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响水中学2013-2014学年高二上学期数学学案:《第35课时 基本不等式》


【基础训练】

4 的最小值为____________。 x 1 2.函数 y ? x 2 ? 2 ? 1 的值域为______________________。 x ?1
1. x ? 0, 则 x ? 3.已知 log 2 a ? log 2 b ? 1 ,则 3a ? 9b 的最小值为 4.若 a, b ? R , ab ? ?a ? b ?

? 1 ,则 a ? b 的最小值是_______; ab 的取值范围是_______
?

5.已知 a>0,b>0,则

1 1 ? ? 2 ab 的最小值是_____________. a b
2

6.若实数 x, y 满足 x

? y 2 ? xy ? 1 ,则 x ? y 的最大值是



【重点讲解】 1. 基本不等式的定理表达式为. 2.用基本不等式求最值的三个必要条件为 3. 基本不等式 ab ? .

a?b 的几何意义为 2
a2 ? b2 a ? b b a ? ( a, b ? R ) . ? ? 2(ab ? 0) ;(3) 2 2 a b

4. 与基本不等式相关的重要不等式 (1) a2+b2≥2ab(a,b∈R);(2) 5. 利用基本不等式 ab ?

a?b a>0,b>0)求函数的最值其两个等价变形为: 2
(2)._____________________________________

(1) _______________________________ 【例题分析】 例 1. (1)当 x ?

3 8 时,求函数 y ? x ? 的最大值 2 2x ? 3

(2)当 0 ? x ?

1 1 时,求函数 y ? x(1 ? 2 x) 的最大值 2 2

变式(1) 已知 x ?

5 1 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 的最大值; 4 4x ? 5
1

(2)求函数 y ?

sin x 2 ? (0 ? x ? ?) 的最小值 2 sin x

例 2. (1)求函数 y ?

x2 (x>1)的最小值; x ?1

[

(2)已知 a ? 0 ,求函数 y ?

x2 ? a ?1 x2 ? a

的最小值.

例 3.已知 x ? 0, y ? 0 且 x ? 2 y ? 1 . (1)求 xy 的最大值,及 xy 取最大值时的 x, y 的值; (2)求

1 1 ? 的最小值. x y

变式 函数 y ? log a ( x ? 3) ? 1(a ? 0, a ? 1) 的图像恒过定点 A,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上, 其中 mn ? 0 .求

1 2 ? 的最小值. m n

例 4.已知 x, y, z ? R ? , x ? 2 y ? 3z ? 0 ,求

y2 的最小值; xz

2

变式: 设正实数 x, y, z , 满足 x 2 ? 3xy ? 4 y 2 ? z ? 0 , 则当 的最大值。

z 取得最小值时, 求 x ? 2y ? z xy

例 5.已知 a ? b ? c ,求证:

1 1 1 ? ? a ?b b?c a ?c

变式:若 a ? b ? c ,求使

1 1 k 恒成立的 k 的最大值. ? ? a ?b b?c a ?c

【巩固迁移】

4 9 的最小值是__________. ? 2 cos x sin 2 x 1 2.设 0 ? x ? 1 ,则 a ? 2 x, b ? 1 ? x, c ? 中最大的一个是__________________. 1? x
1.函数 y ? 3. 已知两个正数 x, y 满足 x ? y ? 4 , 则使不等式 ___________.
? 4.已知 x, y ? R ,则使 x ?

1 4 ? ? m 恒成立的实数 m 的取值范围 x y

y ? t x ? y 恒成立的实数 t 的取值范围是__________.

5.已知 a, b ? ?0,?? ?, a ?
2

b2 ? 1 ,则 a 1 ? b 2 的最大值为_________________. 2
3

6.若实数 a, b, c满足2

a

? 2b ? 2a ?b , 2a ? 2b ? 2c ? 2a ?b?c , 则c 的最大值是

7.设 a ? b ? 0, 求 a ?
2

1 1 的最小值。 ? ab a(a ? b)

4


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