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等比数列的前n项和公式


等比数列的前 n 项和公式》说课稿 今天我将要为大家讲的课题是等比数列前 n 项和。对于这个课题,我主要从下面六个方面来进行讲解。

一、教材结构与内容分析:

《等比数列前 n 项和公式》是高中数学二年级第二学期第十三章第五节内容。教学对象为高二学生,教学课时为 2 课时。本节课为第 一课时。在此之前,学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用,而本 节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础。本节课既是本章的重点,同时也是教材的重点。

从高中数学的整体内容来看,《数列与数学归纳法》这一章是高中数学的重要内容之一,在整个高中数学领域里占据着重要地位, 也起着作用性的作用。首先:数列有着广泛的实际应用。例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等。其次:数列有着承前启 后的作用。数列是函数的延续,它实质上是一种特殊的函数;学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础。再次:数列也是培 养提高学生思维能力的好题材。学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题,这些都有利于学生 数学能力的提高。 本节的教学重点是等比数列前 n 项和公式及应用。

教学难点是等比数列前 n 项和公式的推导。

二、教学目标分析:

作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。根据上述教材结构与内容分析,考虑到 学生已有的认知结构心理特征,我制定了如下的教学目标:

1、知识目标:理解等比数列前 n 项和公式的推导方法,掌握等比数列前 n 项和公式及应用。

2、能力目标:培养学生观察问题、思考问题的能力,并能灵活运用基本概念分析问题解决问题的能力 ,锻炼数学思维能力。

3、情感目标:培养学生学习数学的积极性,锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神。

三、学生情况分析:

学生在学习本节内容之前已经学习等差、等比数列的概念和通项公式,等差数列的前 N 项和的公式,具备一定的数学思想方法,能够 就接下来的内容展开思考,而且在情感上也具备了学习新知识的渴求。

四、教学方法分析:

教法:数学是一门培养和发展人的思维的重要学科,因此在教学中不仅要让学生“知其然”,还要“知其所以然”,为了体现以学生发展 为本,遵循学生的认知规律,体现循序渐进和启发式教学原则,我进行这样的教学设计:在教师的引导下,创设情景,通过开放式问题 的设置来启发学生进行思考,在思考中体会数学概念形成过程中蕴涵的数学方法和思想,使之获得内心感受。

本节课将采用“多媒体优化组合—激励—发现”式教学模式进行教学。该模式能够将教学过程中的各要素,如教师、学生、教材、教法 等进行积极的整合,使其融为一体,创造最佳的教学氛围。主要包括启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价。

学法:根据二期课改的精神,转变学生的学习方式也是本次课改的重要内容,数学作为基础教育的核心学科之一,转变学生的数学学习

方式,变学生被动接受式学习为主动参与式学习,不仅有利于提高学生的整体数学素养,也有利于促进学生整体学习方式的转变。在课 堂结构上我根据学生的认知层次,设计了(1)创设情景(2)观察归纳(3)讨论研究(4)即时训练(5)总结反思(6)任务延续,六 个层次的学法,他们环环相扣,层层深入,从而顺利完成教学目的。自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流。

教学手段,利用多媒体和 POWERPOINT 软件进行辅助教学。

五、教学程序设计:

1、创设情景:

引例:某公司,由于资金短缺,决定向银行进行贷款,双方约定,在 3 年内,公司每月向银行借款 10 万元,为了还本付息,公司 第一个月要向银行还款 10 元,第二个月还款 20 元,第三个月还款 40 元,……。即每月还款的数量是前一个月的 2 倍,请问,假如你 是公司经理或银行主管,你会在这个合约上签字吗?

这是一个悬念式的实例,后面的“假如”又把学生带入了实例创设的情境,让学生直接参与了“市场经济”。根据心理学,情境具有暗示 作用,在暗示作用下,学生自觉不自觉地参与了情境中的角色,这样他们的学习积极性和思维活动就会极大的调动起来。

这样引入课题有以下几个好处:

(1) 利用学生求知好奇心理,以一个实际问题为切入点,便于调动学生学习本节课的趣味性和积极性。

(2) 在实际情况下进行学习,可以使学生利用已有知识与经验,同化和索引出当前学习的新知识,这样获取的知识,不但易于保持, 而且易于迁移到陌生的问题情境中。

(3) 问题内容紧扣本节课教学内容的主题与重点。

(4) 有利于知识的迁移,使学生明确知识的现实应用性。

在教师的诱导下,学生根据自己掌握的知识和经验,很快建立起两个等比数列的数学模型。数列 {an}是以 100000 为首项,1 为公比 的等比数列,即常数列。数列{bn}是以 10 为首项,2 为公比的等比数列。

当学生跃跃欲试要求这两个数列的和的时候,课题的引入已经水到渠成。教师再由特殊到一般、具体到抽象的启示,正式引入课题。

2、讲授新课:

本节课有两项主要内容,等比数列的前 n 项和公式的推导和等比数列的前 n 项和公式及应用。等比数列的前 n 项和公式的推导是本 节课的难点。依据如下:

(1) 从认知领域上讲,它在陈述性知识、程序性知识与策略性知识的分类中,属于学生最高需求层次的掌握策略与方法的策略性知识。

(2) 从学科知识上讲,推导属于学科逻辑中的“瓶颈”,突破这一“瓶颈”则后面的问题迎刃而解。

(3) 从心理学上讲,学生对这项学习内容的“熟悉度”不高,原有知识薄弱,不易理解。

这里我讲述的主要是怎样利用多媒体激励、启发学生思维,突破教材难点。

等比数列有两大类:公比 q=1 和 q 1 两种情形

当 q=1 时,Sn=na1

当 q 1 时,Sn=a1+a1q+……+a1qn-1=

q 1 时,Sn 的结果是怎么推导出来的呢?本节课的难点就在于此。

预习过课本的学生会知道这个结果以及推导过程,但是他们知其然而不知其所以然,可以说大部分学生根据他们掌握的知识和经验是难 以推出这个公式的。

这时候我们可以首先让学生们进行思考,如果运用数学中“从特殊到一般”的数学思想方法,能不能向这个结果靠拢呢?

我们不难得到下述结论:

S1=a1,

S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)

S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)

……

Sn=a1+a2+……+an=a1(1+q+q2+……+qn-1)

不少同学根据这个式子可能会想到

a1(1+q+q2+……+qn-1)= a1(1+q+q2+……+qn-1)(1-q)/(1-q)=

这时我要向学生说明,这种从特殊到一般,逐步归纳的思想方法很好,是我们解决数学问题中经常会运用到的方法。然后又要指出在 现阶段,我们还无法对这个过程进行证明,因此它的给出是不严密的。这样不仅让学生再一次体会到数学的最基本特点,严密的逻辑性。 也为将来学习二项式展开的内容打下了伏笔。

此时,仅仅从形式上进行的归纳在现阶段是无法进行系统而严谨的证明的,那我们只能在思想的过程中另辟蹊径,因此,要通过复习等 差数列的求和公式,借助推导等差数列求和公式的思想方法,来找到推导等比数列的前 n 项和公式的方法!

让学生们一起回忆一下等差数列的前 n 项和公式的推导过程。

可以发现当时我们是将 a1 与 an, a2 与 an-1,所有与首末等距两项交换位置,得到 Sn 的倒序和的形式。然后两式相加。这样 2Sn 就 是一个有 n 项的每一项都是 a1+an 的常数列。从而导出了 Sn 的公式。

等差数列的求和方法是根据等差数列的特点和根据学生的知识结构和认知水平产生的,形式上是倒序相加,本质上就是消去数列中项与

项之间的差异,构造一个新的各项相同的常数列,然后根据常数列的和导出 Sn 的公式来,其本质特征是等差数列从第二项起,每一项 都比前一项多了一个 d。

那么等比数列是不是也可以用类似的方法,构造出一个常数列或者部分常数列呢?让学生亲自去试一试,结果呢?

这时候学生们很自然的会用倒序相加的方法来进行思考。结果显然是行不通的。

此时教师的主要任务是要让学生的思维迅速发散——从倒序相加的定势中解脱出来。抓住学生迫切想解决这个问题的心态,及时地 通过媒体进行启发。老师要告诉学生,构造常数列或者部分常数列的思路是正确的。既然倒序行不通,那么还有没有其它的方式构造常 数列呢?

接着要引导学生从等比数列的定义出发,进一步认识等比数列从第二项起,每一项都是前一项的 q 倍,也就是说将每一项乘以 q 以后 就变成了它的后一项,那么将 Sn 这个和式的两边同时乘以 q,在 q Sn 这个和式中的第一项就是 Sn 的第二项,也就是 Sn 和 q Sn 之间 产生了一个错位。由两个和式能否构造常数列或者部分常数列的和式呢?相加行不行?显然不行!相减行不行?显然行。

将 Sn 和 q Sn 相减后,中间就得到了 n-1 项各项都是 0 的常数列, 找到了这个常数列,难点就突破了, Sn 的导出就容易了,导 出了 Sn 就基本上达到了本节课的认知目标。

为了加深理解,这时还应该对等差、等比两种数列的求和公式的推导过程进行类比和分析:

两种数列求和的基本思路都是构造常数列,构造常数列的思想也是其他一些数列求和的基本思想。等比数列在构造常数列的过程中, 采用“错位相减”,等差数列采用的是“倒序相加”,倒序相加本质上也是“错位相加”,是一种大幅度的“错位相加”,等比数列只不过是步幅为 1 的小幅度的“错位相加”。说明一下,在 Sn 的和式中,两边同时乘以 q 是解决问题——构造常数列的关键所在,是推导等比数列求和公 式的一把钥匙。

所以,这两种数列的求和公式的推导方法,从数学思想和数学方法上来讲是一致的,但是它们也有差异,即错位的方法不同。正是 由于这种差异,教师才有了更大的教学空间。当教师把学生从“倒序相加”的思维定式中引导出来的时候,学生的数学思维的深刻性、广阔 性等思维品质就得到了提高,思维品质提高了,思维能力也就提高了。这样,这节课的认知目标和素质目标就基本上都达到了。

推导出公式之后,对公式的特征要加以说明,以便学生记忆。同时还要对公式的另一种表示形式和应用中的注意事项加以说明。帮 助学生弄清其形式和本质,明确其内涵和外延,为灵活运用公式打下基础。

有了求和公式后,回头让学生亲自计算一下引例中的钱款数量,从计算结果中让学生明确实际问题的解决离不开数学,在市场经济 中必须有敏锐的数学头脑才行。

3.例题讲解。

我们在讲解例题时,不仅在于怎样解,更在于为什么这样解,而及时对解题方法和规律进行概括,有利于发展学生的思维能力。本 节课设置如下两种类型的例题:

1)

等比数列中知三求二的解答题

例:求首项为 2,公比为 2 的等比数列的前 8 项和以及第 5 项的值。

以及书上的例 4

2)

实际应用题。

例:某制糖厂第 1 年制糖 5 万吨,如果平均每年的产量比上一年增加 10%,那么从第 1 年起,约几年内可使总产量达到 30 万吨(保留 到个位)?

这样设置主要依据:

(1)例题与大纲中规定的教学目标与任务及本节课的重点、难点有相对应的匹配关系。

(2)遵循巩固性原则和传授——反馈——再传授的教学系统的思想确立这样的例题。

(3)应用题比较切合对智力技能进行检测,有利于数学能力的提高。同时,它可以使学生在后半程学习中保持兴趣的持续性和学习的主 动性。

4.形成性练习:

例题处理后,设置一组形成性练习,作为对本节课的实时检测。练习基本上是直接运用公式求和,三个练习是按由易到难、由简单到 复杂的认识规律和心理特征设计的,有利于提高学生的积极性。学生练习时,教师巡查,观察学情,及时从中获取反馈信息。对学生练 习中出现的独到解法提出表扬和鼓励,对其中偶发性错误进行辨析、指正。通过形成性练习,培养学生的应变和举一反三的能力,逐步 形成技能。

5.课堂小结

本节课的小结从以下几个方面进行:

(1) 等比数列的前 n 项和公式

(2) 公式的推导方法——错位相减法

(3) 求和思路——构造常数列或部分常数列。

通过师生的共同小结,发挥学生的主体作用,有利于学生巩固所学知识,也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质 目标。

最后用古印度国王西拉谟与国际象棋发明家的故事做为结尾,发明者要国王在他的棋盘上的 64 格中的第 1 格放入 1 粒麦粒,第 2 格放 入 2 粒麦粒,第 3 格放入 4 粒麦粒,第 4 格放入 8 粒麦粒……问应给发明家多少粒麦粒?再让学生感受一下数学的奇妙,激发他们学习 数学的热情。

6.布置作业

针对学生素质的差异进行分层训练,既使学生掌握基础知识,又使学有余力的学生有所提高,从而达到拔尖和“减负”的目的。

并可布置相应的研究作业,思考如何用其他方法来推导等比数列的前 N 项和公式,来加深学生对这一知识点的理解程度。

六、教学评价与反馈:

根据高二学生心理特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想,本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略, 即“案例—公式—应用”,案例为浅层次要求,使学生有概括印象。公式为中层次要求,由浅入深,重难点集中推导讲解,便于突破。应用 为综合要求,多角度、多情境中消化巩固所学,反馈验证本节教学目标的落实。

其中,案例是基础,使学生感知教材;公式为关键,使学生理解教材;练习为应用,使学生巩固知识,举一反三。

在这三步教学中,以启发性强的小设问层层推导,辅之以学生的分组小讨论并充分运用直观完整的板书和计算机课件等教辅用具、手段, 改变教师讲、学生听的填鸭式教学模式,充分体现学生是主体,教师教学服务于学生的思路,而且学生通过 “案例—公式—应用”,由浅入 深,由感性到理性,由直观到抽象,不仅加深了学生理解巩固与应用,也培养了学生的思维能力。


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