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(高考题)函数的性质与反函数


第二章

函数

二 函数的性质与反函数 【考点阐述】函数的单调性.奇偶性.反函数.互为反函数的函数图像间的关系. 【考试要求】 (2)了解函数单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法. (3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些简单函数的反函数. 【考题分类】 (一)选择题(共 21 题) 1.

(安徽卷理 9)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? g ( x) 的图象与 y ? e 的图象关于直线
x

y ? x 对称。而函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象关于 y 轴对称,若 f (m) ? ?1 ,则

m 的值是(
A. ?e



B. ?

1 e

C. e

D.

1 e

解:由题知 g ( x) ? ln x, f ( x) ? ln(? x), 则 ln(?m) ? ?1 , m ? ?

1 选 D。 e
x

2. (安徽卷理 11) 若函数 f ( x), g ( x) 分别是 R 上的奇函数、 偶函数, 且满足 f ( x) ? g ( x) ? e , 则有( ) B. g (0) ? f (3) ? f (2)

A. f (2) ? f (3) ? g (0)

C. f (2) ? g (0) ? f (3)
解: 用 ?x 代 换 x 得 :

D. g (0) ? f (2) ? f (3)
f (? x) ? g (? x) ? e? x ,即 f ( x) ? g ( x) ? ?e? x , 解 得 :

f ( x) ?

e x ? e?x ex ? ex , g ( x) ? ? ,而 f (x) 单调递增且大于等于 0, g (0) ? ?1 ,选 D。 2 2
2

3.(安徽卷文 6)函数 f ( x) ? ( x ?1) ? 1( x ? 0) 的反函数为 A. f ?1 ( x) ? 1 ? x ? 1( x ? 1) B. f ?1 ( x) ? 1 ?

x ? 1( x ? 1)

C. f ?1 ( x) ? 1 ? x ? 1( x ? 2)
解:由原函数定义域是反函数的值域, f

D. f ?1 ( x) ? 1 ? x ? 1( x ? 2)
?1

( x) ? 0 ,排除 B,D 两个;又原函数 x 不能取

1, f ( x) 不能取 1,故反函数定义域不包括 1,选 C .(直接求解也容易) 4.(北京卷文 5)函数 f ( x) ? ( x ?1) ? 1( x ? 1) 的反函数为(
2
?1 A. f ( x) ? 1 ?



x ? 1( x ? 1)

?1 B. f ( x) ? 1 ? x ? 1( x ? 1)

[键入文字]

C. f ?1 ( x) ? 1 ? x ? 1( x ≥1)
【答案】B

D. f ?1 ( x) ? 1 ? x ? 1( x ≥1)

【解析】? x ? 1 ? y ? ( x ? 1) ? 1,? ( x ? 1) ? y ? 1, ? x ? 1 ? ? y ? 1,
2 2

所以反函数为 f ?1 ( x) ? 1 ? x ? 1( x ? 1) 5.(福建卷理 4 文 4)函数 f(x)=x3+sinx+1(x ? R),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 A.3
3

B.0

C.-1

D.-2

解: f ( x) ? 1 ? x ? sin x 为奇函数,又 f (a) ? 2 ? f (a) ? 1 ? 1 故 f (?a) ? 1 ? ?1 即 f (?a) ? 0 . 6. (湖北卷文 6) 已知 f ( x) 在 R 上是奇函数, f ( x ? 4) ? f ( x),当x ? (0,2)时,f ( x) ? 2 x , 则f (7) ? 且
2

A.-2

B.2
2

C.-98

D.98

解:由题设 f (7) ? f (3) ? f (?1) ? ? f (1) ? ?2 ?1 ? ?2 7.(湖南卷文 4)函数 f ( x) ? x ( x ? 0) 的反函数是(
2

)

A. f
C. f

?1

( x) ?

x ( x ? 0)

B. f

?1

( x) ? ? x ( x ? 0)
?1

?1

( x) ? ? ? x ( x ? 0)

D. f

( x) ? ? x 2 ( x ? 0)

【答案】B 【解析】用特殊点法,取原函数过点 (?1,1), 则其反函数过点 (1, ?1), 验证知只有答案 B 满足. 也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。 8.(辽宁卷理 12)设 f ( x) 是连续的偶函数,且当 x>0 时 f ( x) 是单调函数,则满足

? x?3? f ( x) ? f ? ? 的所有 x 之和为( ? x?4?



A. ?3
答案:C

B. 3

C. ?8

D. 8
x?3 ) 时,即 x?4

解析:本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。依题当满足 f ( x) ? f (

x?3 时 , 得 x 2 ? 3x ? 3? 0, 此 时 x1 ? x2 ? ?3. 又 f ( x) 是 连 续 的 偶 函 数 , ∴ x?4 x?3 x?3 ,得 x 2 ? 5 x ? 3 ? 0 , f (? x) ? f ( x) ,∴另一种情形是 f (? x) ? f ( ) ,即 ? x ? x?4 x?4 x?3 ∴ x3 ? x4 ? ?5. ∴满足 f ( x) ? f ( ) 的所有 x 之和为 ?3 ? (?5) ? ?8. x?4 x?
[键入文字]

9.(辽宁卷文 2)若函数 y ? ( x ? 1)( x ? a) 为偶函数,则 a=(



A. ?2
答案:C

B. ?1

C. 1

D. 2

解析:本小题主要考查函数的奇偶性。 f (1) ? 2(1 ? a), f (?1) ? 0 ? f (1), ? a ? 1. 10. 全国Ⅰ卷理 6) ( 若函数 y ? f ( x ? 1) 的图像与函数 y ? ln 称,则 f ( x) ? ( )

x ? 1 的图像关于直线 y ? x 对

A. e 2 x ?1
解析:B. 由 y ? ln

B. e2 x
x ?1 ? x ? e
2? y ?1?

C. e 2 x ?1
, f ? x ? 1? ? e
2? x ?1?

D. e 2 x ? 2
, f ? x ? ? e2 x
x ? 1 的图象关于直线 y ? x 对称,

11. 全国Ⅰ卷文 8) ( 若函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? ln 则 f ( x) ? ( A. e 2 x? 2 ) B. e2 x C. e 2 x?1

D. e 2 x +2

解析:本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法。 ∵y- 1=ln x ,∴ x =e y-1 ,∴x= ? e y-1 ? =e 2y-2 ,改写为:y=e 2x-2
2

∴答案为A,
12.(全国Ⅱ卷理 3 文 4) .函数 f ( x) ? A. y 轴对称 C. 坐标原点对称 【答案】C 【解析】 f ( x) ?

1 ) ? x 的图像关于( x B. 直线 y ? ?x 对称 D. 直线 y ? x 对称

1 ? x 是奇函数,所以图象关于原点对称 x

【高考考点】函数奇偶性的性质 13.(山东卷理 4)设函数 f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线 x=1 对称,则 a 的值为 (A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 解: x ? 1 、 x ? a 在数轴上表示点 x 到点 ?1 、a 的距离, 他们的和 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a 关 于 x ? 1 对称,因此点 ?1 、 a 关于 x ? 1 对称,所以 a ? 3(直接去绝对值化成分段函数 求解比较麻烦,如取特殊值解也可以) 14.(陕西卷理 7 文 7)已知函数 f ( x) ? 2 ( m,n ? R + ) ,则 f A. ?2
?1 x ?3

, f

?1

( x) 是 f ( x) 的反函数,若 mn ? 16

(m) ? f ?1 (n) 的值为(
C.4

) D.10

B.1

x ?3 ?1 解: f ( x) ? 2 ? f ( x) ? log 2 x ? 3 于是

[键入文字]

f ?1 (m) ? f ?1 (n) ? log 2 m ? 3 ? log 2 n ? 3 ? log 2 mn ? 6 ? log 2 16 ? 6 ? 4 ? 6 ? ?2
15. 四川卷理 11 文 9) ( 设定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2 ? ? 13 , f ?1? ? 2 , 若 则 f ? 99 ? ? ( )

(A) 13

(B) 2

(C)

13 2

(D)

2 13

【解】 :∵ f ? x ? ? f ? x ? 2 ? ? 13 且 f ?1? ? 2

∴ f ?1? ? 2 , f ? 3? ?

13 13 ? , f ?1? 2

f ? 5? ?

13 13 13 13 ? 2 , f ?7? ? ? , f ?9? ? ? 2 ,? , f ? 3? f ? 5? 2 f ? 5?
n为奇数 n为偶数
,∴ f ? 99 ? ? f ? 2 ?100 ? 1? ?

?2 ∴ f ? 2n ? 1? ? ?13 ? ?2 ?

13 2

故选 C

【点评】 :此题重点考察递推关系下的函数求值; 【突破】 :此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值,或者得到函数的周期性求解; 16.(四川卷文2)函数 y ? ln ? 2 x ? 1? ? x ? ? (A) y ?

? ?

1? ? 的反函数是( 2?

)

1 x e ? 1? x ? R ? 2 1 x ? e ? 1? ? x ? R ? 2

(B) y ? e 2 x ? 1? x ? R ?

(C) y ?

(D) y ? e 2 ? 1? x ? R ?
1 x 、 ? e ?1? 从而淘汰(B)(D) 2 1 ∴反函数值域为 y ? ? 故选 C; 2
∴y?

x

【解】 :∵由 y ? ln ? 2 x ? 1? 反解得 x ? 又∵原函数定义域为 x ? ?

1 y ? e ?1? 2

1 2

【考点】 :此题重点考察求反函数的方法,考察原函数与反函数的定义域与值域的互换性; 【突破】 :反解得解析式,或利用原函数与反函数的定义域与值域的互换对选项进行淘汰; 17.(天津卷理 7)设函数 f ?x ? ?
?1

1 1? x

?0 ? x ? 1? 的反函数为 f ?1 ?x ? ,则

(A) (B) (C)

f f f

?x ? 在其定义域上是增函数且最大值为 1 ?x ? 在其定义域上是减函数且最小值为 0 ?x ? 在其定义域上是减函数且最大值为 1 ?x ? 在其定义域上是增函数且最小值为 0

?1

?1

(D)
[键入文字]

f

?1

解析: y ? ? x ? 1 为减函数,由复合函数单调性知 f ( x) 为增函数,所以 f 递增,排除 B、C;又 f
?1

?1

( x) 单调

( x) 的值域为 f ( x) 的定义域,所以 f ?1 ( x) 最小值为 0.
x (0 ≤ x ≤ 4) 的反函数是(


18.(天津卷文 3)函数 y ? 1 ? A. y ? ( x ? 1)2 (1 ≤ x ≤ 3)

B. y ? ( x ? 1) 2 (0 ≤ x ≤ 4)

C. y ? x 2 ? 1(1 ≤ x ≤ 3)
解析:当 0 ? x ? 4 时, 1 ?

D. y ? x 2 ? 1(0 ≤ x ≤ 4)
x ? [1,3] ,解 y ? 1 ? x 得 f ?1 ( x) ? ( x ? 1)2 ,选 A.
) (B)f(x)为偶函数

19. (重庆卷理 6) 若定义在 R 上的函数 f(x)满足: 对任意 x1,x2 ? R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,, 则下列说法一定正确的是( (A)f(x)为奇函数

(C) f(x)+1 为奇函数

(D)f(x)+1 为偶函数

解:令 x ? 0 ,得 f (0) ? 2 f (0) ? 1 , f (0) ? ?1 ,所以 f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x) ? 1 ? ?1

f ( x) ? f (? x) ? 1 ? 1 ? 0 ,即 f ( x) ? 1 ? ?[ f (? x) ? 1] ,所以 f ( x) ? 1 为奇函数,选 C
20.(重庆卷文 6)函数 y=10x2-1 (0<x≤1=的反函数是( (A) y ? ? 1 ? lg x ( x> (C) y ? ? 1 ? lg x ( 【答案】D 【解析】本小题主要考查反函数的求法。由 y ? 10 即x? 值域为 (
x 2 ?1



1 ) 10

(B) y ? 1 ? lg x (x>

1 <x≤ 1? 10

1 ) 10 1 (D) y ? 1 ? lg x ( <x≤ 1? 10

(0 ? x ? 1) 得: x 2 ? 1 ? lg y ,
2 1 ? 10 x ?1 ? 1 ,即原函数 10

lg y ? 1 。又因为 0 ? x ? 1 时, ?1 ? x 2 ? 1 ? 0 ,从而有

1 1 ,1] 。所以原函数的反函数为 y ? lg x ? 1 ( ? x ? 1) ,故选 D。 10 10

21. (四川延考理 11 文 11) 设函数 y ? f ( x) ( x ? R) 的图象关于直线 x ? 0 及直线 x ? 1 对称, 且 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,则 f (? ) ? (
2

3 2

) (C)

(A)

1 2
3 2 3 2

(B)

1 4
1 2 1 2

3 4
1 2 1 4

(D)

9 4

解: f (? ) ? f ( ) ? f (1 ? ) ? f (1 ? ) ? f ( ) ? ( ) 2 ? (二)填空题(共 8 题) 1.(湖南卷理 13)设函数 y ? f ( x) 存在反函数 y ? f
?1

1 2

( x) ,且函数 y ? x ? f ( x) 的图象过点

[键入文字]

(1,2),则函数 y ? f 【答案】(-1,2)

?1

( x) ? x 的图象一定过点

.

【解析】由函数 y ? x ? f ( x) 的图象过点(1,2)得: f (1) ? ?1, 即函数 y ? f ( x) 过点 (1, ?1), 则其反函数过点 (?1,1), 所以函数 y ? f 2.(湖南卷理 14)已知函数 f ( x) ? (1)若 a>0,则 f ( x) 的定义域是
?1

( x) ? x 的图象一定过点 (?1, 2).

3 ? ax (a ? 1). a ?1
; .

(2) 若 f ( x) 在区间 ? 0,1? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 【答案】 ? ??, ? , a

? ?

3? ?

? ??, 0 ? ? ?1,3?
3 3? ? ,所以 f ( x) 的定义域是 ? ??, ? ; a? a ?

【解析】 (1)当 a>0 时,由 3 ? ax ? 0 得 x ?

(2) 当 a>1 时,由题意知 1 ? a ? 3 ;当 0<a<1 时,为增函数,不合; 当 a<0 时, f ( x) 在区间 ? 0,1? 上是减函数.故填 ? ??,0 ? ? ?1,3 ? . 3.(辽宁卷理 13)函数 y ? ?

? x ? 1,x ? 0, ?e ,
x

x≥0

的反函数是__________.

答案: y ? ?

? x ? 1,x ? 1, ?ln x, x ≥ 1.

解析: 本小题主要考查求反函数基本知识。 求解过程要注意依据函数的定义域进行分段求解 以及反函数的定义域问题。 4.(辽宁卷文 13)函数 y ? e 答案: y ?
2 x ?1

(?∞ ? x ? ?∞) 的反函数是



1 (ln x ? 1)( x ? 0) 2 1 (ln y ? 1), 2

解析:本小题主要考查反函数问题。? y ? e2 x ?1 ? 2 x ? 1 ? ln y ? x ? 所以反函数是 y ?

1 (ln x ? 1)( x ? 0). 2
-1

5.(上海卷理 4)若函数 f(x)的反函数为 f 【答案】 2 【解析】令 f (4) ? t ? f
?1

(x)=x2(x>0) ,则 f(4)=

(t ) ? 4 ? t 2 ? 4(t ? 0) ? t ? 2 .

[键入文字]

6.(上海卷文 4)若函数 f(x)的反函数为 f ?1 ( x) ? log 2 x ,则 f ( x) ? 【答案】 2
x



? x ? R?
x

y 【解析】令? y ? log 2 x( x ? 0), 则 y ? R 且 x ? 2 , ? f ( x) ? 2

? x ? R ?.

7.(上海卷文 9)若函数 f ( x) ? ( x ? a)(bx ? 2a) (常数 a,b?R )是偶函数,且它的值域

4 为 ? ??,? ,则该函数的解析式 f ( x) ?
【答案】 ?2 x 2 ? 4



【解析】 f ( x) ? ( x ? a)(bx ? 2a) ? bx ? (2a ? ab) x ? 2a 是偶函数,则其图象关于
2 2

4 y 轴对称, ? 2a ? ab ? 0 ? b ? ?2, ? f ( x) ? ?2 x ? 2a , 且值域为 ? ??,? ,
2 2

? 2a 2 ? 4, ? f ( x) ? ?2 x 2 ? 4.
8. (四川延考理 13 文 13)函数 y ? e 解: y ? e
x ?1 x ?1

? 1 ( x ? R) 的反函数为



? 1 ? e x ?1 ? y ? 1 ? x ? 1 ? ln( y ? 1) ,所以反函数 y ? ln( x ? 1) ? 1( x ? ?1) ,

(三)解答题(共 1 题) 1.(江苏卷 20)若

f1 ( x) ? 3

x ? p1

, f 2 ( x) ? 3

x ? p2

, x ? R, p1 , p2 为常数,且 f ( x) ? ? ?

f1 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x)

? f 2 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x)

(I)求 f ( x) ? f1 ( x) 对所有的实数 x 成立的充要条件(用 p1 , p2 表示) ;

(II)设 a, b 为两实数, a ? b 且 p1 , p2 ? (a, b) ,若 f ( a) ? f (b) ,求证: f ( x) 在区 间 ? a, b ? 上的单调增区间的长度和为
b?a (闭区间 ? m, n ? 的长度定义为 n ? m )。 2

解: (1)由 f ( x) 的定义可知, f ( x) ? f1 ( x) (对所有实数 x )等价于

f1 ? x ? ? f 2 ? x ? (对所有实数 x )这又等价于 3 x ? p1 ? 2? x ? p2 ,即 3

3

x ? p1 ? x ? p2

? 3log3 2 ? 2 对所有实数 x 均成立.

(*)

由于 x ? p1 ? x ? p2 ? ( x ? p1 ) ? ( x ? p2 ) ? p1 ? p2 ( x ? R ) 的最大值为 p1 ? p2 , 故(*)等价于 3
p1 ? p2

? 2 ,即 p1 ? p2 ? log3 2 ,这就是所求的充分必要条件

(2)分两种情形讨论 (i)当 p1 ? p2 ? log3 2 时,由(1)知 f ( x) ? f1 ( x) (对所有实数 x ? [a, b] )
[键入文字]

则由 f ? a ? ? f

? b ? 及 a ? p 1 ? b 易知 p1 ?

a?b , 2

y (a,f(a) ) (b,f(b) )

?3 p1 ? x , x ? p1 ? 再由 f1 ( x ) ? ? x ? p 的单调性可知, ?3 1 , x ? p1 ? 函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的单调增区间的长度 a?b b?a 为b ? (参见示意图 1) ? 2 2

O

图1

x

(ii) p1 ? p2 ? log3 2 时,不妨设 p1 ? p 2, ,则 p2 ? p 1 ? log3 2 ,于是 当 x ? p1 时,有 f1 ( x) ? 3
p1 ? x

? 3 p2 ? x ? f 2 ( x) ,从而 f ( x) ? f1 ( x) ;
? 3 p2 ? p1 ? x ? p2 ? 3 p2 ? p1 ? x ? p2 ? 3log3 2 ? x ? p2 ? f 2 ( x) 3 3

当 x ? p2 时,有 f1 ( x) ? 3 从而 f ( x) ? f 2 ( x) ;

x ? p1

当 p1 ? x ? p2 时, f1 ( x) ? 3

x ? p1

,及 f 2 ( x) ? 2 ? 3

p2 ? x

,由方程 3 y

x ? p1

? 2 ? 3 p2 ? x

解得 f1 ( x)与f 2 ( x) 图象交点的横坐标为

p1 ? p2 1 ? log3 2 2 2 1 显然 p1 ? x0 ? p2 ? [( p2 ? p1 ) ? log3 2] ? p2 , 2 这表明 x0 在 p1 与 p2 之间。由⑴易知 x0 ?



(a,f(a)) (x0,y0)

(b,f(b))

(p2,2) (p1,1) O 图2 x

? f ( x) , p1 ? x ? x0 f ( x) ? ? 1 ? f 2 ( x) , x0 ? x ? p2

? f1 ( x) , a ? x ? x0 示意图 2) 综上可知,在区间 [a, b ] 上, f ( x ) ? ? (参见 ? f 2 ( x) , x0 ? x ? b 故由函数 f1 ( x ) 及 f 2 ( x) 的单调性可知, f ( x) 在区间 [a, b] 上的单调增区间的长度之和为
( x0 ? p1 ) ? (b ? p2 ) ,由于 f (a) ? f (b) ,即 3 p1 ?a ? 2 ? 3b? p2 ,得 p1 ? p2 ? a ? b ? log3 2
故由⑴、⑵得 ⑵

b?a l o g? 2 ] 3 2 b?a 综合(i) (ii)可知, f ( x) 在区间 [a, b] 上的单调增区间的长度和为 。 2 ( x0 ? p 1 )? b ? p 2 ? b ? ( ) 1 p[ ? p ? 1 2 2

[键入文字]


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