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广东省2015届高三数学理专题突破训练:数列]


广东省 2015 届高三数学理专题突破训练--数列
一、选择题: 1、 (广州市海珠区 2015 届高三摸底考试) 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 若 S2 ? 3, S4 ? 15, 则 S6 ? A.31 【答案】C B.32 C.63 D.64

解析:由 等 比 数 列 的 性 质 可 得 S2,S 4-S , -S 成

2 S 6 4 等比数列,
2

5 即 3, , 解 得 S6 ? 63 , 故 选 A. 15 ? 3,S6 ?15 成 等 比 数 列 , ∴ ?1 5? 3 ? ?3 ? S 6 ? 1?
2、 (广州市执信中学 2015 届高三上学期期中考试)已知数列{ an }为等差数列,公差 d ? ?2 ,

Sn 为其前 n 项和.若 S10 ? S11 ,则 a1 =(
A. 18 B. 20 C. 22

) D. 24

【答案】B 解析:因为 S10 ? S11 ,所以 a11 ? 0 ,即 a1 ? 10 d ?0 ,代入 d ? ?2 可解得 a1 =20, 故选 B。 3、 (深圳市 2015 届高三上学期第一次五校联考)已知数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 1 ,且满足对任 意的 n ? N ,都有 an ?1 ? an ? 2 , an ? 2 ? an ? 3 ? 2 成立,则 a2014 ? (
*
n n


2015

A. 2

2014

?1

B. 2

2014

+1

C. 2

2015

?1

D. 2

?1

【答案】A 解 析 : 由

an?2 ? an ? 3? 2n , an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ? 3? 2n , 且an?2 ? an?1 ? 2 ? 2n 即an?1 ? an?2 ? ?2 ? 2n an?1 ? an ? 2n , 又an?1 ? an ? 2n ?an?1 ? an ? 2n

an ? ? an ? an?1 ? ? ? an?1 ? an?2 ? ? ? an?2 ? an?3 ? ?
? 2n?1 ? 2n?2 ?
二、填空题:

? a2 ? a1 ?

? 22 ? 2 ?1 ? 2n ?1?a2014 ? 22014 ?1 故选:A.

1、 (2014 广东高考)若等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e ,
5

则 ln a1 ? ln a2 ?

? ln a20 ?

2. (2013 广东高考)在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 ? _____.
2 a3 ? a2 ? 4, 3. (2012 广东高考) 已知递增的等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , 则 an ? ______________.

4. (2011 广东高考)等差数列 {an } 前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1 ? 1 , ak ? a4 ? 0 ,则

k?



5、 (广州市第六中学 2015 届高三上学期第一次质量检测)若等比数列 ?a n ? 的各项均为正数, 且 a4 a9 ? a5 a8 ? a6 a7 ? 300 ,则

lg a1 ? lg a2 ?

? lg a12 ?

.

6、 (惠州市 2015 届高三第二次调研考试)在正项等比数列 ?an ? 中, a5 ?

1 , a6 ? a7 ? 3 , 2

则满足 a1 ? a2 ?

? an ? a1 ? a2 ?

? an 的最大正整数 n 的值为_______
(n>1) ,

7、 (江门市普通高中 2015 届高三调研测试)已知数列{an}满足 a1=﹣ ,an=1﹣

计算并观察数列{an}的前若干项,根据前若干项的变化规律推测,a2015= 5 . 8、 (湛江市 2015 届高中毕业班调研测试)等差数列{an}中,a5=10,a12=31,则该数列的通项 公式 an= 3n﹣5 (n∈N+) 三、解答题 1、 (2014 广东高考)设数列 ?an ? 的前 n 和为 Sn ,满足 Sn ? 2nan?1 ? 3n2 ? 4n, n ? N * ,且 S3 ? 15 . (1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式. 2 、 ( 2013 广 东 高 考 ) 设 数 列

?an ?

的 前 n 项 和 为 Sn . 已 知

a1 ? 1 ,

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

(Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

n ?1 3、 (2012 广东高考)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2 ? 1 , n ? N* ,且 a1 、

a2 ? 5 、 a 3 成等差数列.
(Ⅰ )求 a1 的值; (Ⅱ )求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ )证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3 ? . an 2

4、 (广州市第六中学 2015 届高三上学期第一次质量检测)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,前 n 项

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 . 2 a (1)设数列 {bn } 满足 bn ? n ,求 bn ?1 与 bn 之间的递推关系式; n
和 Sn ? (2)求数列 ?an ? 的通项公式. 5、 (广州市海珠区 2015 届高三摸底考试)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 若 S5 ? 25 ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) bn ?

1 n ? N ? ? ,证明:对一切正整数 n ,有 b1 ? b2 ? ? Sn

? bn ?

7 . 4

6、 (广 州市执信中 学 2015 届高三上 学期期中考试 )已知 a1 ? 2 , 点 ?a n , a n ?1 ? 在函数

f ( x) ? x 2 ? 2x 的图像上,其中 n ? N *
(Ⅰ)证明:数列 ?lg(1 ? an )? 是等比数列; (Ⅱ)设 Tn ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an ) ,求 Tn (Ⅲ)记 bn ?

1 1 ,求数列 ?bn ? 的前项和 S n ? an an ? 2

7、 (惠州市 2015 届高三第二次调研考试)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1 ,

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N * . n 3 3
(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

8、 (江门市普通高中 2015 届高三调研测试)已知{an}是等差数列,a2=3,a3=5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对一切正整数 n,设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

9、 (韶关市十校 2015 届高三 10 月联考)已知在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项 和 Sn 满足 S n ? a n ( S n ? ) 。 (Ⅰ) 求 Sn 的表达式; (Ⅱ) 设 bn ?
2

1 2

Sn 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .证明 Tn ? 2n ? 1 2

10 、 ( 深 圳 市 2015 届 高 三 上 学 期 第 一 次 五 校 联 考 ) 已 知 数 列 ?an ? 满 足 a1 =

3 , 2

an =2 ?

1 ? n ? 2 ? , Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,且有 Sn =1 ? n ? 1 bn . an ?1 2 n

(1)证明:数列 ?

? 1 ? ? 为等差数列; ? an ? 1 ?

(2)求数列 ?bn ? 的通项公式; (3)设 cn ?

an ,记数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ,求证: Tn ? 1 . bn

11、 (湛江市 2015 届高中毕业班调研测试)数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=a(a≠0) ,且 2Sn= (n+1)?an. (1)求数列{an}的通项公式 an 与 Sn;

(2)记 An= 大小.

+

+

+…+

,Bn=

+

+

+…+

,当 n≥2 时,试比较 An 与 Bn 的

12、 (中山市第一中学等七校 2015 届高三第一次联考) 已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项
2 和为 Sn ,且 an ? an ? 2Sn .

(1)求 a1 (2) 求数列 {an } 的通项; (3) 若 bn ?

1 an

2

(n ? N ? ) , Tn ? b1 ? b2 ? ........? bn ,求证: Tn <

5 3

答案 一、选择题(答案见题目下) 二、填空题 1、 【 解 析 】 50 . 考 查 等 比 数 列 的 基 础 知 识 . 依 题 意 有 a10 ? a11 ? e , 所 求 等 式 左 边
5

? ln ? a10 ? a11 ? ? ln e50 ? 50
10

2、20

3、 an ? 2n ? 1

4、10

5 、 解 析 : 因 为 a4 a9 ? a5 a8 ? a6 a7 ? 3a6 a7 ? 300 , 所 以 a6 a7 ? 100 , 则

lg a1 ? lg a2 ?

? lg a12 ? lg ? a1a2

a12 ? ? lg ? a6 a7 ? ? lg10012 ? 12 .
6

6【解析】本题主要考查等比数列的基本性质,意在考查学生的运算能力.
设等比数列 ?an ? 的公比为 q(q ? 0) .由 a5 ?

1 1 , a6 ? a7 ? 3, 可得 ( q ? q 2 ) ? 3, 2 2
n?5

即 q ? q ? 6 ? 0, 所以 q ? 2 ,所以 an ? 2
2

n ?6

,数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2

? 2?5 ,所以

a1a2

an ? ? a1an ? ? 2
n ( n ?11) 2

n 2

n ( n ?11) 2 ,由

a1 ? a2 ?

? an ? a1 ? a2 ?

? an 可得

2n ?5 ? 2?5 ? 2

,由 2

n ?5

?2

n ( n ?11) 2

,可求得 n 的最大值为 12,而当 n ? 13 时,

28 ? 2?5 ? 213 不成立,所以 n 的最大值为 12.

7、解:∵a1=﹣ ,an=1﹣ ∴a2=5,a3= ,a4=﹣ ,



∴数列{an}是以 3 为周期的周期数列, ∴a2015=a2=5, 故答案为:5. 8: 解:∵等差数列{an}中,a5=10,a12=31, ∴ ,

解得 a1=﹣2,d=3, ∴an=﹣2+3(n﹣1)=3n﹣5. 故答案为:3n﹣5. 三、解答题 1、解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? 2a2 ? 7 ① 当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? 4a3 ? 20 ②

S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 15 ③
由①②③解得 a1 ? 3, a2 ? 5, a3 ? 7 (2)当 n ? 1 时, Sn ? 2nan?1 ? 3n2 ? 4n ①

Sn?1 ? 2 ? n ?1? an ? 3? n ?1? ? 4 ? n ?1? ②
2

①—②化简得 2nan?1 ? ? 2n ?1? an ? 6n ? 1(当 n ? 1 时也成立) 方法 1: (凑配) 令 2n ? ? an ?1 ? A ? n ? 1? ? B? ? ? ? 2n ? 1? ? an ? An ? B ? ,求得 A ? ?2,B ? ?1 即

2n ? ? an ?1 ? 2 ? n ? 1? ? 1? ? ? ? 2n ? 1? ? an ? 2n ? 1?
令 bn ? an ? 2n ?1 ,则 2nbn?1 ? ? 2n ?1? bn ,即 bn ?1 ?

2n ? 1 bn 2n

因为 b1 ? 0, b2 ? 0, b3 ? 0 ,故必有 bn ? 0 ,即 an ? 2n ? 1 方法 2: (数学归纳法)由(1) a1 ? 3, a2 ? 5, a3 ? 7 ,猜想 an ? 2n ? 1, 下面用数学归纳法证明对 ?x ? N , an ? 2n ? 1 : 当 n ? 1, n ? 2, n ? 3 时,成立
?

假设当 n ? k 时成立,即有 ak ? 2k ? 1 , 2kak ?1 ? ? 2k ?1? ak ? 6k ? 1 当 n ? k +1 时, 2kak ?1 ? ? 2k ?1?? 2k ?1? ? 6k ?1 ? 4k 2 ? 6k 所以 ak ?1 ?

4k 2 ? 6k ? 2k ? 3 ? 2 ? k ? 1? ? 1 ,成立 2k

综上所述,对 ?x ? N ? , an ? 2n ? 1 2、(Ⅰ) 依题意, 2 S1 ? a2 ?

1 2 ? 1 ? ,又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 ; 3 3

(Ⅱ) 当 n ? 2 时, 2Sn ? nan ?1 ? n ? n ? n ,
3 2

1 3

2 3

2Sn ?1 ? ? n ? 1? an ?

1 2 3 2 ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? 3 3 1 2 2 两式相减得 2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? ? 3n ? 3n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? 3 3 a a a a 整理得 ? n ? 1? an ? nan?1 ? n ? n ? 1? ,即 n ?1 ? n ? 1 ,又 2 ? 1 ? 1 n ?1 n 2 1
故数列 ?

an a1 ? an ? ? 1 ? ? n ? 1? ? 1? n , 所 以 ? 是首项为 ?1 ,公差为 1 的等差数列,所以 1 n ?n?

an ? n2 .
(Ⅲ) 当 n ? 1 时,

1 7 1 1 1 5 7 ? 1 ? ;当 n ? 2 时, ? ? 1 ? ? ? ; a1 4 a1 a2 4 4 4

当 n ? 3 时, 此
1 1 ? ? a1 a2 ?

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? an n ? n ? 1? n n ? 1 n

1 1 ?1 1? ?1 1? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n 4 ? 2 3? ?3 4? 1? 1 ? 1 ?? ? ? ? 1? ? n ? 1 n 4 ? ?

1 1 1 1 ? 1? ? 2 ? ? an 4 3 4

?

?

n

?

?

n

?2

综上,对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

?2a1 ? a2 ? 3 ? 3、解析: (Ⅰ )由 ?2 ? a1 ? a2 ? ? a3 ? 7 ,解得 a1 ? 1 . ? ?2 ? a2 ? 5 ? ? a1 ? a3
n ?1 n n (Ⅱ ) 由 2Sn ? an?1 ? 2 ? 1 可得 2Sn?1 ? an ? 2 ? 1 (n ? 2 ) , 两式相减, 可得 2an ? an?1 ? an ? 2 ,

即 an?1 ? 3an ? 2 ,即 an?1 ? 2
n

n ?1

? 3 ? an ? 2n ? ,所以数列 ?an ? 2n ? ( n ? 2 )是一个以 a2 ? 4 为

3 为公比的等比数列.由 2a1 ? a2 ? 3 可得,a2 ? 5 , 首项, 所以 an ? 2n ? 9 ? 3n?2 , 即 an ? 3n ? 2n (n ? 2) ,当 n ? 1 时, a1 ? 1 ,也满足该式子,所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 3n ? 2n .
? (Ⅲ ) 因 为 3n ? 3n ?1 ? 2 ? 3n ?1 ? 2 ? 2n ?1 ? 2n , 所 以 3n ? 2n ? 3n ?1 , 所 以 ,于是 an 3n ?1 1 1

1 1 ? ? a1 a2

?

1 1 ?1? ? an 3

?1? 1? ? ? n 1 3? ?1? ? 3 3 ? n ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? . 1 3 2? ? ?3? ? ? 2 1? 3

n

下面给出其它证法. 当 n ?1 时 ,

1 3 1 1 1 3 ?1? ? ?1? ? ; 当 n?2 时 , ; 当 n?3 时 , a1 2 a1 a2 5 2

1 1 1 1 1 3 ? ? 1? ? ? . ? a1 a2 a3 5 1 9 2 1 当 n ? 4 时, ? bn ,所以 1 ? 1 ? an a1 a2
综上所述,命题获证. 下面再给出
3 ? ?1? ?1 ? ? ? 32 ? ? ?2? 1 1? 2
n ?3

?

1 1 1 ?1? ? ? an 5 19

? ? ? ?

?1?

1 1 3 3 ? ? ? . 5 19 16 2

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3 ? 的两个证法. an 2

法 1: (数学归纳法) ① 当 n ? 1 时,左边 ?

1 ? 1 ,右边 ? 3 ,命题成立. a1 2
1 3 ? 成立.为了证明当 n ? k ? 1 时命题也 i 2 i ?1 3 ? 2
i k

② 假设当 n ? k ( k ? 2 , k ? N )时成立,即 ? 成立,我们首先证明不等式:
i ?1

1 1 1 ? ? i ( i ? 1 , i ? N ). i ?1 3 ?2 3 3 ? 2i 1 1 1 1 1 ? ? i ? i ?1 要证 i ?1 ,只需证 i ?1 ,只需证 3i ?1 ? 2i ?1 ? 3i ?1 ? 3 ? 2i ,只 i ?1 i i ?1 3 ?2 3 3 ?2 3 ?2 3 ? 3 ? 2i 1 1 1 . ? ? i 需证 ?2i ?1 ? ?3 ? 2i ,只需证 ?2 ? ?3 ,该式子明显成立,所以 i ?1 i ?1 3 ?2 3 3 ? 2i
于是当 n ? k ? 1 时, ? 3i ? 2i ? 3 ? 2 ? ? 3i ? 2i ? 1 ? 3 ? 3i ? 2i ? 1 ? 3 ? 2 ? 2 ,所以命题在 n ? k ? 1 i ?1 i ?2 i ?1 时也成立. ② 综合① ,由数学归纳法可得,对一切正整数 n ,有
k ?1

1

1

k ?1

1

1

k

1

1 3

3

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3 ? . an 2

备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的,其实这是一个错误

的认识. 法 2: (裂项相消法) (南海中学钱耀周提供) 当 n ? 1 时,

1 3 1 1 1 3 ? 1 ? 显然成立.当 n ? 2 时, ? ? 1 ? ? 显然成立. a1 2 a1 a2 5 2
n
n ?1 ? Cn ? 2n?1 ? 2n ? 2n

1 2 ? 2 ? Cn ? 22 ? 当 n ? 3 时, an ? 3n ? 2n ? ?1 ? 2? ? 2n ? 1 ? Cn

1 2 ? 1 ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ?

n ?1 2 ? Cn ? 2n?1 ? Cn ? 22 ? 2n ? n ? 1? ,又因为 a2 ? 5 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 1? ,所以

an ? 2n ? n ? 1? ( n ? 2 ) ,所以
1 1 1 ? ? ? a1 a2 a3

1 1 1? 1 1? ? ? ? ? ?(n ? 2 ) ,所以 an 2n ? n ? 1? 2 ? n ? 1 n ?
? 1 1? 1? 1? 3 ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? . n ?1 n ? 2? n? 2

?

1 1? 1 1 1 ? 1 ? ?1 ? ? ? ? an 2? 2 3 4

综上所述,命题获证. 4、(1) bn ?1 ? bn ?

1 ;(2) an ? 2n ? 1 n(n ? 1)

1 1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 ,∴ S n ?1 ? (n ? 2)(an ?1 ? 1) ? 1 2 2 1 ∴ an ?1 ? S n ?1 ? S n ? [(n ? 2)( an ?1 ? 1) ? ( n ? 1)( an ? 1)] , 整理得 nan ?1 ? (n ? 1)an ? 1 , 等式 2
解析: (1) ∵ S n ? 两边同时除以 n(n ? 1) 得

an ?1 an 1 1 , 即 bn ?1 ? bn ? , ? ? n(n ? 1) n ? 1 n n(n ? 1) a a 1 1 即 n ?1 ? n ? ,所以 n(n ? 1) n ? 1 n n(n ? 1)

(2)由(1)知 bn ?1 ? bn ?

an an an ?1 an ?1 an ? 2 a a a ? ? ? ? ? ? 2? 1? 1 n n n ?1 n ?1 n ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? 3 n n ?1 n ?1 n ? 2 n ? 2 n ? 3 2 1 ? ? 2 ,得 an ? 2n ? 1 . n 5、 解析: (1)由S5 ? 25得a1 ? 2d ? 5 ⑴ ------1 分
又S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? 2 ?1 4?3 ? d ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? ? d ? 4a1 ? 6d 2 2
2

-----2 分

由题意得: (2a1 ? d ) ? a1 (4a1 ? 6d ) 即 d (d ? 2a1 ) ? 0, 又d ? 0,? d ? 2a1 联立⑴、⑵解得 a1 ? 1, d ? 2 4分 ⑵

---------3 分

? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 -------5 分
(2)证明:由(1)得 Sn ? ①当 n=1 时, b1 ? 1 ?

n ?1 ? 2n ? 1? ? n2 2

? bn ?

1 1 ? 2 ------6 分 Sn n

7 ,? 原不等式成立。 4 1 5 7 ②当 n=2 时, b1 ? b2 ? 1 ? ? ? ,? 原不等式成立。 4 4 4
③当 n ? 3 时,

n2 ? ? n ?1?? n ?1? ?
1 1 ? ? 12 22 ? 1 n2

1 1 1? 1 1 ? ---------9 分 ? ? ? ? 2 n ? n ? 1?? n ? 1? 2 ? n ? 1 n ? 1 ? ?

? b1 ? b2 ?
<1+

? bn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?? 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ? ? 4 6 ?

1 ?? ? 1 ? ? ?? ? n ?1 n ? 1 ??
--------13 分

-----11 分

= 1?

7 1? 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? ?1 ? ? ? ?= ? ?? ? ? ?4 2 ? 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ?

?当n ? 3 时原不等式成立。
7 -------14 分 4 2 6、解析: (Ⅰ)由已知 an?1 ? an ? 2an ,?an?1 ? 1 ? (an ? 1)2
综上,对一切正整数 n 有 b1 ? b2 ?

bn ?

a1 ? 2 ? an ? 1 ? 1,两边取

对数得

lg(1 ? an?1 ) ? 2lg(1 ? an ) ,即

lg(1 ? an?1 ) ?2 lg(1 ? an )

?{ l g ( ? 1an

是公比为 2 的等比数列. )}
n?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 lg(1 ? an ) ? 2n?1 ? lg(1 ? a1 ) ? 2n?1 ? lg3 ? lg32

?1 ? an ? 32 (1)
2

n?1

?Tn ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )…(1+an ) ? 32 ? 32 ? 32 ?…? 32
(Ⅲ) 由(1)式得 an ? 32
n?1

0

1

2

n-1

? 31?2?2

?…+2n-1

=3

2n -1

?1
? 1 1 1 1 ? ( ? ) an?1 2 an an ? 2 ? 1 1 2 ? ? an ? 2 an an ?1

2 Q an+1 = an + 2an ?an?1 ? an (an ? 2)

又 bn ?

1 1 1 1 ? ? bn ? 2( ? ) an an ? 2 an an?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? …+ ? ) ? 2( ? ) a1 a2 a2 a3 an an ?1 a1 an ?1

? Sn ? b1 ? b2 ? …+bn ? 2(

an ? 32 ? 1, a1 ? 2, an?1 ? 32 ? 1 ? Sn ? 1 ?

n?1

n

2 3 ?1
2n

7、解:本题考查数列的通项与前 n 项和的关系、等差数列的通项公式、裂项求和、放缩法等 基础知识和基本方法,考查化归与转化思想、分类与整合思想,考查考生的运算求解能力、 逻辑推理能力以及分析问题、解决问题能力. (1) (解法一) 依题意, 2 S1 ? a2 ?

1 2 ? 1 ? , 又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 3 3

………(2 分)

2Sn ? nan ?1 ? 当 n ? 2时,

1 3 2 n ? n2 ? n , 3 3

1 2 2Sn ?1 ? (n ? 1)an ? (n ? 1)3 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) , 3 3
两式相减得

1 2 1 2 2an ? (nan ?1 ? n3 ? n 2 ? n) ? ((n ? 1)an ? (n ? 1)3 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1)) 3 3 3 3
整理得 (n ? 1)an ? nan?1 ? n(n ? 1) ,即 又

an ?1 an ? ? 1, n ?1 n

………(6 分)

a2 a1 ?a ? ? ? 1 ,故数列 ? n ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 2 1 ?n?

所以

an ? 1 ? 1? (n ? 1) ? n, 所以 an ? n2 n

………(8 分)

(解法二)

?

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , a1 ? 1 ,得 a2 ? 4,a3 ? 9 , .......(2 分) n 3 3

猜想 S n ?

n?n ? 1?(2n ? 1) 6

.............(3 分)

下面用数学归纳法证明: (1)当 n ? 1 时,猜想成立; (2)假设当 n ? k 时,猜想也成立,即 Sk ? 当 n ? k ? 1 时,

k ? k ? 1? (2k ? 1) .............(4 分) 6

ak ?1 ?

2Sk 1 2 2 2 ? k ? 1? (2k ? 1) 1 2 2 ? k ?k ? = ? k ?k ? k 3 3 6 3 3

?

(3k ? 3) ? k ? 1? (2k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2) ?(k ? 1) 2 ? (k ? 1 ) ,........(5 分)

3

3

3

? Sk ?1 ? Sk ? ak ?1
? k ? k ? 1? (2k ? 1) (k ? 1)(2k 2 ? 7k ? 6) (k ? 1)(k ? 2)(2k ? 3) 2 ? (k ? 1 ) ? ? 6 6 6
............(6 分)

? n ? k ? 1 时,猜想也成立
由(1) , (2)知,对于 ?n ? N ? ,猜想成立。

2 ? 当n ? 2, a .........(8 分) ?2 n ,当 n ? 1 ,也满足此式,故 an ? n n ? S n ? S ? n 1

(2)证明:当 n ? 1时, ? 1 ? 当 n ? 2时, ? 当 n ? 3时, ?

1 a1

7 ; 4

………(9 分)

1 a1

1 1 5 7 ? 1? ? ? ; a2 4 4 4 1 1 1 1 ? ? ? , 2 n n(n ? 1) n ? 1 n ? 1 1 1 1 ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? an 2 3 4
?(

………(10 分)

1 an

………(12 分)

此时

1 1 ? ? a1 a2

?

1 n2

? 1?

1 1 1 1 1 ?( ? )?( ? )? 4 2 3 3 4

1 1 1 1 1 7 1 7 ? ) ? 1? ? ? ? ? ? n ?1 n 4 2 n 4 n 4

综上,对一切正整数 n,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? an 4

……………(14 分)

8、解答:

解: (1)由

得,a1=1,d=2;

∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1; (2) ∴ Sn=b1+b2+b3+…+bn= ; 通过前几项的求和规律知: 若 n 为奇数,则 ; = ;

若 n 为偶数,则


2

9、解:(1)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 代入 S n ? a n ( S n ? ) ,得

1 2

2S n S n?1 ? S n ? S n?1 ? 0 … 2 分,由于 S n ? 0 ,所以

1 1 ? ? 2 ………………… 4 分 S n S n ?1

所以 ?

?1? ? 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列…………………… 5 分 S ? n?
1 1 ……………………… 8 分 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ,所以 S n ? 2n ? 1 Sn
…………………… 10 分

从而

(2)



…………………… 12 分

………………………13 分

所以

………………………14 分

10、 【答案解析】D 解析: (1)证明:

……1 分

即:

……3 分

∴ 数列 列. ……4 分

是 以

为首项,

1 为公 差的等差 数

(2)解:当

时,

……5 分

, 即:

……6 分

……8 分



时,



……9 分

(3)由(1)知:

……10 分

……12 分

...14 分 11、解: (1)n≥2 时,2an=2(Sn﹣Sn﹣1)=(n+1)?an﹣n?an﹣1

∴an=

?an﹣1,

∴an=

?

?…?

?a1=na1=na,

n=1 时也成立,∴an=na,Sn=



(2)

=





) ,

∴An=

+

+

+…+

=

(1﹣

) ,



=2

n﹣1

a,

∴Bn=

+

+

+…+

=

(1﹣

) ,

n≥2 时,2 =

n

…+

>1+n,

∴1﹣

<1﹣



∴a>0 时,An<Bn;a<0 时,An>Bn;

12、 【答案解析】(I)

(II)

(III)



解析:解: (1)令

,得



………2 分

(2)又

………①



………… ②……………………3 分

②-①得

…………………4 分



……………………6 分



…………………………8 分

(3)n=1 时

=1<

符合………………………9 分

时,因为

,…………………………11 分

所以

………….13 分





…………………………14 分


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