轴方程可能是(

?
6

B. x ? ?

?
12

C. x ?

?
6

D. x ? )

?
12

5.下列函数中,既是偶函数,又在区间 ?1, 2 ? 内是增函数的为( A. y ? cos 2 x 6..函数 y ? A. ? ?1,1?

B.

y ? log 2 | x |

C。 (

e x ? e? x ?2


3 D. y ? x ? 1

1 2 x ? ln x 的单调递减区间为 2
B.(0,1]

C.[1,+∞) (

D.(0,+∞) ) D.5 ( )

7.函数 f ? x ? ? x cos 2 x 在区间 ? 0, 2? ? 上的零点个数为 A.2 8.设函数 f ( x) ? ?
2

B.3

C.4

?2 x ? 1 ?x ? 2x ? 2

( x ? 1) ( x ? 1)

,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是

A. (??, ?1) ? (1, ??) C. (??, ?3) ? (1, ??)

B. D.

(??, ?1) ? ?1, ?? ? (??, ?3) ? ?1, ?? ?

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9.O 是 ?ABC 所在平面内的一点,且满足 (OB ? OC ) ? (OB ? OC ? 2OA) ? 0 , 则 ?ABC 的形状一定为( ) A.正三角形 B.直角三角形
2

??? ? ????

??? ? ????

??? ?

C.等腰三角形

D.斜三角形 )

10.不等式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为 R ,则实数 a 的取值范围是( A . (?2, 2) B.

? ?2, 2?

C.

? ??, 2?

D.

? ?2, 2 ?

11.等差数列 ?an ? 的前 m 项和为30,前 2m 项和为100,则它的前 3m 项和是( ) A.130 B.170 C.210 D.260

12.在锐角三角形中,a、b、c分别是内角A、B、C的对边,设B=2A,则 A. ?

a 的取值范围是( b



? 3 2? ? 3 , 2 ? ? ? ?

B.

?

2, 2

?

C.

?

2, 3

?

D. (0,2)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.曲线 y ? x(3ln x ? 1) 在点(1,1)处的切线方程为________

15.在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n= Sn取得最大值 16.已知函数 y ? ________.

时,

x2 ?1 x ?1

的图像与函数 y ? kx 的图像恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 设 A ? x ?2 ? x ? 5

?

?

, B ? ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1? 若 B ? A ,求实数 m 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分)

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已知函数 f ? x ? ? lg ? x ? 1? . (1)若 0 ? f ?1 ? 2 x ? ? f ? x ? ? 1 ,求 x 的取值范围; (2)若 g ( x) 是以2为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时,有 g ( x) ? f ( x) ,求函数

y ? g ? x ? ? x ? ?1, 2?? 的反函数.

19. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin x, ) , b ? (cos x, ?1) (1)当向量 a 与向量 b 共线时,求 tan x 的值; (2)求函数 f ( x) ? 2(a ? b) ? b 的最大值,并求函数取得最大值时的 x 的值.

?

3 2

?

?

?

? ? ?

20. (本小题满分 12 分)

?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 cos ? A ? C ? ? cos B ? 1, a ? 2c ,
求 ?ABC 的内角 C . 21. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的各项为正数,其前n项和 sn 满足sn ? ( 设 bn ? 10 ? an

an ? 1 2 ) 2

?n ? N ?

(1)求证:数列 ?an ? 是等差数列,并求 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 的最大值。

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22. (本小题共 12 分) 已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 (1)求函数 f ( x) 在 ?t , t ? 2? (t ? 0) 上的最小值; (2)对一切 x ? (0, ??), 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x >

1 2 ? 成立. e x ex

河南省实验中学 2013——2014 学年上期期中答案
高三 文科数学
一、选择题 DCBD 二、填空题 13. 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 BBDB 14. x ? log 2 3 CBCA 15. 12或13 16. ? 0,1? ? ?1, 2 ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17..解;1:当 B ? ? 时,由 B ? A 得:

?m ? 1 ? 2 m ? 1 ? ?m ? 1 ? ?2 ?2 m ? 1 ? 5 ?

解得 2 ? m ? 3

-----

6分

2:当 B ? ? 时, m ? 1 ? 2m ? 1 ,解得 m ? 2 综上所述,实数m的取值范围是: m ? 3 。

----- 11分 ---- 12分

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18. (本小题满分 12 分)

?2 ? 2 x ? 0 ? x ? 1 ? 0 ,得 ? 1 ? x ? 1 . [解](1)由 ?


0 ? lg(2 ? 2 x) ? lg( x ? 1) ? lg 2x??21x ? 1 得 1 ?

2?2 x x ?1

? 10

因为 x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 10 x ? 10 ,

?2 ?x?1 3 3.

? ?1 ? x ? 1 ? 2 ? ?x?1 ?2 ?x? 3 由? 3 得 3

1 3

(2)当x?[1,2]时,2-x?[0,1],因此

y ? g ( x) ? g ( x ? 2) ? g (2 ? x) ? f (2 ? x) ? lg(3 ? x)
由单调性可得 y ? [0, lg 2] .
y 因为 x ? 3 ? 10 ,所以所求反函数是 y ? 3 ? 10 , x ? [0, lg 2]

x

19. (本小题满分 12 分)

3 3 cos x ? sin x ? 0 tan x ? ? 2. 【答案】 (1)? a与b 共线,∴ 2 ,∴
? ? ? 1 ? a ? b ? (sin x ? cos x, ) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ? 2(sin x ? cos x, 1 ) ? (cos x, ?1) 2 , 2 (2)

? 2 sin(2 x ? ) ? 2 sin x cos x ? 2 cos x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x 4 ,? 函数
2

?

f ( x ) 的最大值为

2

2x ?
,

?
4

? 2k? ?

?
2

( k ? Z),

得 x ? k? ?

?
8

函数取得最大值时 x ? k? ? 20. (本小题满分 12 分)

?
8

【解析】由 A ? B ? C ? ? ? B ? ? ? ( A ? C ) , 由正弦定理及 a ? 2c 可得 sin A ? 2sin C 所以 cos( A ? C ) ? cos B ? cos( A ? C ) ? cos(? ? ( A ? C )) ? cos( A ? C ) ? cos( A ? C )

? cos A cos C ? sin A sin C ? cos A cos C ? sin A sin C ? 2sin A sin C
故由 cos( A ? C ) ? cos B ? 1 与 sin A ? 2sin C 可得 2sin A sin C ? 1 ? 4sin C ? 1
2

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而 C 为三角形的内角且 a ? 2c ? c ,故 21. (本小题满分 12 分)

0?C ?

?
2 ,所以

sin C ?

1 ? C? 2 ,故 6.

解: (1)当n=1时,

a1 ? S1 ? (

a1 ? 1 2 ) ? a1 ? 1 2 ,

当n ? 2时,

an ? S n ? S n ?1 ? (

an ? 1 2 an ?1 ? 1 2 ) ?( ) 2 a 2 ? an ?1 ? 2an ? 2an ?1 ? 0 2 2 ,即: n

2 2 2 2 ? an ? 2an ? 1 ? an ?1 ? 2an ?1 ? 1 ,? ( an ? 1) ? ( an ?1 ? 1) ,? an ? 1 ? an ?1 ? 1

? an ? an ?1 ? 2 ,所以 {an } 是等差数列, an ? 2n ? 1
(2)

bn ? 10 ? an ? ?2n ? 11 , b1 ? 9 ,? bn ? bn ?1 ? ?2 ,?{bn } 是等差数列

?Tn ?

n(b1 ? bn ) ? ? n 2 ? 10n T ? ?52 ? 10 ? 5 ? 25 2 ,当n=5时, n max
1 x ? ( , ??) ? e , f ( x) >0, f ( x) 单调递增.

22. (本小题共 12 分)
? (1) f ( x) ? ln x ? 1 ,当 <0, f ( x) 单调递减,当 1 ①0<t<t+2< e , t 无解;
1 x ? (0, ), f ?(x) e

1 1 1 1 f ( x) min ? f ( ) ? ? e e; ②0<t< e <t+2,即0<t< e 时, 1 1 ?t t? t , t ? 2? e ③ <t+2,即 e 时, f ( x) 在 ? 上单调递增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ; 1 <t< e
? 1 ? ,0 ? ? e ?? ?t ln t , t ? 1 ? e ?

f ( x) min

所以

.
a ? 2ln x ? x ? 3 3 h( x) ? 2ln x ? x ? ( x x ,设 x >0) ,则

2 (2) 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3 ,则

h?( x) ?

( x ? 3)( x ? 1) ? ? x2 , x ? (0,1), h ( x) <0, h( x) 单调递减, x ? (1, ??), h ( x) >0, h( x) 单调递增,

所以 h( x)min ? h(1) ? 4, 因为对一切 x ? (0, ??), 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,所以 a ? h( x)min ? 4 ;
x 2 ? ( x ? (0, ??)) x (3)问题等价于证明 x ln x > e e ,由(1)可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小
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1 1 x 2 1? x x? m( x) ? x ? ( x ? (0, ??)) m?( x) ? x e 时取到,设 e e e ,易得 值是 e ,当且仅当 ,则 1 1 2 m( x) max ? m(1) ? ? ? x x ? (0, ?? ) e ,当且仅当 x ? 1 时取到,从而对一切 ,都有 ln x > e ex 成立. ?

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