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2005年全国高中数学联赛


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2 6  

中 等 数 学 

2 0 0 5年全 国高 中数 学联赛  




选择题 ( 每小题 6 分, 共3 6 分)  
+V 厂   ≥  

表不 的曲线 是 (  



) .  
D 

1 . 使关于  的不等式  有解的实数 k的最大值是(  
( A) √ 6一 √ 3   ( C ) √ 6+ √ 3  

( A ) 焦点在  轴上 的椭圆   ( B ) 焦点在  轴上的双曲线  ) .   ( c ) 焦点在 Y 轴上的椭 圆   ( D ) 焦点在 Y轴上的双曲线  6 . 记集 合 T={ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } , M=  
C 

( B ) √ 3   ( D) √ 6  

2 . 空 间 四点 A、  、 G、 D满足 l   A B   l =3 ,   l   B C   l =7 , l   C D   l =1 1 , l   D A   l =9 . 则 AC? B D  

{ 等 +  +   0 , 3 +   6   T ,   = ? , 2 , 3 , 4 ) . 将  
M 中的元 素按从 大 到小 的顺序 排列 , 则 第  20 0 5个数 是 (   ) .  


的取值 (  

) .  
( B ) 有二 个 

( A) 只有一 个 

( C ) 有 四个 

( D ) 有 无穷 多个 

3 . △ A B C 内接 于 单 位 圆 , 三 个 内 角 A、  


G的平 分线 延 长后 分别 交此 圆于 点 A . 、  
G1 . 则 
AA。 C O S  A + 胎 1   C O S   B
— — —  

c A ) 号 + 事 +  + 事   ( B ) 号 +   5 +   6 +   2  
( c )   +   1+   0+   4   ( D)   +   1+   0+   3  

l、

+ CC。 c 。 s  
— ~  

的值为(  
( A) 2  

) .  
( B ) 4   ( C ) 6   ( 0 ) 8  

二、 填 空题 ( 每小 题 9分 , 共 5 4分 )   7 . 将关 于  的多 项 式  f (  ) =1 一  +   一   +… 一   +  2 o  

4 . 如图 1 , A B C D—A   B   C   D   为正方体 . 任  作 平 面 a 与 对 角 线 

表为关于 Y的多项式 

A G   垂直, 使得 a与正

方 体 的 每 个 面 都 有 公  广  
面 多边 形 的面 积 为 | s ,   周 长为 Z . 则(   ) .  

/r— 

g( Y ) =口 0 +口 l   Y+… +0 , 2 0 Y 2 0 ,  

I  

其 中 Y=   一4 . 贝 0口 0+ 口 l+ … + 口 2 0=   8 . 已知 f(  ) 是 定义在 ( O ,+∞) 上 的 减  函数 . 若f ( 2 a  +口+1 ) < f( 3 a  一4 a+1 ) 成 

共 点, 记 这 样 得 到 的 截   I , 』  …} 一   c  
———  图1  

( A ) 5为定值 , z 不为定值 
( B ) 5不为定值 , z 为定值  ( c ) 5与 z 均为定值 

立, 则 口的取值范围是— — .   9 . 设口 、  、 ) , 满足 0<口<   <) , < 2 r t . 若  对于任意 ∈R , C O S(  +口 ) +1 3 0 S (   +口 ) +  
C O S(   +) , ) =0 , 贝 0   7一口=  
2  

( D ) 5与 z 均不为定值 
5 ? 方程 
+— 。   , _—一 :1  
S 1 n   三一 S    j m  

.  

c o s 42— — C O S 43  

1 0 . 如图 2 , 四面体 D A B C的体积为  , 且 

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2 0 0 5年 第 1 2期 

2 7  

满 足  A C B =4 5 。 ,  
AD +   +   : 3.  
C 

又 以点 A为 圆心 、 A C  

为半 径作 圆分 别交 线  段A B于 点 D, 交 直线  于点  、 ,. 证明 : 直  线 D E、 D F分 别 通 过 

√2  

则 C D=


. 


1 1 . 若 正 方 形  A B C D 的 一 条 边 在 

图2  

△A B C 的 内 心 与 一 

图3  

直 线 Y=2 x一1 7上 , 另 外 两 个 顶 点 在 抛 物线 

个旁 心 .   ( 注: 与三 角形 的一 边 及另 两边 的延 长 线 

Y=  

上, 则 该 正 方 形 面 积 的 最 小 值 为 

均相切的圆称 为三 角形 的旁切 圆, 旁切圆的 
l 2 . 如果 自然 数 a的 各位 数 字 之 和 等 于  7 , 那么 , 称 a为 “ 吉祥数 ” . 将 所 有 吉 祥 数 从 

圆心称为旁心 . )   二、 ( 5 0分 ) 设 正 数 a、 b 、 c 、  、 Y 、   满 足 
c y+k =n , a z+   =b ,   +a y=c . 求 函数 

小到 大 排 成 一 列 a 。 , a : , a   , …, 若 a  =  
2   0 0 5 , 则 a 5  =—
.  


三、 解答题( 每小题 2 0 分, 共6 0 分)  
l 3 . 数列 { a   } 满 足 
1 ,   :   , n∈N.  

… Y  ) =   +   + 南 
的最小 值 .  

三、 ( 5 0分 ) 对 每个 正 整数 n, 定 义 函数  r   0 ,   当 n为平方 数 ;  

证明: ( 1 ) 对任意 n ∈N, a  为正 整数 ;   ( 2 ) 对 任 意 n∈ N, a i r a   + 。一l为 完 全  平 方数 .   1 4 . 将 编号 为 1 , 2 , …, 9的九 个小 球 随机 

i [  】 ' 当 n 不 为 平 方 数 .  
其 中[  ] 表示不超过  的最 大整数 , {  } =  


[   ] . 试 求: ∑J r (   ) 的 值.  
k= 1  

放置在圆周 的九个等分 点上 , 每个等分点上 
各 有一个 小 球 . 设 圆周 上 所 有相 邻 两 球 号 码 

参 考 答 案 


之差的绝对值之和为 s . 求使 s达到最小值  的放法的概率 . ( 注: 如果某种放法 , 经旋转或 
镜 面反 射后 可 与 另 一种 放 法 重 合 , 则 认 为 是  相 同的放法 )  



1. U.  

令 v :  

+  

, 3 ≤ ≤6 , 则 

Y   ≤2 [ (  一3 ) +( 6 一  ) ] =6 .   所以 , 0 <v ≤   . 故实数 k的最大值 为  .  
2. A.  

l 5 . 过抛物线 Y =   上的一点 A ( 1 , 1 ) 作  抛物 线 的切 线 , 分别 交  轴 于点 D, 交 Y轴于  点 B . 点 c在抛物线上, 点 E在线段 A C上 ,   满足  =  。 , 点 F在线段 B c上, 满足  =  


注意至 4   3  +1 1   :1 3 0:7  + 9   , 由于 A B+B C+  
C D +D A: O , 则  D A  =I D A  :( A B +B C +印 )  


A B   一B C 2 +C D   +2 ( A B +B C) ? ( B C+c o) ,  

且  +  : =1 , 线段 C D 与 F交 于 点 P.  



2 AC ? B D :A D +BC  一 A B 一 C D =0 .  

当点 c在 抛 物 线 上 移 动 时 , 求 点 P 的轨 迹 
方程 .  

故A C? l i D只有一 个值 0  
3 . A.  

如图4 , 联结 B A 。 , 则 

加 试 题 


A A . = 2 s i n ( 日 +  )  
os



( 5 0分 ) 如图 3 , 在△ A B C中, 设 A B  

>A C , 过点  作△ A B C的外接 圆的切线 z ,  

( 导 ~ 号 ) .  

图 4  

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2 8  

中 等 数 学 

故A A   。 ∞  


< 0 , 于是, 有c 0 s √   一c 0 s , / 5> 0 , 故 方程 表示 的 曲线 
是椭 圆 . 而 

= c0 s

2 c o s ( 导 一 詈 ) ? c o s   ( 号 一 c ) + c 0 s ( 号 一 曰 )  
,  

( s i n   一 s i n , / 5 ) 一 ( c 0 s   一 c 0 s , / 5 )  


2 , / 2 s i n   . s i n (   + 号 ) . ①  

=s i n   C+ s i n   B.  

同理 , B B 1   c 。 s   B:s i n   A+s i n   c
CC1   c 。 s  C

因 为 一 号 <   < 0 , 萼 <   + 号 <   ,  

:s i n   A +s i n 曰.  

所 以 , s i n   … 0   i n (   + 号 ) > 0 .  
故式① <0 .  
因此 , s i n   一s i n , / X<C O S   一c 0 8 , / 5 .  

则 A A   c 璐  + B B   c 璐 导 + C C   c 硝 导  
=2 ( s i n   A+s i n   B+s i n   C) .  
d R 

则 曲线表 示焦 点在 Y轴上 的椭 圆 .  
6 . C.  

如图 5 , 将 正 方 体 切 
去两 个 正 三 棱 锥 A一   B D与 C   一D   B — C后 . 得 A  

用[ o   o   … 吼]  表 示 J } i 位 P进 制数 , 将 集 合 M  中的每个数乘 以 7 4 , 得  ^  ={ n 1 × 7 3 +n 2 × 7   + a 3 × 7 +n 4 I   a   ∈T , i = 1 , 2 , 3 , 4  


到一个 以平 行 平 面 A   B D   与D   B   C为 上 、 下 底 面 的 

{ [ 0 1   0 2   0 3   0 4 ] 7     l 0   ∈T , i =1 , 2 , 3 , 4 } .  

几何 体  ,   的 每 个侧 面  都 是等 腰直 角 三角 形 , 截 

A  

B   图5  

M  中的最 大数为 [ 6   6 6 6 ]  =[ 2   4 o o ]   在 十进制数中 , 从2   4 0 0起按从大 到小顺 序排列 

面多边形  的每 一条 边分 别与 l , 的底面 上 的一 条  边平行 . 将 y的侧 面沿 棱 A   B   剪开, 展平 在一 张 平  面上 , 得到一个 C : T A   B   B   A   , 而 多边 形  的周 界 展 

的第 2   0 0 5 个数是 2   4 0 0— 2   0 0 4 =3 9 6 . 而[ 3 %1  :  
[ 1   1 0 4 ] , , 将 此数 除以 7 4 , 便得 g 中的数 为 
1   】 0   4  

开后 便成为一条与 A   A   平行的线段( 如图6中  
E   E   ) . 显然 , E   El :A   A   , 故l 为定值 .  
Bt   C   D’   B  
二  .  

由题设知 , 厂 (  ) 的表 达式 中 的各 项构成 首项 为  1 、 公 比为 一   的等 比数列 .  

A  

B  

D  图 6  

Al  

由等 比数列 的求和公式得 
f ( x ) =   :   .  

当E   位于 A   B   中点时 , 多边 形  为 正六边 形 ,   而 当点 E   移至点 A   处时 ,   为正 三角形 . 易知, 周长  为定 值 2 的正 六 边形 与 正三 角形 面积 分 别 为  2  

令  =y+4 , 得 
取 Y=1 , 有  a o +   … 

) =  

.  



/ - J   . 2  ̄  , ,故 3 6
5. C.  

=  

) =  

.  

. s不为定值 .  
8 . 0 <0 <— 1或 1   <0< 5 .  

由  +  >   , 有 0 < 号一  <  一 号< 号, 则  
co s

注意到 

( 号一  ) > c o s (  一 号 ) ,  

2 。 2 + 。   2 ( 。 + { )   +  0 .  
而由 3 a  一 4 a +1 =( 3 a 一1 ) ( 0—1 ) > 0 , 得  0>1 或 0<—   1.  



s i n   > s i n , / 5 .  

又 0 <  < 号, 号<  <   , 知 c o s  > 0 . c o s  

又, (   ) 在( 0 , +   ) 上是减函数, 则有 

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2 0 0 5 年第 1 2期 
2 a  + 口+ 1>3 口  一4口+ 1 .  

2 9   设正 方形 的边 佃 在 直线 Y=2 x一1 7上 , 而位 于  抛物线上 的两个顶 点坐标为 C(  。 , Y 。 ) 、 D(  , Y 2 ) ,  

所以, 口   一5 a<0 . 故0 <口<5 .  

结合 。>1 或 。<了 1


知 0 < 。 < { 或 1 < a < 5 .  

则 C D所在直 线 2 的方程 为 Y =2 x +6 . 将 直线 2 的 
方程与抛物线方程联立 , 得  =2 x+6 . 解得 
2= 1±   .  

9 . 警 .  
设  ) =C O S (  +口 ) + c 0 s(  +卢 ) +c 0 s (  +y ) .  
由  ∈R,   ) -0 , 知 


令正方形边长 为 n , 则 
口   =(  l —  2 )  +( Y l —Y 2 )  


a ) = o , f ( 一y ) =0 ,   一卢 ) =0 ,  

2 0 ( 6 +1 ) .  


① 



C O 8 ( 卢一口 ) +c o s( y一口 ) = 一1 ,  

在Y =2 x一1 7上 任 取 一点 ( 6 ,  5 ) , 它 到 直线 
Y =2 x+6的距离 为 口 , 则  。: 口=—  — —  一 .  
. 

c o s( 口一卢 )  c o s( y一卢 ) = 一1 ,  
c o s( 口一y ) +c o s (   一y ) = 一1 .  

② 

则c 0 s ( 卢一a ) =c 0 s( y 一卢 ) =c 0 s ( y—a ) =一   1 因为 0 <口<   <y<2   , 所 以,  

联立式① 、 ②解 得 6 。 =3 , 6  =6 3 .  

故口   =8 0或 口   =1   2 8 0 .  
1 2. 5 2   0 0 0 .  

卢 …y …y 一 卢 ∈ {  警 ) .  
又 卢一口<y一口, y一卢<y一口 , 贝 0 只有 卢一口=  


易知方程 l +  2+… +机 =m 的满 足 l ≥1 .  

> 0 ( i ≥2 ) 的整数 解的个数为 c : : 1  . 现取 m= 7 ,   可知 ,   位吉祥数 的个数为 P (  ) =  +   .  
因为 2   0 0 5是形如2 n 6 c 的数 中最 小的一 个 吉祥 

y 一 卢 = 争故 y — a = 警 .   另 外 , 当   一   = y 一   = 竽 时 , 有   = a +  ,  
y:   +

数, 且 P( 1 ) =   =1 , P( 2 ) =   =7 , P( 3 ) =   =2 8 ,  

譬 . 对 任 意 的   E R , 记   +   : 0 . 由 于 三 点  

对 于四位 吉祥 数1   n 6 c , 其个数为满 足 n +6 +c = 6 的 
非负整数解个 数 , 即  +   =2 8 个, 所以, 2   0 0 5是第  1 +7+2 8+2 8 +1 =6 5个 吉祥 数 . 故 口 6 5=2   0 0 5 . 从 
而, n= 6 5 , 5 n=3 2 5 .  

( c o s   0 , s  ) , ( c o s (   + 竽 ) , s j n (   + 竽 ) ) ,   ( c o s (   + 竽 ) , s i n (   + 警 ) )  
构成单 位圆  +y 2=1 上正 三角形 的三个顶点 , 其  中心位于原点 , 显然 , 有 

又 P( 4 ) =   =8 4 , P ( 5 ) =c  =2 1 0 , 而 
5  

P (  ) = 3 3 0 ,  

c o s   0 + c o s (   + 竽 ) + c o s (   + 警 ) - o ,  
即  c o s(   +口 ) +c o s (  +  ) +c o s(   +y ) = 0 .  
1 0 .   .  

故从大到小最后六个 五位吉祥数依次 是 
7 0   0 0 0, 6 1   0 0 0, 6 0   1 0 0, 6 0   0 1 0, 6 0   0 0 1 , 5 2   0 0 0.  

因此 , 第3 2 5 个 吉祥数是 5 2   0 0 0 .  
三、 1 3 . ( 1 ) 由题设 得 n 。 =5 , 且{   } 严 格单 调递  增. 将条件式 变形 得 
2 口   + l 一7 口  =  ̄ / 4 5 口  一3 6 .  

由 了 1   A D ? ( 1 8 c ? A C s i n   4 5 。 )  
≥  Ⅲ 体   言,  
-, 1  

两边平方整理得  口   + l 一7 a   口   + l +口  +9= 0 .   由式①又得  ① 



A D? B C ?   ≥1 .  
^ / 2  

又 3 = A D + 曰 c   √ A C 2  V ≥ 3 ^ v 7     A D 。 船 。 4   2 ≥ 3 ,  
等号 当且仅 当 A D=B C=   A C=1 时成立
.  

口   一 7 a   一 l 口   +0 : 一 l + 9 = 0 .  
又 口   + l >口   一 l , 有 口   + l +口   一 l 一7 a  =0 , 得 

② 

① 一②得 ( 口   + l ~口   一 1 ) ( 口   + l +口   一 l 一7 口   ) =0 .  

这时 , A B:1 , A D _ l _ 面A B C, 故D C: , / 5 .  
1 1. 舯 

+ l =7 a   一   一 1 .  

③ 

由式③及 n 。 =1 , n 。 =5可知 , 对任 意 n ∈N, % 

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中 等 数 学  为正整数 .  
故 P是 △ A B C的 重 心 .  

( 2 ) 将式①配 方得 ( n   +  +% )  =9 ( 吼%+  一1 ) ,  

设 P (  , Y ) , C(  。 ,   ) . 因点 C异于 点 A, 则 ‰  ≠1 . 故 重心 P的坐标为 

即  

一 1 : (  

) ‘ .  

④  

由③得 n   + l +n   =9 a  一( n  +n   一 1 ) , 贝 4  
a   + a   E一 ( Ⅱ   +a   一 1 ) E… ;( 一 1 )   ( a l + a c . ) - = O ( m o d   3 ) .  

一  
= 


3  

一   (   ≠   3 ) , , ’  
=  3

1+ 1+  

y= 

因 此,  尝

为整 数,  

所以,  ̄ Z n 吼+  一1 是完 全平 方数 .   1 4 . 将九个编 号不 同的小 球放 在 圆周 的九 个 等  分点上 , 每点放一个 , 相当于九个不 同元素 在 圆周上 
的一个 圆形排列 , 故共 有 8   1种放 法 . 考虑 到翻转 因 

消 去 ‰ , 得 y = 号 ( 3   一 1 )   .   故 所 求 轨 迹 方 程 为 y = 1 ( 3   一 1 )   (   ≠ 了 2 )  



试 

素, 则本质不 同的放法有  o -   种.   下求使 s达 到最小 值的放法数 .  
在圆周上 , 从 1 到 9有优弧 与劣弧两条 路径 , 对 



( 1 ) 先证 D E过△ A B C的 内心 .  

如图 7 , 联结 D E、 D C.  

作  B A C的平分线分 别交  D E、 DC 于 点 , 、G, 联 结 


其中任一条路 径 , 设  ,  : , …,   是依 次排 列 于这 
段弧上的小球号码 , 则 
I   1 一  l   I +I   l一  2   I +… + I   一9I  

由A D =A C, 得 
A G 上D C , I D :I C.  

≥I ( 1 一  1 ) +(   1 一  2 ) +… +(   一9 ) I :8 .  

又点 D、 C、 E 在 o 

上式取等号 当且仅 当 1 <  l <  2<… <‰ <9 ,  
即每一弧段上 的小球编号都 是 由 1 到9 递增排 列 .  
因此 , S   =2 X   8 =1 6 .  

上 , 有  c : +  ̄ D A C :  
-  

I EC .  

则  、 , 、 C、 E四 点共 
圆.  

图7  

由上知 , 当每个弧段上 的球 号 { 1 ,  ,   , …,  ,   9 } 确定之后 , 达 到最小 值的排序方案便唯 一确定 .   在 1 , 2 , …, 9中, 除 1 与 9外 , 剩 下七个 球 号 2 ,   3 , …, 8 , 将它们分为两个子集 , 元素较 少的一个 子集 

故  C I E=   C AE=   A B C.  
而  C I E=2 gI C D, 所以 ,  
1  

共有  + a+ C ; + C ; =   种情况, 每种情况对应着 
圆周上使 s值 达到最 小的唯一 排法 , 即有 利事件 总  数是  种 , 故所求概率 P=   =   .  

I C D =  

ABC .  
1 

故  A 1 C=   I G C+   I C G= 9 0  ̄ +  1   ga B C , 即 
二  1  

AC I=  
二 

ACB .  

1 5 . 易知切线 A 曰的方程为 Y =2 x 一1 , B( O , 一1 ) ,  

因此 , , 为△ A B C的内心 .  

D (  , 0 ) , 故D 是 仙的 中 点 .  
令y =   ' f 1 _   = 1 +  
t l+ t 2= 3.  

( 2 ) 再证 D F过△ A B C的一个 旁心 .  

= 1 + 2 2 , 则 

联结 F D并 延 长 交  A B C的外 角 平 分线 于点  ,   , 联结 , , 1 、   、  . 由( 1 ) 知, 为内心 , 则 有 

因为 c D为△ A B C的中线 , 所以,  
S△   = 2S△∞ = 2S ̄c B o.  

I BI ,=9 0 ̄=  

EDI , .  

故 D、 B、 , l 、 ,四点共圆 .  
又 


而 

=  

=  

=   S A C E P+   S A c . r t ,  

, 1=   B DI 1=9 0  ̄ 一   A DI  
删 +   A 曰 , ,  

9 0  ̄ 一   A C I=  

= 

(  +  ) =   = 志 ,  

故  、 , 、 ,   三点共线 .  

所 以, ,   是△ A B C的 B C边外 的旁 心 .  
二、 由条件得 

所以, y= 妄.  

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2 0 0 5年第 1 2期 
即 

3 1  

故[   , y , z ) ]  =   1
. 

}  

一   2  0 



解得  =  
_  

+ 

注: 若直 接令  =Y=  , 得答 案 _ 厂 (  , Y , z ) ~:  

 

同 
C    一

6  

=  
ac

{ 测 只 给 1 0 ( r  ̄ .  
一   2 a b .  

三、 对任 意 a 、 k ∈N+, 若 k  <0<( k+1 )  , 则 
1 ≤a —k   ≤2  . 设√   =k +0 , 0 <0 <1 , 贝 0  
1   1   1   +  

因= a 、 b 、 c 、  、 Y 、  为正数 , 据 以上 三式 知  +   
b  + c  > a   , a 2+ c 2> b  




2+ b 2> C 2
. 

故以 a 、 b 、 c 为边长可构成一个锐角△ A  , 则 
=C O S   A, Y   C O S   B, z=C O S   C.  

于是 , 问题转化为 : 在锐 角△ A B C中 , 求 函数 
k_   厂 ( C O S   A, C 0 ¥B, C O S   C )  

<  

l-  

∞  A  

c  ’ B  

c   C  

所 以 I [ 志] = [  ] .  
让 a跑遍 区间( k   , ( k +1 )   ) 中的所 6 - f g数 , 则 


的最小值 .   令 H=c o t   A, V =c o t   B, W=c o t   C, 则 H 、  、  ∈   R+. 于是 , 有 删+Y W+W U=1 , 且 
H   +1 =( H +  ) ( H+  ) ,   +1 =( H +V ) ( V +W) ,   W   +1 =( H +  ) ( V +W ) .  
2  


i= 1  

于 是 ,  ‘  
Ⅱ =l  

k   1   i    ̄ - k   =l  i =1  

】 .  



下 面 计 算 莹[  】 .  
画一张 2 k×2 k的表 , 第 i 行中, 凡是 i 的倍 数 

故 

=   u 2 +l  

处 填 写 “ * ’ ’ 号 , 则 这 行 的 “ * ’ ’ 号 共 [  】 个 , 全 表 的  

 ̄ / H  +1  
1 

“ * ” 号 共 莹[  】 个 ; 另 一 方 面 , 按 列 统 计 “ * ” 号  
数, 第  列 中, 若  有 T( j ) 个正因数, 则 该 列 便 有 
(   ) 个“ *” 号, 故全表 的“ *” 号个数 共  (   ) 个.  

, J  



 





一 

3  
2  
=  一 ——====:== ========== ==  

因 此 , 釜 [   ] : ∑ 2 k  ) .  
示例如表 1 .  

 ̄ / ( H+V ) ( H+W )  

萼 (  +  ) .   同 理 ,   ≥ V 2 _ 萼 (   1 +   1 ) ,   ≥ W 2 _ 萼 (   1+   1 ) .  
一 一


1  
1   *  

1  
3  
*  

2  
*  

4  
*  

5  
*  

6  
*  

2   3  
4  

*   *  

*  

*   *  

÷ ( U 3 … + V 3 +   +   )  
 

*  





2 +  2 + 




( “ 2 一删 +   ) +  

5   6  

*   *  
n   2   k  

( V   一优   +W   ) +(   一删 +W   ) ]  
=  

( n+ 1 ) 2  

1 ( 删 + 俐 + 删 ) = { .  

则∑  。 ) = ∑ ∑  (   )  
=n [ T ( 1 ) +T ( 2 ) ] +( n一1 ) [ T ( 3 ) +T ( 4 ) ] +  
… +[ T ( 2 n一1 ) +T ( 2 n ) ] .   ② 
由此 ,  

当且仅 当 “ =V =W时 , 等号成立 . 此时,  
。: 6: c,   : y: z:—  .  

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3 2  

中 等 数 学 

2 0 0 5女子数 学奥林 匹克 
数  及  个互不 相交 的无 限整数集 合 A   ,  
A 2 , …, A  满足 A   U   A 2   U… U   A  =Z, 而 且对 

第 一 天 
1 . 如图 l , 点 P在  △ A BC 的 外 接 圆 上 ,   直线 C P、 A B 相 交 于  点 E, 直线 B P、 A C 相  交 于 点  , 边 A C的 垂  直 平分 线 交 边 A B 于  点. , , 边 A B 的垂 直 平  分线 交边 A C 于 点  .   求证 :   = 丽 M. J E
. 

于每个 A   中的任意两数 b >c , 都有  b — c ≥口   .   ( 袁汉辉 供题)  

第 二 天 
5 . 设 正实数  、 Y满 足  +Y  =   一Y . 求 

证:   + 4 y   <1 .  
图 1  

( 熊

斌 供题)  

6 . 设 正 整数  (  ≥3 ) . 如果 在 平 面上 有  个格点 P   , P 2 , …, P  满 足 : 当I   P   t , j   I 为有 

( 叶中豪 供题 )  

理数时 , 存在 P   , 使得 I   P   P   I 和I   P   I 均为  无理数 ; 当I   P   t , j   I 为无理数时 , 存在 P   , 使得 
I   P   P   I 和I   P   I 均 为有理数 , 那么, 称  是  “ 好数 ” .   ( 1 ) 求 最小 的好 数 ;  

2 . 求方 程 组 

』 【   s   )  ( y + 专 )  
+   +   :l  

的所有实数解 .  

( 朱华伟

供题)  

( 2 ) 问: 2   0 0 5是 否 为好数 ?   ( 冯祖 呜 供题)   7 . 设 m、   是 整数 , m>   ≥2 , S={ 1 , 2 ,  


3 . 是否存在这样 的凸多面 体, 它共 有 8   个顶点 、 1 2条棱和 6个面 , 并且 其 中有 4 个  面, 每两个面都有公共棱?  ( 苏   淳 供题 )   4 . 求出所 有的正实数 口 , 使 得存在正 整 


m} , T= { 口   , 口   , …,   } 是 5的 一 个 子 

集. 已知  中的任两个数都不能 同时整除 5  
k:1 5  +r( 1 6≤ r ≤3 0 ) .  

∑  ) : ∑( 1 6 一   ) [ T ( 2 k 一 1 ) + 7 T ( 2   ) ] . ③  
=l   k= 1  

则 

一1 5-、  

一1 5 =  

,  

记 0   :T ( 2 k一1 ) +T ( 2 k ) , k=1 , 2 , …, 1 5 , 易得 

 ̄ /1   + r+ l 5  

。  的取值情况如 表 2 .  
表 2  

可 <  
1≤ 3 0
< 一  

<一 3 0’  
一 < 一

31 < 2.  

{  ̄ /1 5  +r }  

故 [   】 . 1 '  
2 5 6   1 5  

。 。 , 2 5 5 } .   ⑤  

因 此, ∑  (   ) : ∑( 1 6 一 k ) a   = 7 8 3  
=l   :l  

④ 

从而, ∑  ) = 7 8 3 一 ∑  )  
=7 8 3—1 5=7 6 8.  

据定义 ,  2 5 6 ) =   1 6 2 ) =0 .   又当 k ∈{ 2 4 1 , 2 4 2 , …, 2 5 5 } 时, 设 

( 2 0 0 5年全 国高中数 学联 赛组委会

提供 )  


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