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空间向量与立体几何测试卷


空间向量与立体几何测试卷
一、选择题: 1.在下列命题中:①若 a 、 b 共线,则 a 、 b 所在的直线平行;②若 a 、 b 所在的直线是异 面直线,则 a 、 b 一定不共面;③若 a 、 b 、 c 三向量两两共面,则 a 、 b 、 c 三向量一 定也共面;④已知三向量 a 、 b 、 c ,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为
p ? xa ? yb ? zc .其中正确命题的个数为 (

) D.3 是 ( )

C.2 ???? ???? ? ? 2.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 A 、 D1C 、 A1C1 A.有相同起点的向量 C.共面向量 B.等长向量 D.不共面向量

A.0

B.1

3.已知 a =(2,-1,3) b =(-1,4,-2) c =(7,5,λ ) , , ,若 a 、 b 、 c 三向量共 面,则实数λ 等于( A. ) B.

62 7

63 7

C.

64 7
????

D.

65 7


4.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 CA ? a, CB ? b, CC1 ? c , 则 A1 B ? ( A. a + b - c B. a - b + c C.- a + b + c

D.- a + b - c

5.已知 a + b + c = 0 ,| a |=2,| b |=3,| c |= 19 ,则向量 a 与 b 之间的夹角 ? a, b ? 为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.以上都不对

6. 已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ,B(4,-3,7) ,C(0,5,1) ,则 BC 边上的 中线长为( A.2 ) B.3 C.4 D.5 )

7.已知 a ? 3i ? 2 j ? k , b ? i ? j ? 2k , 则5a与3b 的数量积等于( A.-15 B.-5 C.-3 D.-1

8.已知 OA ? (1,2,3) , OB ? (2,1,2) , OP ? (1,1,2) ,点 Q 在直线 OP 上运动,则当 QA ? QB 取得最小值时,点 Q 的坐标为 ( A. ( , , ) ) C. ( , , )

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

1 3 1 2 4 3

B. ( , , )

1 2 3 2 3 4

4 4 8 3 3 3

D. ( , , )

4 4 7 3 3 3

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

二、填空题: 9.若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,则 m+n= .

10.已知向量 a ? (3,5,1) , b ? (2,2,3) , c ? (4,?1,?3) , 则向量 2a ? 3b ? 4c 的坐标为

?

?

?

?

?

?

.

11.在空间四边形 ABCD 中,AC 和 BD 为对角线, G 为△ABC 的重心,E 是 BD 上一点,BE=3ED, ??? ???? ???? ? ??? ? 以{ AB , AC , AD }为基底,则 GE =



12.设| m |=1,| n |=2,2 m + n 与 m -3 n 垂直, a =4 m - n ,
b =7 m +2 n ,

则< a , b >=



13.在空间直角坐标系 O ? xyz 中,点 P(2,3,4)在平面 xOy 内的射影的坐标为 点 P(2,3,4)关于平面 xOy 的对称点的坐标为 ;

;

14. 已知空间四边形 OABC,点 M,N 分别是边 OA,BC 的中点,且 OA= a ,OB= b ,OC= c , 用 a, b, c 表示 MN= .

三、解答题: 15.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

E 是 DC 的中点,取如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出 A、B1、E、D1 的坐标; (2)求 AB1 与 D1E 所成的角的余弦值.

16. 已知 A(3,3,1)、B(1,0,5),求: ⑴线段 AB 的中点坐标和长度; ⑵到 A、B 两点距离相等的点 P( x, y, z ) 的坐标 x、y、z 满足的条件.

17.用向量法证明:如果两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行. 已知:直线 OA⊥平面α ,直线 BD⊥平面α ,O、B 为垂足. 求证:OA//BD.

18. (13 分) )已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5) ⑴求以向量 AB, AC 为一组邻边的平行四边形的面积 S; ⑵若向量 a 分别与向量 AB, AC 垂直,且|a|= 3 ,求向量 a 的坐标。

19.如图,已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:EF⊥CD; (3)若 ?PDA=45?,求 EF 与平面 ABCD 所成的角的大小.

20.如图正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中,E、F、G 分别是 B1B 、AB、BC 的中点. (1)证明: D1F ⊥EG; (2)证明: D1F ⊥平面 AEG; (3)求 cos ? AE , D1 B ?

参考答案 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D D C B A C 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分) 3 1 1 3 9. 10. (16,0, ?19) 11. ? AB ? AC ? AD 2 12 3 4 1 13. (2,3,0);(2,3,-4) 14. (b ? c ? a )
2

12.0°

三、解答题(本大题共 6 题,共 80 分) 15..(13 分) 解:(1) A(2, 2, 0),B1(2, 0, 2),E(0, 1, 0),D1(0, 2, 2) z → → (2)∵ AB1 =(0, -2, 2), ED1 =(0, 1, 2) P → → → → ∴ | AB1 |=2 2 ,| ED1 |= 5 , AB1 · ED1 =0-2+4=2, → → AB1 · ED1 2 10 → → ∴ cos ? AB1 , ED1 ? = = = . A → → 10 2 2× 5 | AB1 |·| ED1 | 10 . 10 16. (13 分)解:⑴设 M ( x, y, z ) 是线段 AB 的中点,则 ∴ AB1 与 ED1 所成的角的余弦值为
E B

F D y C

x

OM ?

1 1 3 (OA ? OB ) = [(3,3,1)+(1,0,5)]=(2, ,3). 2 2 2

∴线段 AB 的中点坐标是

3 2 2 2 (2, ,3). d A、B ? (1 ? 3) ? (0 ? 3) ? (5 ? 1) ? 29 . 2 ⑵点 P( x, y, z ) 到 A、B 两点距离相等,则
( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? ( z ? 1) 2 = ( x ? 1) 2 ? ( y ? 0) 2 ? ( z ? 5) 2 . 化简,得 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0 . 即到 A、B 两点距离相等的点 P( x, y, z ) 的坐标 x、y、z 满足的条件是 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0 . 17. (13 分)证明:以点 O 为原点,以射线 OA 为非负 z 轴,建立空间直角坐标系 O-xyz,
i,j,k 为沿 x 轴,y 轴,z 轴的坐标向量,且设 BD = ( x, y, z ) .
∵BD⊥α ,∴ BD ⊥i, BD ⊥j,∴ BD ·i= ( x, y, z ) ·(1,0,0)=x=0,

BD ·j= ( x, y, z) ·(0,1,0)=y=0,∴ BD =(0,0,z).∴ BD =zk.
即 BD //k.由已知 O、B 为两个不同的点,∴OA//BD. 18. (13 分)解: ⑴? AB ? (?2,?1,3), AC ? (1,?3,2),? cos ?BAC ? AB ? AC ? 1 | AB || AC | 2 ∴∠BAC=60°,? S ?| AB || AC | sin 60 ? 7 3
?

⑵设 a=(x,y,z),则 a ? AB ? ?2x ? y ? 3z ? 0,

a ? AC ? x ? 3y ? 2z ? 0, | a |? 3 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3
解得 x=y=z=1 或 x=y=z=-1,∴a=(1,1,1), a=(-1,-1,-1). 19.(14 分) 证:如图,建立空间直角坐标系 A-xyz,设 AB=2a,

BC=2b,PA=2c,则:A(0, 0, 0),B(2a, 0, 0),C(2a, 2b, 0), D(0, 2b, 0),P(0, 0, 2c ∵ E 为 AB 的中点,F 为 PC 的中点 ∴ E (a, 0, 0),F (a, b, c)
→ → → (1)∵ EF =(0, b, c), AP =(0, 0, 2c), AD =(0, 2b, 0) → 1 → → → → → ∴ EF = ( AP + AD ) ∴ EF 与 AP 、 AD 共面 又∵ E ? 平面 PAD ∴ EF∥平面 2 PAD. → → → (2) ∵ CD =(-2a, 0, 0 )∴ CD · EF =(-2a, 0, 0)·(0, b, c)=0 ∴ CD⊥ EF. → (3)若 ?PDA=45?,则有 2b=2c,即 b=c, ∴ EF =(0, b, b), 2 2b 2 → → → → → AP =(0, 0, 2b) ∴ cos ? EF , AP ?= = ∴ ? EF , AP ?= 45? 2 2b· 2b → → →→ ∵ AP ⊥平面 AC, AP 是平面 AC 的法向量∴ EF 与平面 AC 所成的角为: ∴ 90?-? EF ,AP ?= 45?. 20. (14 分)解:以 D 为原点,DA、DC、 DA 所在的直线分别为 x、y、z 轴, 1 建立空间直角坐标系,设正方体 AC1 棱长为 a,则 D(0,0,0) ,

A(a,0,0) B(a,a,0) D1 (0,0,a) E(a,a, , , ,
0) . (1) D1F ? (a , a ,-a) EG ? ( ? a ,0, ? a ) , , 2 2 2

a a a ) F(a, ,0) G( ,a, , , 2 2 2

a a a D1 F ? EG ? a (? ) ? ? 0 ? (?a)( ? ) ? 0 , ∴ D1 F ? EG . 2 2 2 a a a) (2) AE ? (0 ,a, ,∴ D1 F ? AE ? a ? 0 ? ? a ? a ? ? 0 . 2 2 2



EG ? AE ? E ,∴ D1F ? 平面 AEG. a (3)由 AE ? (0 ,a, ) D1B =(a,a, ? a ) , 2

??? ???? ? ? ??? ???? ? ? AE ? D1 B cos? AE , D1 B? ? ??? ???? ? ? ? AE ? D1 B a2 ? 0 ? a2 ? a 4
2

D1 F ? AE ∵

1 2 a 2 a 2 ? a 2 ? (? a ) 2

?

5 15


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