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福建省厦门双十中学2015届高三数学上学期期中试题 理


福建省厦门双十中学 2015 届高三数学上学期期中试题 理
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置. 1. 命题“对任意的 x∈R,x +1>0”的否定是( ▲ ) A.不存在 x∈R,x +1>0 C.存在 x∈R,

x +1≤0
2 2 2

B.存在 x∈R,x +1>0 D.对任意的 x∈R,x +1≤0
2

2

2 2. 已知集合 A ? 3, a ,集合 B ? ?0, b,1 ? a? ,且 A ? B ? ?1? ,则 A ? B ? ( ▲ )

?

?

A. ?0,1,3?

B. ?0,1,2,3? D. ?0,1,2,3,4?

C. ?1,2,4?

3. “sinα ≠sinβ ”是“α ≠β ”的( ▲ ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. 若 a,b,c 为实数,且 a<b<0,则下列命题正确的是( ▲ ) A.ac <bc
2 2

1 1 B. <

a b

C. >

b a a b

D. a >ab>b
x

2

2

5. 已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的图像如下图所示,则函数 g(x)=a +b 的图 象是( ▲ )

? x ? y ? 1 ? 0, ? 6. 设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是( ▲ ) ? x ? 3, ? A. ?3 B. 12 C. ? 6
2

D. ?12

7. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A. 若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线的方程为( ▲ ) A.y =4x ±8x 8. 下列函数存在极值的是( ▲ ) A. y ? 2 x ? cos x B. y ? e ? ln x
x
2

B.y =8x

2

C.y =±4x

2

D . y =

2

1

C. y ? x3 ? 3x2 ? 3x ?1

D. y ? ln x ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9. 定义: a ? b ? a ? b ? sin ? ,其中 ? 为向量 a 与 b 的夹角,若 a ? 2, b ? 5, a ? b ? ?6 ,
则 a ?b ? ( ▲ ) A.6 B.8 C.-8 D.8 或-8

1 x

? ?

10.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对于任意 x∈R 都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ? f (2) 成 立,当 x1 , x2 ?[0, 2] 且 x1 ? x2 时,都有 ①函数 f ( x ) 一定是周期函数; 函数; ③直线 x ? ?4 是函数 f ( x ) 图像的一条对称轴; 仅有 4 个零点. 其中正确命题的个数是( ▲ ) A.1 B.2 ④函数 f ( x ) 在区间 [?6, 6] 上有且

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 . 给出下列命题: x1 ? x2
②函数 f ( x ) 在区间 [?6, ?4] 上为增

C.3

D.4

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请把答案填在答题卷的相应位置. 11.已知函数 f ( x) ? ?

? x2 , 0 ? x ? 1 ?2 ? x,1 ? x ? 2

,则

?

2

0

f ( x)dx 等于
y2 x2



.

12.已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)与双曲线 C2: - =1 有相同的渐近线,则 C1 的 a b 16 4 离心率= ▲ . 13.已知 2 2+ =2 3 2 , 3 3 3+ =3 8 3 , 8 4 4+ =4 15 4 ,?,若 15 7+ =7 ▲

x 2 y2

a b

a , b
.

(a、b 均为正实数),则类比以上等式,可推测 a、b 的值,进而可得 a+b=
3 2

14 .若定义在 [ a, b] 上的函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 的值域为 [?3,1] ,则 b ? a 的最大值是 ▲ .
* 是 3, n? N ) △ AOB 所 在 的 平 面 内 的 n 个 相 异 点 , 且

15 . 已 知 Ai ( i ? 1, 2, 3, ? n , n ,?

OAi ? OB ? OA ? OB . 给出下列命题:
① OA1 ? OA2 ? ? ? OAn ? OA ;

????

???? ?

???? ?

??? ?

② OAi 的最小值不可能是 OB ;

??? ?

2

③点 A, A 1, A 2 ,?, A n 在一条直线上; 的投影必相等. 其中正确命题的序号是 ▲

④向量 OA 及 OAi 在向量 OB 的方向上

.(请填上所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,每小题分数见旁注,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答. 16. (本小题满分 13 分) 已知全集 U=R, m ? 0 ,集合 A ? {x | x ? x ?12 ? 0}, B ? {x | x ? 3 ? m} .
2

(1)当 m ? 2 时,求 A ? ? UB ; (2)命题 p: x ? A ,命题 q: x ? B ,若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围.

?

?

17. (本小题满分 13 分) 已知向量 a=( 3sin x,-cos x),b=(cos x,cos x),记函数 f(x)=a·b. (1)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间; 1 (2)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 c= 3,f(C)= ,若向量 m= 2

(1,sin A)与
n=(2,sin B)共线,求 a,b 的值.

18. (本小题满分 13 分)
3

? x ? 1 ? cos ? , (? ? y ? sin ? , 为参数) ,在以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线 C2 的 极坐标方程为 ? ? 4sin ? .
平面直角坐标系中,点 M 的坐标是 (3, 3) ,曲线 C1 的参数方程为 ? (1)将曲线 C1 和 C2 化成普通方程,并求曲线 C1 和 C2 公共弦所在直线的极坐标方程; (2)若过点 M,倾斜角为

???? ???? ? 的直线 l 与曲线 C1 交于 A,B 两点,求 MA ? MB 的值. 3

19. (本小题满分 13 分) 经过多年的运作, “双十一” 抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴. 为迎接 2014 年“双十一”网购狂欢节,某厂家拟投入适当的广告费,对网上所售产品 进行促销. 经调查测算,该促销产品在“双十一”的销售量 p 万件与促销费用 x 万元满 足 p ? 3?

2 (其中 0 ? x ? a ,a 为正常数).已知生产该产品还需投入成本10 ? 2 p x ?1

万 元 ( 不 含 促 销 费 用 ) , 产 品 的 销 售 价 格 定 为

(4 ?

20 ) 元/件,假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求. p

(1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润的值.

20. (本小题满分 14 分) 1 3 已知中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,且经过点 M(1, ). 2 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 F 是椭圆 C 的右焦点,过 F 的直线交椭圆 C 于 M、N 两点,T 为直线 x=4 上任意 一点,且 T 不在 x 轴上,

4

→ → (ⅰ)求FM·FN的取值范围; (ⅱ)若 OT 平分线段 MN,证明:TF⊥MN(其中 O 为坐标原点).

21. (本小题满分 14 分) 已 知 函 数 f ( x) ?

ln x ( a ? R) , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 (1,f (1)处 ) 的切线方程为 x?a

y ? x ?1.
(1)求实数 a 的值,并求 f ( x ) 的单调区间; (2)试比较 2014
2015

与 2015

2014

的大小,并说明理由;

(3)是否存在 k∈Z, 使得 kx ? f ( x) ? 2 对任意 x ? 0 恒成立?若存在, 求出 k 的最小值; 若不存在,请说明理由.

厦门双十中学 2014-2015 学年(上)期中检测 高三数学(理科)参考答案及评分标准(2014-11-13)

5

17. (本小题满分 13 分) 【解析】 (1)依题意,

f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

3 1 ? cos 2 x 3 1 1 ? 1 sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 2 2 6 2

··········································· 3 分 所以最小正周期 T ? 令 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

2? ? ? , ····························· 4 分 2 ? 2 k? ?

?

2

, k ? Z ,解得 k? ?

?

所以 f ( x ) 的单调递增区间是: [k? ? (2)由 f (C ) ? sin(2C ?

?

1 1 ? ? ,得 sin(2C ? ) ? 1 , ················· 7 分 6 2 2 6 ? ? 11? ? ? ? 因为 0 ? C ? ? ,所以 ? ? 2C ? ? ,所以 2C ? ? ,解得 C ? , ········ 8 分 6 6 6 6 2 3 因为向量 m = (1,sin A) 与 n = (2,sin B) 共线,所以 sin B ? 2 sinA ,由正弦定理得 b ? 2a ,?① ····································· 9 分 )?
在 △ABC 中 , 由 余 弦 定 理 得

?

, k? ? ], k ? Z . ·················· 6 分 6 3

?

6

? x ? k? ?

?

3

,k ?Z ,

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?

3





a 2 ? b2 ? ab ? 3 ,????????② ··························11 分 由①②,解得 a ? 1, b ? 2 . ·······························13 分

18. (本小题满分 13 分)
6

【解析】 (1) 依题意, C1 的普通方程: ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,????????????① ········· 2 分 对 C2 , ? 2 ? 4? sin ? ,所以 x 2 ? y 2 ? 4 y ,即 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,??② ········· 4 分 ①-②可得, x ? 2 y ? 0 , ····························· 6 分 所 以 曲 线 C1 和 C2 公 共 弦 所 在 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 ? c o s? ? 2? s i n ? ? , 0

1 ( ? ? R) . ································ 7 分 2 1 (注:本次考试,直线的极坐标方程若只写“ ? cos ? ? 2? sin ? ? 0 ” ,或者“ tan ? ? ” 2 tan ? ?
均给分! ) (2) 解法一:

1 ? x ? 3 ? t, ? 2 ? 依题意,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,点 A、B 分别对应参数 t1 , t2 , ···· 9 分 ? y ? 3 ? 3 t, ? ? 2 1 3 2 2 代入 C1 的方程: (3 ? t ? 1) ? ( 3 ? t ) ? 1 ,整理得 t 2 ? 5t ? 6 ? 0 ,所以 t1t2 ? 6 , ····12 分 2 2 所以 MA ? MB ? t1t2 ? 6 . ·······························13 分
解法二(注:了解即可! ) : 设曲线 C1 的圆心为 C (1, 0) ,半径 r ? 1 , 则 由 圆
2


2 2


2





MA ? MB ? ( MC ? r )( MC ? r ) ? MC ? r ? (3 ? 1) ? ( 3 ? 0) ? 1 ? 6 . ·········13 分
19. (本小题满分 13 分) 【解析】

20 ) p ? x ? (10 ? 2 p) , ······················ 3 分 p 2 4 ? x ( 0 ? x ? a ). ··············· 6 分 将 p ? 3? 代入化简得: y ? 16 ? x ?1 x ?1 4 4 ? x ? 1) ? 17 ? 2 ? ( x ? 1) ? 13 , ················· 8 分 (2) y ? 17 ? ( x ?1 x ?1 4 ? x ? 1,即x ? 1 时,上式取等号. ······················ 9 分 当且仅当 x ?1 当 a ? 1 时,促销费用投入 1 万元时,厂家的利润最大; ···················10 分 4 ? x ? 1) 在 ? 0, a ? 上单调递增, ·················11 分 当 a ? 1 时, y ? 17 ? ( x ?1
(1)由题意知, y ? (4 ? 所以 x ? a 时,函数有最大值,即促销费用投入 a 万元时,厂家的利润最大. ··········12 分 综上,当 a ? 1 时,促销费用投入 1 万元,厂家的利润最大; 当 a ? 1 时,促销费用投入 a 万元,厂家的利润最大. ·················13 分 20. (本小题满分 14 分) 【解析】

x2 y 2 (1)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 a b
7

c 1 ? ?e ? a ? 2 , ? 9 x2 y 2 ?1 2 2 ? ? 1, ? ? 1 . ··············· 4 分 解得 a ? 4, b ? 3 ,所以椭圆 C : ? 2 4b 2 4 3 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ?
(2) (ⅰ)易得 F (1,0) , ··································· 5 分

3 3 9 ; ···· 6 分 2 2 4 ②若直线 l 斜率存在,设 l : y ? k ( x ? 1) , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,则 ? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 消去 y 得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ············· 7 分 y2 ? ? 1 ? 3 ?4 8k 2 4k 2 ? 12 ∴ x1 ? x 2 ? , x1 ? x 2 ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ······················· 8 分 ?9 ∴ FM ? FN ? ( x1 ? 1, y1 ) ? ( x2 ? 1, y 2 ) ? (1 ? k 2 )[x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1] = 1 4? 1 ? k 2 ···· 9 分 1 1 9 2 ? 1 ∴3 ? 4 ? ? 4 ∴ ? 3 ? FM ? FN ? ? ∵k ? 0 ∴0 ? 2 2 4 1? k 1? k 9 综上, FM ? FN 的取值范围为 [?3, ? ] . ······················10 分 4 x1 ? x2 4k 2 ?3k ? 2 , yQ ? k ( xQ ? 1) ? 2 (ⅱ)线段 MN 的中点为 Q, 则由(ⅰ)可得,xQ ? , 2 4k ? 3 4k ? 3
①若直线 l 斜率不存在,则 l : x ? 1 ,此时 M (1, ) , N (1,? ) , FM ? FN = ? ···········································11 分

3 3 x , ··········12 分 ,所以直线 OT 的方程为: y ? ? 4k xQ 4k 3 ? ?0 3 1 k 从而 T (4, ? ) ,此时 TF 的斜率 kTF ? ? ? , ···················13 分 k 4 ?1 k 1 所以 kTF ? k MN ? ? ? k ? ?1 ,所以 TF⊥MN. ························14 分 k
所以直线 OT 的斜率 k ' ?

yQ

??

21. (本小题满分 14 分) 【解析】

x?a ? ln x (1)依题意, f '( x ) ? x , ··························· 1 分 ( x ? a)2 1 1? a 1 ? 1 ,解得 a ? 0 , ? 所以 f '(1) ? ,又由切线方程可得 f '(1) ? 1 ,即 2 1? a (1 ? a) 1 ? a ln x 1 ? ln x 此时 f ( x) ? , f '( x) ? , ·························· 3 分 x x2
8

令 f '( x) ? 0 , 所以 1 ? ln x ? 0 , 解得 0 ? x ? e ; 令 f (' )x 0 所以 1 ? ln x ? 0 , 解得 x ? e , ? , 所以 f ( x ) 的增区间为: (0, e) ,减区间为: (e, ??) . ···················· 5 分 (2) 解法一: 由(1)知,函数 f ( x ) 在 (e, ??) 上单调递减,所以 f (2014) ? f (2015) ,即

ln 2014 ln 2015 ? 2014 2015 ? 2015ln 2014 ? 2014 ln 2015 ? ln 20142015 ? ln 20152014 ? 20142015 ? 20152014
··········································· 9 分 解法二:
2014

20152014 ? 2015 ? 1 ,因为 ?? ? ? 2015 2014 2014 ? 2014 ? 2014 2014 1 ? ? 2015 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2014 ? ? 2014 ? 1 2 1 3 1 2014 2 3 2014 ? 1 ? 1 ? C2014 ( ) ? C2014 ( ) ? ? ? C2014 ( ) 2014 2014 2014 1 1 1 ? 2 ? ? ??? 2! 3! 2014! 1 1 1 ? 2? ? ??? 1? 2 2 ? 3 2013 ? 2014 1 1 1 1 1 ? 2 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 2 3 2013 2014 1 ? 3? 2014 ?3 20152014 3 ? ? 1 ,所以 20152014 ? 20142015 . ··················· 9 分 所以 2015 2014 2014 ln x 2 ln x 2 (3) 若 kx ? f ( x) ? 2 对 任 意 x ? 0 恒 成 立 , 则 k ? 2 ? , 记 g ( x) ? 2 ? , 只 需 x x x x k ? g ( x)ma x. 1 ? 2 ln x 2 1 ? 2 x ? 2 ln x ? 2 ? 又 g '( x) ? , ························10 分 x3 x x3 2 记 h( x) ? 1 ? 2 x ? 2ln x ,则 h '( x ) ? ?2 ? ? 0 ,所以 h( x) 在 (0, ??) 上单调递减. x 2 2 3 2 又 h(1) ? ?1 ? 0 , h( ) ? 1 ? 2 ? 2ln ? 1 ? 2 ? ln 2 ? 1 ? ? ln 2 ? ln ?0, 2 2 2 e 2 所以存在唯一 x0 ? ( ,1) ,使得 h( x0 ) ? 0 ,即 1 ? 2 x0 ? 2ln x0 ? 0 , ············11 分 2 当 x ? 0 时, h( x), g '( x), g ( x) 的变化情况如下: x (0, x0 ) x0 ( x0 , ??)
9

↗ 极大值 ↘ ···········································12 分

h( x ) g '( x ) g ( x)

+ +

0 0

- -

2 x0 ? ln x0 ,又因为 1 ? 2 x0 ? 2ln x0 ? 0 ,所以 2 x0 ? 2ln x0 ? 1 , 2 x0 (2 x0 ? 2ln x0 ) ? 2 x0 1 ? 2 x0 1 1 2 1 所以 g ( x0 ) ? ? ? ?( ) ? , 2 2 2 x0 2 x0 2 x0 x0
所以 g ( x)max ? g ( x0 ) ? 因为 x0 ? (

3 2 1 ,1) ,所以 ? (1, 2) ,所以 ? g ( x0 ) ? 1 ? 2 , ··············13 分 2 2 x0

又 g ( x)max ? g (1) ? 2 ,所以 2 ? g ( x0 ) ? 1 ? 2 , 因为 k ? g ( x)max ,即 k ? g ( x0 ) ,且 k∈Z,故 k 的最小整数值为 3. 所以存在最小整数 k ? 3 ,使得 kx ? f ( x) ? 2 对任意 x ? 0 恒成立. ··············14 分

10


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