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解排列组合应用题常用策略


解排列组合应用题的常用策略 排列组合问题是新课程理科高考的重点内容之一,它联系实际生 动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握,实践证明,掌握题型 和解题方法,识别模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效 途径。下面以例题来介绍排列组合应用题的常用解题策略,供大家 参考。 一、限制条件(特殊元素、位置)优先法 如某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再 排其它的元素。 例 1.(1)1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念,若老师不 站两端则有多少种不同的排法? 解析:老师在中间三个位置上选一个有 a13 种,4 名同学在其余 4 个位置上有 a44 种方法;所以共有 a13a44=72 种. (2)某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城 市参加中国西部经济开发建设, 其中甲同学不到银川, 乙不到西宁, 共有多少种不同派遣方案? 解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有 以下四种情况: ①若甲乙都不参加,则有派遣方案 a48 种;②若甲参加而乙不参 加,先安排甲有 3 种方法,然后安排其余学生有 a38 方法,所以共 有 3a38;③若乙参加而甲不参加同理也有 3a38 种;④若甲乙都参 加,则先安排甲乙,有 7 种方法,然后再安排其余 8 人到另外两个 城市有 a28 种,共有 7a28 方法。所以共有不同的派遣方法总数为 a48+a38+3a38+7a28=4088 种. 二、相邻问题捆绑法 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与 排列。 例 2.a,b,c,d,e 五人并排站成一排,如果 a,b 必须相邻且 b 在 a 的右边,那么不同的排法种数有多少种? 解析:把 a,b 视为一人,且 b 固定在 a 的右边,则本题相当于 4 人的全排列,a44=24 种。 三、相离(不相邻)问题插空法 元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排 列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。 例 3.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的 排法种数是多少种? 解析:除甲乙外,其余 5 个排列数为 a55 种,再用甲乙去插 6 个 空位有 a26 种,不同的排法种数是 a55a26=3600 种. 四、定序问题缩倍法 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍 数的方法。 例 4.a,b,c,d,e 五人并排站成一排,如果 b 必须站在 a 的右 边(a,b 可以不相邻)那么不同的排法种数是多少种?解析:b 在 a 的右边与 b 在 a 的左边排法数相同,所以题设的排法只是 5 个元 素全排列数的一半,即 a55=60 种. 五、多元问题分类法 元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情 况分别计数,最后总计。 例 5.(1)由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数, 其中个位数字小于十位数字的共有多少种? 解析:按题意,个位数字只可能是 0,1,2,3,4 共 5 种情况, 分别有 a55 个,a14a13a13a13a33,a12a13a33,a13a33 个,合并总 计 300 个. (2)从 1,2,3?,100 这 100 个数中,任取两个数,使它们的 乘积能被 7 整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种? 解析:被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时,他们的乘积就 能被 7 整除, 将这 100 个数组成的集合视为全集 i,能被 7 整除的数 的集合记做 a=7,14,21

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