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广东省东莞中学松山湖学校2013届高三年级月考 数学理


广东省东莞中学松山湖学校 2013 届高三年级月考 数学理.

数学(理)试题
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 )
_

1.已知复数 z ?
3

2?i 1 ? 2i

,则复数 z ?
3

A. i
5

B. ? i
5

C. i

D. ?i

0 2.下列函数中,既是偶函数、又在区间 ? ? 1, ? 单调递增的函数是

2

2

A. y ? x ? 1 C. y ? 2
?x

B. y ? x ? 1
2

D. y ? ? cos x

2 2 正视图 2 侧视图

3.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 2 ? ? 2 3
2 3 3

B. 4 ? ? 2 3
2 3 3
1 e

C. 2 ? ?

D. 4 ? ?

4.函数 y ? ln x 在 x ? A.
1 e

处的切线与坐标轴所围图形的面积是 俯视图 B.
2 e

(3 题图)

C.

4 e

D. 2e

? x ? y ? 1≥ 0, ? 5.若实数 x,y 满足 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 3x ? 2 y 的最小值是 ? ? x ≤ 0,

A.0

B.1

C. 3

D.9

6.有四个关于三角函数的命题:
p1 : ?x ? R, sin
2

x 2

? cos

2

x 2

?

1 2

p2 : ?x、y ? R, sin( x ? y ) ? sin x ? sin y

p3 : ?x ? ? 0, ? ? ,

1 ? cos 2 x 2

? sin x

p4 : sin x ? cos y ? x ? y ?

?
2

其中假命题的是 A. p1 , p4 B. p2 , p4 C. p1 , p3
6 5

D. p2 , p4

7.离散型随机变量 X ~ B (n, p ), 且E ( X ) ? 3, D ( X ) ?

, 则P ( X ? 2) ?

1

A. C.

72 625 1 5

B. D.

144 625 72 3125

8.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数 1 的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均为 (n≥2) , n 1 1 1 1 1 1 每个数是它下一行左右相邻两数的和,如 = + , = + , 1 2 2 2 3 6 1 1 1 = + ,…,则第 9 行第 4 个数(从左往右数)为 3 4 12 A. C.
1 168 1 504

B. D.

1 252 1 840

(8 题图)

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.已知 ? 是?ABC的一个内角,且 cos ? ? ?
? 2 cos ? ? ? ? ? ? ? 10.已知向量 a ? ? 2,1? , a ? b ? 10,| a ? b |? 5 2 ,则 | b |? _____ ,则 13 12 sin 2?

11. ( x ? )5 ( x ? R )展开式中 x 3 的系数为 10,则实数 a ? _ _ _ _ _
x

a

12.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 13. 如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。 设顶点 P x, 的轨迹方程是 y ? f ( x) , ( y) 则 f ( x) 的最小正周期为 区域的面积为 开 始 。
y

;y ? f ( x) 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围

Y T=0,K=0 B T=T+K P
T ? 105 ?

C A



K=K+1
x

是 输出 K (13 题图) 结束 (二)选做题:第 14、15 (12 题图) 题为选做题,考生只能选做其中的一题,两题全答的,只计算前
2

X

一题的得分. 14. (几何证明选讲选做题)如图,点 A , B , C 是圆 O 上的点, B 且 A B ? 2, B C ?
6 , ? C A B ? 1 2 0 ,则 ? A O B 对应的劣弧长为
?



O A C

15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 ? ? 2 上的点 到直线 ? ?cos ? ?
3 sin ? ? 6 的距离的最小值是

?



第 14 题图

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答写在答题卡的指定区域内. ) 16. 本小题满分 12 分) 已知 {an } 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1, 且a1 , a3 , a9 成等比数 ( 列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项; (Ⅱ)求数列 {2 } 的前 n 项和 S n
an

17. (本小题满分 12 分) 在 ? A B C 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且满足 c sin A ? a co s C . (I)求角 C 的大小; (II)求 3 s in A ? c o s ( B ?
?
4 ) 的最大值,并求取得最大值时角 A , B 的大小.

18. (本小题满分 14 分) 在三棱锥 S ? A B C 中, ? A B C 是边长为 4 的正三角形,平面 S A C ? 平面 A B C ,
S A ? S C ? 2 3 , M 、 N 分别为 A B、 S B 的中点。

(Ⅰ)证明: A C ? S B ; (Ⅱ)求二面角 N ? C M ? B 的余弦值;

3

19. (本小题满分 14 分) 某同学参加 3 门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
4 5

,第二、

第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p , q ( p > q ) ,且不同课程是否取得优秀成 绩相互独立。记ξ 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ξ
p

0
6 125

1
a

2
b

3
24 125

(Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (Ⅱ)求 p , q 的值; (Ⅲ)求数学期望 E ξ 。

20. (本小题满分 14 分) 已 知 函 数 f ( x ) ? a ln x ? b x
y ? ? 3 x ? 2 ln 2 ? 2 .
2

图 象 上 一 点 P ( 2 , f ( 2 )) 处 的 切 线 方 程 为

(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若方程 f ( x ) ? m ? 0 在 [ , e ] 内有两个不等实根,求 m 的取值范围(其中 e 为自
e 1

然对数的底数) ; (Ⅲ)令 g ( x ) ? f ( x ) ? kx ,若 g ( x ) 的图象与 x 轴交于 A ( x1 , 0 ) , B ( x 2 , 0 ) (其中
x1 ? x 2 ) A B 的中点为 C ( x 0 , 0 ) ,求证: g ( x ) 在 x 0 处的导数 g ( x 0 ) ? 0 . ,
/

21. (本小题满分 14 分)
* 已知数列 ? a n ? 和 ? b n ? 满足 a 1 ? b1 ,且对任意 n ? N 都有 a n ? b n ? 1 ,

a n ?1 an

?

bn 1 ? an
2



(1)求数列 ? a n ? 和 ? b n ? 的通项公式; (2)证明:
a2 b2 ? a3 b3 ? a4 b4 ?? ? a n ?1 b n ?1 ? ln ? 1 ? n ? ? a1 b2 ? a2 b2 ? a3 b3 ?? ? an bn



4

参考答案
一、选择题 1 D 二、填空题 9. ?
5 6

2 C

3 C

4 B

5 B

6 A

7 B

8 C

10.

5

11.

2

12.

14

13. 4,

? ?1

14.

2 2

? .

15.1.

三、解答题 16: (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题设知公差 d ? 0 , 由 a 1 ? 1, a 1、 a 3、 a 9 成等比数列,得
1 ? 2d 1 ? 1 ? 8d 1 ? 2d

???????????4 分

解得 d ? 1, d ? 0 (舍去)????????????????????6 分 故 ? a n ? 的通项 a n ? 1 ? ? n ? 1 ? ? 1 ? n ????????????????8 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2
an

? 2 ????????????????9 分
n

由等比数列前 n 项和公式得 S n ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ?
2 3 n

2 ?1 ? 2 1? 2

n

?

? 2

n ?1

? 2 ????

12 分 17. (本题满分 12 分) 解: (I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A co s C . ??????????2 分 因为 0 ? A ? ? , 所以 sin A ? 0 ,从而 sin C ? co s C . ?????????3 分 又 co s C ? 0 ,所以 tan C ? 1 ,则 C ? (II)由(I)知 B ?
3? 4 ? A . 于是

?
4

????????????5 分

3 s in A ? c o s ( B ?

?
4

)?

3 s in A ? c o s ( ? ? A ) ?

3 s in A ? c o s A ? 2 s in ( A ?

?
6

). ?

??8 分? 0 ? A ?

3? 4

,?

?
6

? A?

?
6

?

1 1? 12
5

, ?????????????????9

分 从 而 当
A?

?
6

?

?
2

,即 A ?

?
3

时,

2 s in ( A ?

?
6

)









2.?????????????11 分 综上所述, 3 s in A ? c o s ( B ?
?
4 ) 的最大值为 2,此时 A ?

?
3

,B ?

5? 12

. ????12 分

18. (本题满分 14 分) 解:解法一: (Ⅰ)取 A C 中点 D ,连结 S D、 D B . ? S A ? S C , A B ? B C , A C ? S D 且 A C ? B D ,?????????????2 分 ?
? AC ? 平 面 SBD





S D ? 平 面 S B D , A C ? S B .??????????????4 分 ?
? (Ⅱ)? A C ? 平 面 S B D , A C ? 平 面 A B C , 平 面 S B D ? 平 面 A B C .

AC 过 N 作 N E ? B D 于 E , NE ? 平 面B 则

, E 作 EF ? CM 于 F , 过 连结 N F , 则

NF ? CM .

∴ ? N F E 为二面角 N ? C M ? B 的平面角.

???????????????6 分

? 平 面 S A C ? 平 面 A B C, S D ? A C, S D ? 平 面 A B C 。 ?

又∵ N E ? 平 面 A B C ,∴ N E ? S D .
? ∵ S N ? N B, N E ? 1 2 SD ? 1 2 1 4 SA ? AD
2 2

?

1 2

12 ? 4 ? 1 2

2 ,且 E D ? E B .

在正 ? A B C 中,由平几知识可求得 E F ? 在 R T ? N E F 中, ta n ? N F E ?
EN EF ? 2

MB ?


1 3

2 ,? C O S ? N F E ?

∴二面角 N ? C M ? B 的余弦值为 (Ⅲ)在 R t ? N E F 中, N F ?
S ?CM N ? 1 2 CM ? NF ? 3 2

1 3


2

?????????????????9 分
2

EF

? EN

?

3 2



3 , S ?CM B ?

1 2

B M ? C M ? 2 3 . ???????????

??10 分 设 点 B 到 平 面 C M N的 距 离 为 h , ? V B ?CMN ? V N ?CMB , N E ? 平 面 C M B ,
? 1 3 S CMN ? h ? 1 3 S CMB ? N E ,

?h ?

S CMB ? N E S CMN

?

4 3

2







B







C

M

N 的







6

4 2 3

. ???????????14 分

解法二: (Ⅰ)取 AC 中点 O,连结 OS、O B.∵SA=SC,AB=BC, ∴AC⊥SO 且 AC⊥BO. ∵平面 SAC⊥平面 ABC,平面 SAC∩平面 ABC=AC ∴SO⊥面 ABC,∴SO⊥BO. 如图所示建立空间直角坐标系 O-xyz.????????????2 分 则 A(2,0,0) ,B(0,2 3 ,0) , C(-2,0,0) ,S(0,0,2 2 ) , M(1, 3 ,0) ,N(0, 3 , 2 ) . ∴ AC =(-4,0,0) SB =(0,2 3 ,2 2 ) , , ∵ AC · SB =(-4,0,0)(0,2 3 ,2 2 )=0,??3 分 · ∴AC⊥SB.?????????????????????4 分(Ⅱ) 由(Ⅰ)得 C M ? ? 3, 3 , 0 ? , M N ? ? ? 1, 0 , 2 ? .设 n ? ? x , y , z ? 为平面 C M N 的一个 法向量,
???? ? ? ?C M ? n ? 3 x ? ? ? ? ???? ? ?MN ?n ? ? x ? ? 3y ? 0 2z ? 0

???? ?

???? ?

?



则取 z ? 1 ,则 x ?

2, y ? ?

6 ?? 6 分

又 O S ? ? 0 , 0 , 2 2 ? 为平面 A B C 的一个法向量,
? ??? ? ? ??? ? n ?OS 1 ∴ c o s n , O S ? ? ??? ? .??????????????????8 分 ? 3 n ? OS

??? ?

?

?

∴二面角 N ? C M ? B 的余弦值为
????

1 3

.??????????????????9 分
?

(Ⅲ)由(Ⅰ) (Ⅱ)得 M B ? ? ? 1, 3 , 0 ? , n ? 量, ∴点 B 到平面 C M N 的距离 d ? 19. (本题满分 14 分)
? ???? n ?MB n ? 4 3 2

?

2,?

6 ,1 为平面 C M N 的一个法向

?

.???????????12 分

解:事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩” i =1,2,3,由题意知 ,
P ( A1 ) ? 4 5

, P ( A2 ) ? p , P ( A3 ) ? q ???????1 分

(I)由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“ ? ? 0 ”是对立的,所以
7

该 生 至 少 有
1 ? P (? ? 0) ? 1 ? 6 125

1
?

门 课 程 取 得 优 秀 成 绩 的 概 率 是 ,???????4 分
1 5 pq ? 24 125 (1 ? p )(1 ? q ) ? 6 125

119 125

(II)由题意知

P (? ? 0) ? P ( A1 A2 A3 ) ? P (? ? 3) ? P ( A1 A2 A3 ) ?

4 5

整理得

pq ?

6 125

, p ? q ?1
3 5

由 p ? q ,可得 p ?

,q ?

2 5



???????9 分

(III)由题意知 a ? P (? ? 1) ? P ( A1 A2 A3 ) ? P ( A1 A2 A3 ) ? P ( A1 A2 A3 ) =
4 5 (1 ? p )(1 ? q ) ? 1 5 p (1 ? q ) ? 1 5 (1 ? p ) q ? 37 125 58 125
E? ? 0 ? P (? ? 0) ? 1? P (? ? 1) ? 2 P (? ? 2) ? 3P(? ? 3) =

b ? P (? ? 2) ? 1 ? P (? ? 0) ? P (? ? 1) ? P (? ? 3) =

9 5

?????14 分

20. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ) ∴
a 2
f ?? x ? ? a x ? 2bx



f ??2? ?

a 2

? 4b

, f ?2? ? .

a ln 2 ? 4 b



? 4b ? ?3

,且 a ln 2 ? 4 b

? ? 6 ? 2 ln 2 ? 2

???????? 2 分 ???????? 3 分

解得 a ? 2, b ? 1 . (Ⅱ) f ? x ? ? 则h/ ?x? ? 在[
1 e
/

2 ln x ? x

2

,令 h ? x ? ?
2

f ( x ) ? m ? 2 ln x ? x ? m

2



2 x

? 2x ?

2 (1 ? x ) x 1 e , 1)

,令 h / ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 ( x ? ? 1 舍去) .

, e]

内,当 x ? [

时, h / ( x ) ? 0 , ∴ h ( x ) 是增函数; ∴
h ( x ) 是减函数

当 x ? [1, e ] 时, h ( x ) ? 0 ,

???????? 5 分
1 ? ?h( e ) ? 0 ? ? ? h (1) ? 0 ? h(e) ? 0 ? ? ?

则方程 h ( x ) ? 0 在 [

1 e

, e]

内有两个不等实根的充要条件是

??????6

分 即1 ?
m? 2? 2 e
2

. ???? 8 分

8

(Ⅲ) g ( x ) ? 2 ln x ? x ? k x , g / ( x ) ?
2

2 x

? 2x ? k .
① ② ③ ④

? 2 ln x1 ? x1 2 ? k x1 ? 0 , ? 2 ? 2 ln x 2 ? x 2 ? k x 2 ? 0 , ? 假设结论成立,则有 ? x1 ? x 2 ? 2 x 0 , ? ? 2 ? 2 x ? k ? 0. 0 ?x ? 0

???????????? 9


ln x1 x2 x1 ? x 2 ? 2 x0

①-②, 2 ln 得 分

x1 x2

? ( x1 ? x 2 ) ? k ( x1 ? x 2 ) ? 0

2

2

. ∴k

? 2



????? 10

ln

x1 x2 ? 1 x0

由④得 k
ln x1 x2 x1 ? x 2

?

2 x0

? 2 x0

,∴

x1 ? x 2

??????????? 11 分
? 2

2
? 2 x1 ? x 2

x1 x2 x1 x2



,即 ln

x1 x2

?

.⑤
?1

令t 分

?

x1 x2

,u ( t ) ?

ln t ?

2t ? 2 t ?1

(0 ? t ? 1 ) ,

???????????????? 12

则 u ?( t )

?

( t ? 1)

2 2

t ( t ? 1)

>0.∴ u ( t ) 在 0 ? t ? 1 上增函数, ∴ u ( t ) ? u (1) ?

0

, ????? 13

分 ∴⑤式不成立,与假设矛盾. ∴ g ? ? x0 ? ? 0 . 14 分 21. (本题满分 14 分) 解析: (1)∵对于任意的 n∈N*,都有 a n ? b n ? 1 ,则 b n ? 1 ? a n 代入
1 ? an 1 ? an
2

???????????????????

a n ?1 an

?

bn 1 ? an
2





a n ?1 an

?

?

1 1 ? an

, ∴

1 a n ?1

?

1 an

?1, 即

1 a n ?1

?

1 an

?1,

?1? 1 ∴数列?a ?为以 为首项,1 为公差的等差数列. a1 ? n?

1 ∵a1=b1,且 a1+b1=1,∴a1=b1= . 2 1 1 n ∴ =2+ (n-1) =n+1. n= ∴a , n=1-an= b . ???????????? an n+1 n+1

9

5分 1 n an 1 (2)证明:∵an= ,bn= ,∴ = . bn n n+1 n+1 an+1 a2 a3 a4 a1 a2 a3 an ∴所证不等式 + + +…+ < ln(1+n) < + + +…+ , b2 b3 b4 b1 b2 b3 bn bn+1 1 1 1 1 1 1 1 即 + + +…+ < ln(1+n) < 1+ + +…+ .?????????? 7 分 2 3 4 2 3 n n+1 1 1 1 ①先证明右边不等式:ln(1+n)<1+ + +…+ . 2 3 n 令 f(x)=ln(1+x)-x,则 f′(x)= 1 x -1=- , 1+x 1+x

当 x>0 时,f′(x)<0,即函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递减, ∴当 x>0 时,f(x)<f(0)=0,即 ln(1+x)<x. 1 1 1 1 分别取 x=1, , ,…, ,得 ln(1+1)+ln?1+2?+ ? ? 2 3 n 1 1 1 1 1 ln?1+3?+…+ln?1+n?<1+ + +…+ , ? ? ? ? 2 3 n n+1? 1 1 1 3 4 即 ln?2× × ×…× <1+ + +…+ , 2 3 n n ? ? 2 3 1 1 1 即 ln(n+1)<1+ + +…+ . 2 3 n ?????????? 10 分

1 1 1 1 ②再证左边不等式: + + +…+ <ln(1+n) . 2 3 4 n+1 x 令 f(x)=ln(1+x)- , 1+x 1 1 x 则 f′(x)= - = . 1+x (1+x)2 (1+x)2

当 x>0 时,f′(x)>0,即函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增, x ∴当 x>0 时,f(x)>f(0)=0,即 ln(1+x) > . 1+x 1 1 1 1 1 1 1 分别取 x=1, , ,…, ,得 ln(1+1)+ln?1+2?+ln?1+3?+…+ln?1+n? > + ? ? ? ? ? ? 2 2 3 n 1 1 +…+ , 3 1+n n+1? 1 1 1 1 1 1 3 4 即 ln?2× × ×…× > + +…+ ,即 ln(n+1) > + +…+ .??? 2 3 2 3 n ? ? 2 3 1+n 1+n 13 分 an+1 a2 a3 a4 a1 a2 a3 an ∴ + + +…+ < ln (1+n) < + + +…+ . ?????????? 14 b2 b3 b4 b1 b2 b3 bn bn+1 分

10


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