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江苏省四星级学校高中数学竞赛辅导资料(三角函数)


高二数学竞赛辅导导学案

编制:程洪

2014-10-22

自主招生试题——三角部分
1、 (全国数学联赛江苏赛区初赛 1)已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= 填 0. 解:由于|sinα|≤1,|cosβ|≤1,现 sinαcosβ=1,故 sinα=1,cosβ=1 或 sinα=-1,

cosβ=-1, π π π ∴ α=2kπ+ ,β=2lπ 或 α=2kπ- ,β=2lπ+π?α+β=2(k+l)π+ (k,l∈Z). 2 2 2 ∴ cos(α+β)=0. 2、(2011 卓约 2) 已知 cos 4? ? 3、(2012 卓约 2) .

1 ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? ? 5



4 5

sin x cos x 的值域为 1 ? sin x ? cos x ? 2 ? 2 ? ? ? 2 sin(x ? ). sin x ? cos x 【解】 设 t=sinx+cosx= 2 ? ? 2 ? 2 4 ? ?
4、 y ? 因为 ? 1 ? sin( x ?

?
4

) ? 1, 所以 ? 2 ? t ? 2.

x2 ?1 t 2 ?1 2 ? t ? 1 ,所以 又因为 t2=1+2sinxcosx,所以 sinxcosx= ,所以 y ? 1? t 2 2 ? 2 ?1 2 ?1 ? y? . 2 2 ? t ?1 2 ?1 ? ? 2 ? 1? ? ? 1, ? ?1 ,所以 y ? -1.所以函数值域为 y ? ?? ,?1? ? 因为 t ? -1,所以 ?. ? ? 2 2 2 ? ? ? ?

5、 (2012 华约 1)如果 sin

3

? ? cos3 ? ? cos? ? sin? ,? ? ? 0,2? ? ,
? ? 5? ? ? , ? ?4 4 ?
C ? 600

那么的取值范围:

6、 (2011 北约)在三角形 ABC 中, a ? b ? 2c, 则角 C 的范围为 7、(11 河北)已知 cos x ? cos y ? 1 ,则 sin x ? sin y 的取值范围是

? ? 3, 3 ? ? ? 2 2 t ?1 t ?1 解:设 sin x ? sin y ? t ,易得 cos x cos y ? sin x sin y ? ,即 cos ? x ? y ? ? .由于 2 2 t 2 ?1 ? 1 ,解得 ? 3 ? t ? 3 . ?1 ? cos ? x ? y ? ? 1,所以 ?1 ? 2
1

高二数学竞赛辅导导学案

编制:程洪

2014-10-22

→ → 9、设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则 BC ·AO = → → → 解:设| AO |=| BO |=| OC |=R.则

25 .- . 2
A R R O R C

→ → → → → → → → → BC · AO =( BO + OC )· AO = BO · AO + OC · AO =R2cos(π-2C)+R2cos2B 1 1 1 25 =R2(2sin2C-2sin2B)= (2RsinB)2- (2RsinC)2= (122-132)=- . 2 2 2 2 7 10、在△ABC 中,已知 BC=5,AC=4,cos(A-B)= , 8 则 cosC= 答案: 11 16 B D (第 7 题) C . A
B

简解:因 BC ? AC ,故 ?A ? ?B . 如图,作 AD, 使∠BAD=∠B,则∠DAC=∠A-∠B. 设 AD=BD=x,则 DC=5-x.在△ADC 中, 11 由余弦定理得 x=3.再由余弦定理得 cosC= . 16 11、(2011 华约 4)(4)若 A ? B ?

2? ,则 cos 2 A ? cos 2 B 的最小值和最大值分别为 3

A1 ? ?

3 3 1 3 3 3 1 2 ?, ?????B? , ??????C1 ? ? ,1 ? ???????D? ,1 ? 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2

[分析]首先尽可能化简结论中的表达式 cos A ? cos B ,沿着两个方向:①降次:把三角函数的 平方去掉;②去角:原来含两个角,去掉一个。 解: cos A ? cos B ?
2 2

1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B 1 ? ? 1 ? (cos 2 A ? cos 2 B) 2 2 2

1 ? 1 ? cos( A ? B) cos( A ? B) ? 1 ? cos( A ? B) ,可见答案是 B 2

12、(08 全国) ?ABC 中,边 a, b, c 成等比数列,则 sin A cot C ? cos A 的取值范围是
sin B cot C ? cos B

[解] 设 a, b, c 的公比为 q ,则 b ? aq, c ? aq 2 ,而 sin A cot C ? cos A sin A cos C ? cos A sin C ? sin B cot C ? cos B sin B cos C ? cos B sin C s i nA ( ? C ) s? in ?( B ) ? ? ? s i nB ( ? C ) s? in ?( A ) 因此,只需求 q 的取值范围.

B sinb ? ?q. A sina

因 a, b, c 成等比数列, 最大边只能是 a 或 c , 因此 a, b, c 要构成三角形的三边, 必需且只需 a ? b ? c 且

b ? c ? a .即有不等式组 2 2 ? ? a ? aq ? aq , ? ?q ? q ? 1 ? 0, 即 ? ? 2 2 ? ? aq ? aq ? a ? ?q ? q ? 1 ? 0.

2

高二数学竞赛辅导导学案

编制:程洪

2014-10-22

?1 ? 5 5 ?1 ?q? , ? ? 2 2 解得 ? ?q ? 5 ? 1 或q ? ? 5 ? 1 . ? ? 2 2 5 ?1 5 ?1 5 ?1 5 ?1 从而 ,因此所求的取值范围是 ( ?q? , ). 2 2 2 2
13、 (2010 清华大学)求 sin 10 ? sin 50 ? sin 70
4 0 4 0 4 0

14、 求证:tan20 +4cos70 = 【解】 tan20 +4cos70 =
? ?

?

?

sin 20? sin 20? ? 4 sin 20? cos 20? sin 20? ? 2 sin 40? ? ? ? +4 sin 20 cos20? cos 20? cos 20? sin 20? ? sin 40? ? sin 40? 2 sin 30? cos10? ? sin 40? ? ? cos 20? cos 20?

?

sin 80? ? sin 40? 2 sin 60? cos 20? ? ? 3. cos 20? cos 20?

15、(2011 华约 11)

) 解: (I) tan C ? ? tan( A ? B ) ?

tan A ? tan B ,整理得 tan A tan B ? 1 tan A tan B tan C ? tan A ? tan B ? tan C

( II ) 由 已 知

3 tan A tan C ? tan A ? tan B ? tan C , 与 ( I ) 比 较 知 tan B ? 3,B=


?
3

。又 ,

1 1 2 2 4 ? ? ? ? sin 2 A sin 2C sin 2B sin 2? 3 3

sin 2 A ? sin 2C 4 ? sin 2 A sin 2C 3

sin( A ? C ) cos( A ? C ) 1 3 ? ,而 sin( A ? C ) ? sin B ? , cos 2( A ? C ) ? cos 2( A ? C ) 2 3
cos 2( A ? C ) ? cos 2 B ? ? 1 ,代入得 2cos 2( A ? C ) ? 1 ? 3cos( A ? C ) , 2

? 4cos2 ( A ? C) ? 3cos( A ? C) ?1 ? 0 , cos( A ? C ) ? 1,
16、 已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且 【解】 因为 A=1200-C,所以 cos

1 A?C 6 ? 1, , cos 4 2 4

A?C =cos(600-C), 2
3

A?C 1 1 2 ? ?? ,试求 cos 的值。 2 cos A cosC cos B

高二数学竞赛辅导导学案

编制:程洪

2014-10-22

又由于

1 1 1 1 cos(1200 ? C ) ? cosC ? ? ? ? cos A cosC cos(1200 ? C ) cosC cosC cos(1200 ? C )
=

? ?2 2 , 1 1 0 0 0 [cos120 ? cos(120 ? 2C )] cos(120 ? 2C ) ? 2 2 A?C A?C 3 2 A?C 2 2 A?C ? 2 cos ? 3 2 =0。解得 cos 所以 4 2 cos 或 cos 。 ?? ? 2 2 2 8 2 2 A?C A?C 2 又 cos >0,所以 cos 。 ? 2 2 2 m 17、证明:对任一自然数 n 及任意实数 x ? k ? ( k ? 0,1,2, ? , n, m 为任一整数) , 2


2 cos600 cos(600 ? C )

?

2 cos(600 ? C )

1 1 1 ? ??? ? cot x ? cot 2 n x. sin 2 x sin 4 x sin 2 n x

思路分析:本题左边为 n 项的和,右边为 2 项之差,故尝试将左边各项“裂”成两项之差,并希冀能消去 其中许多中间项.

1 2 cos2 x ? cos 2 x 2 cos2 x cos2 x ? ? ? ? cot x ? cot 2 x, sin 2 x sin 2 x 2 sin x cos x sin 2 x 1 1 ? cot 2 n ?1 x ? cot 2 n x 同理 ?? ? cot 2 x ? cot 4 x n sin 2 x sin 4 x 评述:①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得. ②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性,类似可证下列各题:
证明:

tan ? tan 2? ? tan 2? tan 3? ? ? ? tan( n ? 1)? tan n? ?

tan n? ?n. tan ?

tan? ? 2 tan2? ? 2 2 tan2 2 ? ? ? ? 2 n tan2 n ? ? cot? ? 2 n?1 cot 2 n?1? . 1 1 1 ? ??? ? cos1? cot1? ? ? ? ? ? ? cos0 cos1 cos1 cos 2 cos88 cos89
sin(? ? n n ?1 ? ) sin ? 2 2 . sin
证明: sin ? sin

18、证明: sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? 2 ? ) ? ? ? sin(? ? n? ) ?

?

2

?

1 ? ? ? ? [cos( ? ? ) ? cos( ? ? )], 2 2 2 2

类似地sin(? ? ? ) sin

1 3 ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? )], 2 2 2 2 ? 1 5 3 sin(? ? 2 ? ) sin ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )], 2 2 2 2 ?? sin(? ? n? ) sin

?

?

各项相加得, sin

?
2

1 2n ? 1 2n ? 1 ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )], 2 2 2 2

? ? [cos( ?? ? ) ? cos(? ? )] 2 2 2 1 2n ? 1 ? ? ? [cos( ?? ? ) ? cos(? ? )] ? sin(? ? n ? ) sin n ? 1 ? . 2 2 2 2 2 n n ?1 4 ? sin(? ? ? ) sin ?. 2 2

[sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? 1 ? 2 ? ) ?2 n? 1sin(? ? n? )] ?

高二数学竞赛辅导导学案

编制:程洪

2014-10-22

所以, sin ? ? sin(? ? ? ) ? ? ? sin(? ? n? ) ?

sin(? ?

n n ?1 ? ) sin ? 2 2 . sin

?

2
n ?1 n ? cos(? ? ? ) 2 2 . sin

评述:①类似地,有 cos? ? cos(? ? ? ) ? ? ? cos(? ? n? ) ?

sin

?

2

n n ?1 sin ? cos ? 2 2 ②利用上述公式可快速证明下列各式: cos? ? cos 2? ? cos3? ? ? ? cos n? ? ? ? 3 5 1 sin 2 cos ? cos ? ? cos ? ? .

9 7 7 2 ? 3 5 7 1 3 5 1 cos ? cos ? ? cos ? ? . cos ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? 等. 9 9 9 9 2 9 7 7 2 ? 3 5 7 1 cos ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? 等. 9 9 9 9 2

?

5


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