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高三数学第一轮复习:轨迹问题


专题十八
一、选择题

轨迹问题
???? ? ???? ??? ? ?

1. 已知两点 M(-2, 0)、 N(2, 0), P 为坐标平面内的动点, 点 满足| MN |· MP |+ MN ·NP =0, | 则动点 P(x, y)的轨迹方程为( ) 2 2 A.y =8x B.y =-8x C.y2=4x D.y2=-4x 2.已知点 P(x, y)在以原点为圆心,半径为 1 的圆上运动,则点(x+y, xy)的轨迹是( ) A.半圆 B.部分抛物线 C.椭圆 D.双曲线的一支 3.点 P 为双曲线

????

x 2 y2 - =1 上异于顶点的任意一点,F1、F2 是双曲线的两焦点,则△PF1F2 16 9

的重心的轨迹方程是( ) 2 2 A.9x -16y =16(y≠0) B.9x2+16y2=16(y≠0) C.9x2-16y2=1(y≠0) D.9x2+16y2=1(y≠0) 4.△ABC 的顶点为 A(-5, 0)、B(5, 0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨 迹方程是( )

x 2 y2 A. - =1 9 16
C.

x 2 y2 B. - =1 16 9
D.

x 2 y2 - =1(x>3) 9 16

x 2 y2 - =1(x>4) 16 9

5.如图所示,已知点 M(-3, 0), N(3, 0), B(1, 0),圆 C 与直线 MN 切于点 B, M、 与圆 C 相切的两直线相交于点 P, P 点的轨迹方程为 过 N 则 ( ) A. x 2

y2 =1 (x<-1) 8 y2 =1 (x>0) 8

B. x -

2

y2 =1 (x>1) 8 y2 =1 (x>1) 10

C. x +

2

D. x -

2

6.已知 A(0, 7)、B(0, -7)、C(12, 2),以 C 为一个焦点作过 A、B 的椭圆,椭圆的另一个焦 点 F 的轨迹方程是( ) A. y 2

x2 =1 (y≤-1) 48

B. y -

2

x2 =1 48

x2 =-1 C. x 48
2

y2 =1 D. x 48
2

7.已知直线 l :2x+4y+3=0,P 为 l 上的动点,O 为坐标原点,若点 Q 满足 2 OQ = QP ,则 点 Q 的轨迹方程为( )

???? ??? ?

A.2x+4y+1=0 B.2x+4y+3=0 C.x+2y+2=0 D.x+2y+1=0 二、填空题 8.已知动圆 P 与定圆 C:(x+2)2+y2=1 相外切,又与定直线 L:x=1 相切,那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是_________________. 9.过点 M(-2, 0)作直线 l 交双曲线 x2-y2=1 于 A、B 两点,O 是原点,以 OA、OB 为邻边作 平行四边形 OAPB,则 P 点的轨迹方程是_________________________. 10.设过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,且 AB 的中心为 M,则点 M 的轨迹方程是_________________. 11. 已知⊙O 的方程是 x2+y2-2=0, O? 的方程是 x2+y2-8x+10=0, ⊙ 由动点 P 向⊙O 和⊙ O? 所 引的切线长相等,则动点 P 的轨迹方程是____________________. 三、解答题 12.如图所示,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1,且圆心距 L=4,过动 点P 分别作圆 O1、圆 O2,的切线 PM、PN(M、N 分别为切点),使得 PM= 2 PN.试建立适当的坐标系,并求动点 P 的轨迹方程. 13.如图,已知点 F(1, 0),直线 l :x=-1,P 为平面上的动点,过 P 作直线 l 的垂线,垂足 ??? ??? ??? ??? ? ? ? 为点 Q,且 QP · QF = FP · FQ . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点,交直线 ???? ? ??? ???? ? ??? ? l 于点 M,已知 MA =λ 1 AF , MB =λ 2 BF ,求λ 1+λ 2 的值.

14.已知平面上一定点 C(-1, 0)和一定直线 l :x=-4.P 为该平面上一动点,作 PQ⊥ l ,垂足 ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? 为 Q,( PQ +2 PC )·( PQ -2 PC )=0. (1)问点 P 在什么曲线上?并求出该曲线方程;

??? ? ??? ? (2)点 O 是坐标原点,A,B 两点在点 P 的轨迹上,若 OA +λ OB =(1+λ ) OC ,求
λ 的取值范围. 15.长度为 a(a>0)的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,点 P 在线段 AB ??? ? ??? ? 上,且 AP =λ PB (λ 为常数且λ >0) . (1)求点 P 的轨迹方程 C,并说明轨迹是什么图形; (2)当 a=λ +1 时,过点 M(1, 0)作两条互相垂直的直线 l 1 和 l 2, l 1 和 l 2 分别与曲线 C 相交于点 N 和 Q(都异于点 M),试问:△MNQ 能不能是等腰三角形?若能,这样的三角形 有几个;若不能,请说明理由.


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