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3[1].2.2复数代数形式的乘除运算【人教A版】


知识回顾

已知两复数z1=a+bi, z2=c+di(a,b,c,d是实数)

(1)加法法则:z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则:z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).

(a+bi )±(c+di) = (a±c)

+ (b±d)i

1.复数加法运算的几何意义?

z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
符合向量加法 的平行四边形 法则.

y
Z2(c,d)

Z(a+c,b+d)

Z1(a,b)

o

x

2.复数减法运算的几何意义? 复数z2-z1
符合向量减 法的三角形 法则.

向量Z1Z2
Z2(c,d)

y

Z1(a,b)

o

x

1.复数的乘法法则:

(a ? bi )(c ? di ) ? ac ? adi ? bci ? bdi
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数;

2

? ac ? bd ) ? (bc ? ad )i (
(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的,只是在 运算过程中把 i 2换成-1,然后实、虚部分别合并. (3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律

即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有

z1 ? z2 ? z2 ? z1

,

( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ),

z1 ( z2 ? z3 ) ? z1 z2 ? z1 z3 .

例1.计算(-2-i )(3-2i)(-1+3i)

解:原式= (?6 ? 4i ? 3i ? 2i )(?1 ? 3i ) = (?8 ? i )(?1 ? 3i ) 2 = 8 ? 24i ? i ? 3i = 5 ? 25 i
2

复数的乘法与多项式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.

例2:计算 1 (a ? bi)(a ? bi) ()

? a ? abi ? abi ? b i 2 2 ? a ?b
2

2 2

思考:在复数集C内,你能将

x 2 ? y 2 分解因式吗?

2.共轭复数:实部相等,虚部互为相反数的两个复数 叫做互为共轭复数.
复数z=a+bi的共轭复数记作 z, 记 z ? a ? bi

思考:设z=a+bi (a,b∈R ),那么 z ? z ? a 2 ? b2 z ? z ?2a z ? z ?2bi 另外不难证明: z1 ? z2 ? z1 ? z2 , z1 ? z2 ? z1 ? z2

(2) ? bi) ? a ? 2abi ? b i (a
2
2

2 2

? a ? 2abi ? b 2 2 ? a ? b ? 2abi
2
2 2

2

(a ? bi) ? (a ? b ) ? 2abi
2

(3) ? 2i)(3 ? 4i)(?2 ? i) (1

? (11 ? 2i)(?2 ? i) ? ?20 ? 15i

练习: 1.计算 (?2 ? 3i )(?2 ? 3i ) = 2.已知 (3 ? i ) z ? 10 ,则 z ?

13

3-i

3.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都 乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母 实数化).即

a ? bi (a ? bi ) ? (c ? di ) ? c ? di (a ? bi)(c ? di) (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ? ? c2 ? d 2 (c ? di)(c ? di) ac ? bd bc ? ad ? 2 ? 2 i (c ? di ? 0). 2 2 c ?d c ?d
分母实数化

例3.计算 (1 ? 2i ) ? (3 ? 4i )
1 ? 2i (1 ? 2i)(3 ? 4i) 解: (1 ? 2i ) ? (3 ? 4i ) ? ? 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i)
3 ? 8 ? 6 i ? 4 i ? 5 ? 10 i 1 2 ? ? ?? ? i 2 2 3 ?4 25 5 5
先写成分式形式

然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘 以分母的共轭复数)
化简成代数形式就得结果.

练习.计算 ⑴ (7 ? i ) ? (3 ? 4i )
1? i 2 ) ⑵( 1? i 1 1 ? ⑶ 3 ? 2i 3 ? 2 i

1-i

-1

4 i 13

注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、 化简等.

下列命题中正确的是 (1)如果Z1 ? Z 2是实数,则Z1、Z 2互为共轭复数 (2)纯虚数Z的共轭复数是 ? Z。 (3)两个纯虚数的差还是纯虚数 (4)两个虚数的差还是虚数。

(2)

下列命题中的真命题为: ( A)若Z1 ? Z 2 ? 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 ( B)若Z1 ? Z 2 ? 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 (C )若Z1 ? Z 2 ? 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 ( D)若Z1 ? Z 2 ? 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。

D

练 习
(1)已知 z



z1 z1 ? z2 , z1 ? z2 , z1 ? z2 , z2

1

? 3 ? 2i , z2 ? 1 ? 4i

(2)已知 求

z1 ? 1 ? i , z2 ? 2 ? i

z1 4 2 , z1 , ( z1 ? z2 ) z2

(3) (1 ? i) ? ?2i;
2

1 1? i ? ? i; ? i; i 1? i

1? i ? ? i. 1? i

(6)一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.)
__ 1 3 3 2 2 ②设 ? ? ? ? i,则有: ? ? 1;? ? ? ;1 ? ? ? ? ? 0. 2 2

事实上,? 与 ? 统称为1的立方虚根,而且对于?,也 有类似于上面的三个等式.
1 1? i 1? i ? i; ? ?i. ③ (1 ? i ) ? ?2i; ? ? i; i 1? i 1? i
2

__

__





求满足下列条件的复数z:
(1)z+(3-4i)=1; (2)(3+i)z=4+2i

实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
mzn=zm+n, z
m)n=zmn, (z

(z1z2)n=z1nz2n.

5.设 z 为复数,且 | z |?| z ? 1|? 1 ,求 | z ? 1| 的值.
解:设 z ? a ? bi (a,b ? R) ? z ? 1 ? (a ? 1) ? bi,且 | z |?| z ? 1|? 1
1 ? 2 2 ? a 2 ? b2 ? 1 ?a ? b ? 1 ? ? ?a ? ? 2 ?? 2 2 解方程组,得 ? ?? ? 2 2 a ? b ? 2a ? 0 ? ? (a ? 1) ? b ? 1 ? ?b2 ? 3 ? ? ? 4

1 2 3 ?| z ? 1|?| (a ? 1) ? bi | ? (a ? 1) ? b ? (? ? 1) ? ? 3 2 4
2 2

注:一般地,欲求一个复数,通常先设出复数的代数 形式 a+bi(a,b∈R) ,而后利用已知条件列出关于 a,b 的方程组,求解出 a,b,也即求得了这个复数,在这里, 方程的思想方法得到了充分运用. 另外,本题还可用几何知识来分析.


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