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2-9高中数学核动力


第2章

第9节

1.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利 润 y(单位:10 万元)与营运年数 x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示),则每辆客车营运多少 年时,其营运的平均利润最大( )

A.3 C.5

B.4 D.6

y 25 【

解析】 由题图可得营运总利润 y=-(x-6)2+11, 则营运的年平均利润 =-x- + x x 12, y ∵x∈N*,∴ ≤-2 x 25 x· +12=2, x

25 当且仅当 x= ,即 x=5 时取“=”. x ∴x=5 时营运的平均利润最大. 【答案】 C 2.某种细胞在培养过程中正常情况下,时刻 t(单位:分)与细胞数 n(单位:个)的部分 数据如下: t n 0 1 20 2 60 8 140 128 )

根据表中数据,推测繁殖到 1 000 个细胞时的时刻 t 最接近于( A.200 C.240 B.220 D.260
t

t

【解析】 由表格中所给数据可以得出 n 与 t 的函数关系为 n=220,令 n=1 000,得 220 =1 000,又 210=1 024,所以时刻 t 最接近 200 分. 【答案】 A 3.某公司招聘员工,经过笔试确定面试对象人数,面试对象人数按拟录用人数分段计 算,计算公式为:

?4x,1≤x≤10 ? y=?2x+10,10<x≤100, ?1.5x,x>100 ?

其中 x 代表拟录用人数,y 代表面试对象人数.若应聘的

面试对象人数为 60 人,则该公司拟录用人数为( A.15 B.40 C.25

) D.30

【解析】 根据分段函数关系,面试对象人数为 60 即 y=60,则应用 y=2x+10=60, 可得 x=25,即该公司拟录用人数为 25. 【答案】 C 4.(2012· 东北三校联考)为了保证信息完全,传输必须使用加密方式,有一种方式其加 密、解密原理如下: 加密 发送 解密 明文― →密文― →密文― →明文 ― ― ― 已知加密为 y=ax-2(x 为明文,y 为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”,再 发送,接受方通过解密得到明文“3”,若接受方接到密文为“14”,则原发的明文是________. 【解析】 依题意 y=ax-2 中,当 x=3 时,y=6,故 6=a3-2,解得 a=2.所以加密 为 y=2x-2,因此,当 y=14 时,由 14=2x-2,解得 x=4. 【答案】 4 5.

杭州某房地产公司要在西湖边的空地 ABCDE(如右图所示)上划出一块长方形地面建一 公寓,且所划长方形的一条边在 ED 上,其中 ED=100,EA=60,BC=70,DC=80.问: 如何设计才能使公寓占地面积最大?并求出最大面积(单位:m). 【解】

如图,设 FM=x(0≤x≤30), BF AG 2 2 因为△AGB 与△BFM 相似,所以 = = ,得 BF= x, x GB 3 3 2 2 100 S=(70+x)(80- x)=- x2+ x+5 600. 3 3 3 当 x=25 时,Smax= 18 050 25 13 ,此时 MB= , 3 3

25 13 18 050 2 所以当长方形顶点 M 在 AB 边上距 B 为 m 时,面积最大为 m. 3 3 课时作业 【考点排查表】

考查考点及角

难度及题号

度 一次函数与分 段函数模型 二次函数与分 式函数模型 拟合函数问题 一、选择题

基础 1

中档 6,7

稍难 12

错题记录

2 3

8,10 4,5

11 9,13

1.一等腰三角形的周长是 20,底边 y 是关于腰长 x 的函数,它的解析式为( A.y=20-2x(x≤10) C.y=20-2x(5≤x≤10) B.y=20-2x(x<10) D.y=20-2x(5<x<10)

)

解析:∵20=y+2x,∴y=20-2x,又 y=20-2x>0 且 2x>y=20-2x,∴5<x<10. 【答案】 D 2.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y=3 000+20x-0.1x2,x ∈(0,240),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入大于等于总成本)的 最低产量为( A.100 台 C.150 台 ) B.120 台 D.180 台

【解析】 y≤25x,得(x+200)(x-150)≥0,x≥150. 【答案】 C 3.某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,具 体调查结果如下表: 表 1 市场供给量 单价(元/kg) 供给量(1 000 kg) 2 5 0 2.5 6 0 3 7 0 3.3 7 0 3.5 8 0 4 9 0

表 2 市场需求量 单价(元/kg) 需求量(1 000 kg) 4 5 0 3.5 6 0 3.2 6 0 2.8 7 0 2.4 7 0 2 8 0

根据以上提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在的区间是 ( ) A.(2.4,2.5) C.(2.8,3) B.(2.5,2.8) D.(3,3.2)

【解析】 由表 1、表 2 可知,当市场供给量为 60~70 时,市场单价为 2.5~3,当市 场需求量为 65~70 时,市场单价为 2.8~3.2,∴市场供需平衡点应在 2.8~3 内,故选 C.

【答案】 C 4.某市 2008 年新建住房 100 万平方米,其中有 25 万平方米经济适用房,有关部门计 划以后每年新建住房面积比上一年增加 5%,其中经济适用房每年增加 10 万平方米.按照 此计划,当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据: 1.052=1.10,1.053=1.16,1.054=1.22,1.055=1.28)( A.2010 年 C.2012 年 )

B.2011 年 D.2013 年

【解析】 设第 n 年新建住房面积为 an=100(1+5%)n, 经济适用房面积为 bn=25+10n, 由 2bn>an 得:2(25+10n)>100(1+5%)n,利用已知条件解得 n>3,所以在 2012 年时满足 题意.故选 C. 【答案】 C 5.(文)某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速, 后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系, 可选用( ) B.二次函数 D.对数型函数

A.一次函数 C.指数型函数

【解析】 因调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,故选 D. 【答案】 D (理)某地区的一种特色水果上市时间仅能持续几个月,预测上市初期和后期会因供不应 求使价格呈连续上涨的态势, 而中期又将出现供大于求使价格连续下跌, 为准确研究其价格 走势,下面给出的四个价格模拟函数中合适的是(其中 p、q 为常数,q>1,x∈[0,5],x=0 表示 4 月 1 日,x=1 表示 5 月 1 日??以此类推)( A.f(x)=p· q
x

)

B.f(x)=px2+qx+1 D.f(x)=plnx+qx2

C.f(x)=x(x-q)2+p

p 【解析】 显然 A 是单调函数;B:先升后降或先降后升;D:f′(x)= +2qx,令 f′(x) x =0 得 p+2qx2=0.∵x>0,∴函数 f(x)或者没有极值点或者只有一个极值点,也不具备先升 后降的特征. 【答案】 C 6. 如图所示是某条公共汽车线路收支差额 y 与乘客量 x 的图象(收支差额= 车票收入-支出费用),由于目前本条线路在亏损.公司有关人员提出了两条 建议:建议(Ⅰ)是不改变车票价格,减少支出费用;建议(Ⅱ)是不改变支出费 用,提高车票价格.下面给出四个图象.

在这些图象中(

)

A.①反映了建议(Ⅱ),③反映了建议(Ⅰ) B.①反映了建议(Ⅰ),③反映了建议(Ⅱ) C.②反映了建议(Ⅰ),④反映了建议(Ⅱ) D.④反映了建议(Ⅰ),②反映了建议(Ⅱ) 【解析】 本题比较新颖,考查了学生的阅读能力,识别图形能力,根据图象分析问题 的能力. 票价的上涨导致乘客量变小. 对于图①与图②都没改变票价, 但图②收支差额减小; 对于图③随着乘客量的增加,收支差额也增大,并且当乘客量相同时,收支差增大. 【答案】 B 二、填空题 7.从 1999 年 11 月 1 日起,全国储蓄存款征收利息税,利息税的税率为 20%,由各银 行储蓄点代扣代收;某人 2011 年 6 月 1 日存入若干万元人民币,年利率为 2%,到 2012 年 6 月 1 日取款时被银行扣除利息税 138.64 元,则该存款人的本金是________元. 【解析】 设存入的本金为 x,则 x· 20%=138.64, 2%· 1 386 400 ∴x= =34 660. 40 【答案】 34 660 8. 汽车的最佳使用年限是年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用=年均成本费+年均 维修费).设某种汽车的购车的总费用为 50 000 元;使用中每年的保险费、养路费及汽油费 合计为 6 000 元;前 x 年的总维修费 y 满足 y=ax2+bx,已知第一年的维修费为 1 000 元, 前两年总维修费为 3 000 元.则这种汽车的最佳使用年限为________年.
? ? ?a+b=1 000 ?a=500 【解析】 依题意,? ,解得? , ? ? ?4a+2b=3 000 ?b=500

设使用 x 年平均每年使用费用为 t,则 1 t= (50 000+6 000x+500x2+500x) x 100 50 000 =6 500+ +500x=6 500+500?x+ x ?≥6 500+10 000=16 500, ? ? x

当且仅当 x=10 时,等号成立. 【答案】 10 9.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒,已知药物释放过程中,室内 每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比; 药物释放完毕后, 与 t 的函数关系 y 1 - 式为 y=( )t a(a 为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题: 16

(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系为 ________; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那 么从药物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教室. 【解析】 (1)设 y=kt,由图象知 y=kx 过点(0.1,1),则

1=k×0.1,k=10,∴y=10t(0≤t≤0.1); 1 - 1 - 由 y=( )t a 过点(0.1,1)得 1=( )0.1 a,a=0.1, 16 16 1 - ∴y=( )t 0.1(t>0.1). 16 1 - 1 (2)由( )t 0.1≤0.25= 得 t≥0.6,故至少需经过 0.6 小时. 16 4

?10t,0≤t≤0.1 ? 【答案】 (1)y=? 1 t-0.1 ??16? ,t>0.1 ?
三、解答题

(2)0.6

10.某厂生产一种机器的固定成本为 0.5 万元,但每生产 100 台,需增可变成本(即另 t2 增加投入)0.25 万元.市场对此产品的年需求量为 500 台,销售的收入函数为 f(t)=5t- (万 2 元)(0≤t≤5),其中 t 是产品售出的数量(单位:百台). (1)把利润表示为年产量的 x(x≥0,单位:百台)的函数; (2)年产量是多少时,工厂所得的利润最大? 【解】 (1)设年纯利润为 y,则当 0≤x≤5 时, y=f(x)-0.25x-0.5=-0.5x2+4.75x-0.5, 当 x>5 时,销售收入为 f(5), 故纯收入为 y=f(5)-0.25x-0.5=-0.25x+12. 故函数关系式为

?-0.5x2+4.75x-0.5,?0≤x≤5?, ? y=? ? ?12-0.25x,?x>5?.

(2)当 0≤x≤5 时,y=-0.5(x-4.75)2+10.781 25, 故 ymax=10.781 25,此时 x=4.75 百台, 当 x>5 时,y<12-0.25×5=10.75, 所以年产量为 475 台时,工厂利润最大. 11.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关, 新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似的表示为:

?3x -80x +5 040x,x∈[120,144? y=? 1 ?2x -200x+80 000,x∈[144,500?
1
3 2 2

,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工

产品价值为 200 元.若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当 x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利, 则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? 【解】 (1)当 x∈[200,300]时,设该项目获利为 S,则 1 2 S=200x-?2x -200x+80 000? ? ? 1 1 =- x2+400x-80 000=- (x-400)2. 2 2 所以当 x∈[200,300]时,S<0. 因此,该项目不会获利. 当 x=300 时,S 取得最大值-5 000,所以国家每月至少需要补贴 5 000 元才能使该项 目不亏损. (2)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为:

?3x -80x+5 040,x∈[120,144? y = x ?1 80 000 ?2x+ x -200,x∈[144,500?
1
2

.

y 1 1 ①当 x∈[120,144)时, = x2-80x+5 040= (x-120)2+240, x 3 3 y ∴当 x=120 时, 取得最小值 240; x y 1 80 000 ②当 x∈[144,500)时, = x+ -200≥2 x 2 x 1 80 000 x· -200=200. 2 x

1 80 000 y 当且仅当 x= ,即 x=400 时, 取得最小值 200. 2 x x

∵200<240,∴当每月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低. 12.(文)某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显 示,从上午 6 点到中午 12 点,车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时 刻 t 之间的关系可近似地用如下函数给出:

?-8t -4t +36t- 4 ,6≤t<9, ? y=? t 55 + ,9≤t≤10, ?8 4 ?-3t +66t-345,10<t≤12.
13 32 629
2

求从上午 6 点到中午 12 点,通过该路段用时最多的时刻. 【解】 (1)当 6≤t<9 时, 3 3 3 y′=- t2- t+36=- (t2+4t-96) 8 2 8 3 =- (t+12)(t-8). 8 令 y′=0,得 t=-12 或 t=8. 当 0<t<8 时,y′>0.y 为增函数. 当 t>8 时,y′<0,y 在(8,9)上递减. ∴当 t=8 时,y 有最大值. ymax=18.75(分钟). 1 55 (2)当 9≤t≤10 时,y= t+ 是增函数, 8 4 ∴当 t=10 时,ymax=15(分钟). (3)当 10<t≤12 时,y=-3(t-11)2+18, ∴当 t=11 时,ymax=18(分钟). 综上所述,上午 8 时,通过该路段用时最多,为 18.75 分钟. (理)某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为了鼓励 销售商订购,决定每一次订购量超过 100 个时,每多订购一个,多订购的全部零件的出厂单 价就降 0.02 元,但实际出厂单价不能低于 51 元. (1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元? (2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P=f(x)的表达式. (3)当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购 1000 个,利 润又是多少元? 【解】 (1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为 51 元时,一次订购量为 x0 个,则 x0 60-51 =100+ =550.因此 , 当一次订购量为 550 个时, 每个零件的实际出厂价恰好降为 51 0.02 元.

(2)当 0<x≤100 时,P=60; x 当 100<x<550 时,P=60-0.02(x-100)=62- ; 50 当 x≥550 时,P=51.

?60,?0<x≤100?, ? x 所以 P=f(x)=?62-50,?100<x<550?,?x∈N? ?51,?x≥550?. ?
(3)设销售商的一次订购量为 x 个时,工厂获得的利润为 L 元,则

?20x,?0<x≤100?, ? x L=(P-40)x=?22x-50,?100<x<550?,?x∈N? ? ?11x,?x≥550?.
2

当 x=500 时,L=6000; 当 x=1000 时,L=11000. 因此,当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是 6000 元;如果订购 1000 个,利润是 11000 元. 四、选做题 13.一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当 1 砍伐到面积的一半时, 所用时间是 10 年, 为保护生态环境, 森林面积至少要保留原面积的 , 4 已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? 【解】 (1)设每年降低的百分比为 x(0<x<1), 1 1 则 a(1-x)10= a,即(1-x)10= , 2 2 1 1 解得 x=1-?2?10. ? ? (2)设经过 m 年剩余面积为原来的 2 2 ,则 a(1-x)m= a, 2 2 2 . 2

1 m 1 1 m 1 即?2?10=?2?2, = ,解得 m=5, ? ? ? ? 10 2 故到今年为止,该森林已砍伐了 5 年.


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