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2013年普通高等学校新课标招生全国统一考试数学试卷


绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷) 数学(理科) 注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前考生将自己的姓名\ 准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时

,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、 选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 M={x|(x+1)2 < 4,x∈R } ,N={-1,0,1,2,3} ,则 M∩N=




(B) {-1,0,1,2}

(A) {0,1,2}

(C){-1,0,2,3}

(D){0,1,2,3}

(2)设复数 z 满足(1- i)z=2 i,则 z= ( ) (A)-1+i (B)-1-i (C)1+i (D)1-i (3)等比数列{an }的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 = a2 +10a1 ,a5 = 9,则 a1 = ) (A) (C) (B)(D)-



(4)已知 m,n 为异面直线,m⊥平面α ,n⊥平面β 。直线 l 满足 l ⊥ m,l ⊥ n,l β ,则( ) (A)α ∥β 且 l ∥α (C)α 与β 相交,且交线垂直于 l (B)α ⊥β 且 l⊥β (D)α 与β 相交,且交线平行于 l

(5)已知(1+ɑ x)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则ɑ = (A)-4 (B)-3 (C)-2 (6)执行右面的程序框图,如果输入的 N=10,那么输出的 s= (A)1+ + +…+

(D)-1

(B)1+

+

+…+

(C)1+ + +…+

(D)1+

+

+…+

(7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1)(1,1,0) , , (1,1,1)(0,0,0) , ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为搞影面,则得 到正视图可以为

(A) (D) (8)设ɑ =log3 6,b=log5 10,c=log7 14,则 (A)c>b>a (B)b>c>a (C)a>c>b (D)a>b>c

(B)

(C)

(9)已知 a>0,x,y 满足约束条件 x+y≤3,

{

x≥1,

,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=

y≥a(x-3) .
(C)1 (D)2

(A)

(B)

(10)已知函数 f(x)=x2+α x2+bx+,下列结论中错误的是 (A)∑xα ∈Rf(xα )=0 (B)函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 (C)若 xα 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,xα )单调递减 (D)若 xn 是 f(x)的极值点,则 f1(xα )=0 (11)设抛物线 y2=3px(p≥0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5 若以 MF 为直径的园过 点(0,3) ,则 C 的方程为 (A)y2=4x 或 y2=8x (B)y2=2x 或 y2=8x (C)y2=4x 或 y2=16x (D)y2=2x 或 y2=16x (12)已知点 A(-1,0) ;B(1,0) ;C(0,1) ,直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积 相等的两部分,则 b 的取值范围是 (A) (0,1)(B)(1- ,1/2)( C)(1- ,1/3)(D)[ 1/3, 1/2)

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。第 22 题~第 24 题为选考题, 考生根据要求作答。

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
(13)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 =_______.

(14)从 n 个正整数 1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概率为 , 则 n=________. (15)设θ 为第二象限角,若 tan(θ + )= ,则 sinθ +conθ =_________.

(16)等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ,已知 S10 =0,S15 =25,则 nSn 的最小值为________.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17) (本小题满分 12 分) △ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB。 (Ⅰ )求 B; (Ⅱ )若 b=2,求△ABC 面积的最大值。

(18)如图,直棱柱 ABC-A1 B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点,AA1=AC=CB= 2AB。 (Ⅰ)证明:BC1//平面 A1CD1 (Ⅱ)求二面角 D-A1C-E 的正弦值

/

(19)(本小题满分 12 分) 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未 售出的产品,没 1t 亏损 300 元。根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布 直方图,如有图所示。经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品。以 x(单位:t, 100≤x≤150)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。

(Ⅰ)将 T 表示为 x 的函数 (Ⅱ) 根据直方图的需求量分组中, 以各组的区间中点值代表改组的各个值求量落 入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 x 105,且 x=105 的概率等于需求量落入[100,110]的 T 的数学期望。
(20)(本小题满分 12 分) 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)右焦点 y=0 交 m,f ,A,B 两点,P 为 Ab

)则取 x=

的中点,且 OP 的斜率为 1/2 (Ι )求 M 的方程 (Ⅱ)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形的最大值 (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ex-ln(x+m) (Ι )设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 m≤2 时,证明 f(x)>0 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线教直线 CD 于点 D,E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点, 且 BC-AE=DC-AF,B、E、F、C 四点共圆。 (1) 证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (2) 若 DB=BE=EA,求过 B、E、F、C 四点的圆 的面积与△ABC 外接圆面积的比值。

(23) (本小题满分 10 分)选修 4——4;坐标系与参数方程 已知动点 p,Q 都在曲线 c

x=2cos β y=2sinβ

(β 为参数)上,对应参数分别为β =α

与α =2π M 为(①<α <2π )M 为 PQ 的中点。 (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程 (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 a 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。

(24) (本小题满分 10 分)选修 4——5;不等式选讲 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=Ⅱ,证明: (Ⅰ)ab+bc+ac 小于等于 1/3 2 2 2 (Ⅱ)a /a-b /b-c/c ≥1


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