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重庆市重庆一中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文)试题


本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 一、选择题(本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目 要求.)

1. 直线 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为( ) A. 30 B. 45 2. 如果命题“ p ? q ”为真命题,则( A. p, q 中至少有一个为真命题 C. p, q 均为真命题

C. 60 )

D. 120

B. p, q 均为假命题 D. p, q 中至多有一个为真命题
[来源:学科网 ZXXK]

3. 全称命题“ ?x ? R, x2 ? 2x ? 3 ? 0 ”的否定是( ) 2 A. ?x ? R, x ? 2x ? 3 ? 0 B. ?x ? R, x2 ? 2 x ? 3 ? 0 C. ?x ? R, x2 ? 2x ? 3 ? 0 D. ?x ? R, x2 ? 2x ? 3 ? 0 4.已知直线 m, n, l ,若 m / / n, n l ? P ,则 m 与 l 的 位置关系是( ) A.异面直线 B.相交直线 C.平行直线 D.相交直线或异面直线 1 5.(原创题)设 x ? R ,则“ x ? ”是“ 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的( ) 2
[来源:学科网]

[来源:学§科§网]

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. 已知圆锥的母线长为 4,侧面展开图的中心角为 A.
15 ? 2

B. 15?

? ,那么它的体积为 ( 2 15 C. D. 4? ? 3



7. 以直线 x ? 2 y ? 0 和 x ? 2 y ? 4 ? 0 的交点为圆心,且过点 (2, 0) 的圆的方程为( A. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1 B. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 C. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 2 D. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 8. 对于直线 m, n 和平面 ? ,下列命题中正确的是( ) A.如果 m ? ? , n ? ? , m, n 是异面直线,那么 n / /? ; B.如果 m ? ? , n ? ? , m, n 是异面直线,那么 n 与 ? 相交; C. 如果 m / /? , n / /? , m, n 共面,那么 m / / n D. 如果 m ? ? , n / /? , m, n 共面,那么 m / / n ;



x2 y 2 9. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线分别交于 a b
A 、 B 两点,O 为坐标原点,若双曲线的离心率为 2, ?AOB 的面积为 3 ,则 p ? (



A.

3 2

B.1

C.2

D.3

x2 y 2 10. 过双曲线 2 ? 2 ? 1(b, a ? 0) 的右焦点 F2 向其一条渐近线作垂线 l ,垂足为 P ,若 l 与另一条 a b 渐近线交于 Q 点,且 QF2 ? 2PF2 ,则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

二、填空题.(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11. 已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的侧面积是________.

12. 已知球的体积为

32 ? ,则球的大圆面积是_______. 3

13. 设 M 是圆 ( x ? 5)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 上的点, 则 M 到直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 的

最短距离是 . 14. 一长方体的各顶点均在同一个球面上, 且一个 顶点上的三 条棱长分 别为 1, 6,3 ,则这个球的表面积为_________. 15. (原创题)已知双曲线
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F , P 是双曲线右支上任意一点,定点 M (6, 2) , 5 4

则 3 PM ? 5 PF 的最小值是_______ __. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答
写在答题卷相应的位置上. 16.(本题满分 13 分)如图直三棱柱 ABC ? A1B1C1 , CA ? CB ,, E、F、M 分别是棱 CC1 、 AB 、 BB1 中 点. (1)求证:平面 AEB1 / /平面CFM ; (2)求证: CF ? BA1

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆;命题 q: m2 ? 15m ? 0 , 17. (本题满分 13 分)已知命题 p :方程 2m m ? 1
若 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,求 m 的取值范围.

18.(本题满分 13 分) 如图直线 l : y ? x ? b 与抛物线 C: x2 ? 4 y 相切于点 A.
(1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方 程.
[来源:学&科&网]

19.( 本题满分 12 分) (原创题)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆


x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 a 2 b2

1 ,过椭圆焦点 F 作弦 AB.当直线 AB 斜率为 0 时,弦 AB 长 4. 2
60 .求直线 AB 的方程. 19

(1)求椭圆的方程; (2)若 AB ?
[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]

20. (本题满分 1 2 分) (原创题) 已知四棱 锥 G ? ABCD ,四边形 ABCD 是长为 2a 的正方形,

DA ? 平面ABG,且GA=GB , BH ? 平面CAG,垂足为H , 且H在直线CG上 .
(1)求证: 平面AGD ? 平面BGC ; (2)求三棱锥 D ? ACG 的体积; (3)求三棱锥 D ? ACG 的内切球半径.
D

[来源:学科网 ZXXK]

C

H A B

G

21.(本题满分 12 分)已知椭圆的两个焦点为 F1(-

3, 0), F2,( 3, 0) ,离心率 e =

3. 2

(1)求椭圆的方程; (2)设直线 l : y = x + m ,若 l 与椭圆交于 P , Q 两点,且 | PQ | 等于椭圆的短轴长,求 m 的值; (3)以此 椭圆的上顶点 B 为直角顶点作椭圆的内接等腰三角形 A BC ,这样的三角形是否存在?若存在, 有几个;若不存在,说明理由.

[来源:学*科*网]

一、选择题。 1-5 BADD A 6-10CADCA 二、填空题。 11.20 ? 12.4 ? 13.2 三、解答题。 16. 解: (1)证明:
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

14.16 ?

15.13

C1
?
(2)证明:

A1 E

B1

M C A
17. 解:将方程

F

B

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 改写为 ? ? 1, 2m m ? 1 2m 1 ? m
1 时,方程表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆, 3

只有当 1 ? m ? 2m ? 0, 即 0 ? m ?

综上: m 的取值范围为

1 ? m ? 15 3
2 可得 x ? 4 x ? 4b ? 0 (①)

18. 解: (1)由 ?

?y ? x ?b ?x ? 4 y
2

因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 ? ? 0 解的 b=-1 2 (1) 由(1)可知 b=-1,故方程(①)即为 x ? 4 x ? 4 ? 0 解得 x=2 代入

x2 ? 4 y ,得 y=1

故点 A(2,1),因为圆 A 与抛物线的准线 相切,所以圆的半径等于 A 到抛物线准线 y=-1 的距离即 r= 1 ? (?1) ? 2 ,所以圆的方程 (x? 2)2 ? (y?1)2 ? 4 . 19. 解: (1)由题意知 e ?

c 1 ? , 2a ? 4 ,又 a 2 ? b2 ? c2 ,解得: a 2

a ? 2, b ? 3 ,所以椭圆方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)设直线 AB 的方程为 y=k(x-1), 将直线 AB 方程代入椭圆方程中并整理得

? 3 ? 4k ? x
2

2

? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,

12 ? k 2 ? 1? 8k 2 4k 2 ? 12 60 2 , x1 ? x2 ? 则 x1 ? x2 ? ,所以 AB ? k ? 1 x1 ? x2 ? . ? AB ? 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 19
解得 k ? ?2 ,所以直线 AB 方程为 2x-y-1=0 或 2x+y-1=0. 20.(1)证明:
D C

Q 过点B 作平面AGC 的垂线,垂足H在直线CG 上 BH ^ 平面AGC 且BH 烫 平面CGB, Q AG 平面AGC , \ BH ^ AG, 又BC ^ AB,BC ^ 平面AGB,BC ^ AG, AG ^ 面BGC, 又AG 蘜 面AGD, 故平面AGD
(2)
G

[来源:

学,科,网]

平面BGC
A

H B

由( 1)可知AG ^ GB,AG ^ CG, QVABG 为等腰三角形 过点G 作GE ^ AB于点E ,则GE= 1 AB= a, A G = BG = 2a 2 1 1 2 a3 V D - A GC = VG - A DC = 鬃 A D DC ?GE 3 2 3 (3)记三棱锥内 切球的半径为 r, VG-ADC = 1 (SVDCG + SVAGC + SVDAG + SVADC)g r= 2 a 3 , 3 3

VDAG中DA= 2a, AG= 2a, SVDAG = VADC中SVADC = 2a 2

2a 2

VG-ABC = 1 (SVDCG + SVAGC + SVDAG + SVADC )gr= 2 a 3, 3 3 2 r = a 5+ 3+ 2+ 2

21. 解: (1) c =

3, a = 2 , x + y 2 = 1 ; 4
2

(2) y = x + m 与椭圆联立: 5x 2 + 8mx + 4m 2 - 4 = 0 , D > 0 ? m 2

5

轾 2 64m 2 - 16(m 2 - 1) ? 8m 2 x1 + x2 = - 8m , x1x2 = 4m - 4 , 4 = 2 犏 犏 5 5 5 ? 25 ?

15 ? m

±

30 ; 4
8k 4k 2 + 1

( 3 ) 设 lAB : y = kx + 1 与 x 2 + 4y 2 = 4 联 立 : (1 + 4k 2)x 2 + 8kx = 0 , x1 = 0 , x 2 =

| A B |=

1 + k2

8|k | ,不妨设 k > 0 4k 2 + 1

附件 1:律师事务所反盗版维权声明

附件 2:独家资源交换签约学校名录(放大查看) 学校 名录参 见:h ttp://w ww.zxxk.com/wxt/list. aspx ? ClassID=3060


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