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第2节2011届高三数学一轮复习精品课件:命题及其关系、充分条件与必要条件


第2课时 命题的四种形式、充要条件

基础知识梳理
1.命题 用语言、符号或式子表达的, 可以判断真假的陈述句叫作命题, 其中判断为真的语句叫作 真命题 , 判断为假的语句叫作 假命题 .

2.四种命题及其关系 (1)四种命题 若原命题为“若p,则q”, 则其逆命题是 若q,则p ; q 否命题是若┓p,则┓;逆否命题是若┓

q,则┓ .p

基础知识梳理
“否命题”与“命题的否定”有何 不同? 【思考· 提示】 “否命题”与“命 题的否定”是两个不同的概念,如果 原命题是“若p,则q”,那么这个原 命题的否定是“p且非q”,即只否定 结论,而原命题的否命题是“若┓ p, 则┓ q”,即既否定命题的条件,又否 定命题的结论.

基础知识梳理
(2)四种命题间的关系
逆命题

否命题

逆否命题

(3)四种命题的真假关系 相同 ①两个命题互为逆否命题,它们有_____的真假 性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真 没有关系 假性________.

??

基础知识梳理
3.充要条件 (1)若p?q且q≠> p,则p是q的 充分不 必要 条件,q是p的 必要不充分 条件; 若p?q且q?p,则p是q的 充分必要 条件,q 也是p的 充分必要 条件. (2)若A、B为两个集合,满足A?B, 设A={x|p(x)},B={x|q(x)},则p是q的 充分不必要 条件,q是p的 必要不充分 条 件;若A=B,则p是q的充分必要 条件.

三基能力强化

1.下列命题是假命题的是( ) A.若ac2>bc2,则a>b B.5≥3 C.若M=N,则lnM=lnN D.若sinα=sinβ,则α=β的逆命 题

答案:C

三基能力强化

2.(2009年高考湖南卷改编)对 于非零向量a、b,“a+2b=0”是“a ∥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A

三基能力强化
3.(教材习题改编)命题“若a2+b2=0,a, b∈R,则a=b=0”的逆否命题是( ) A.若a≠b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0 B.若a=b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0 C.若a≠0且b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0 D.若a≠0或b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0 答案:D

三基能力强化

4.a=1是直线y=ax+1与y =(a-2)x+3垂直的________条 件. 答案:充要

三基能力强化
5.下列命题: ①若一个整数的末尾数字为0,则这 个整数能被5整除; ②奇函数的图象关于原点中心对称; ③矩形的对角线相等. 其逆否命题为真命题的序号为____. 答案:①②③

课堂互动讲练
考点一 命题的判定

(1)判断命题的真假,可先写 出命题,分清条件与结论,直接 判断; (2)如果不易判断,可根据互 为逆否命题的两个命题是等价命 题来判断.

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例1 判断下列语句是否是命题,若是,判断其真
假,并说明理由. (1)矩形难道不是平行四边形吗? (2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗? (3)一个数不是合数就是质数; (4)大角所对的边大于小角所对的边; (5)x+y是有理数,则x,y也都是有理数; (6)求证:x∈R,方程x2+x+1=0无实数

根.
【思路点拨】 写成“若p,则q”的形式→写出 逆命题、否命题、逆否命题→判断真假.

课堂互动讲练
【解】 (1)通过反意疑问句,对矩形 是平行四边形作出判断,是真命题. (2)疑问句,没有对垂直于同一直线的 两条直线平行作出判断,不是命题. (3)是命题,是假命题,1不是合数也不 是质数. (4)是命题,是假命题,没有考虑到必 须在同一个三角形中. (5)是命题,是假命题,若x= 2 ,y= - 2 (6)祈使句,不是命题.

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【名师点评】 判断一个语 句是否是命题,关键在于能否判 断其真假,一般地,陈述句、反 意疑问句是命题,而感叹句、祈 使句、疑问句都不是命题,含有 变量的语句叫开语句,不能判断 真假的开语句也不是命题.

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考点二
四种命题及其关系

在判断四种命题之间的关系 时,首先要分清命题的条件与结 论,再比较每个命题的条件与结 论之间的关系,要注意四种命题 关系的相对性,一旦一个命题定 为原命题,也就相应地有了它的 “逆命题”“否命题”和“逆否命题 ”.

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例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题、 逆否命题,并判断它们的真假. (1)面积相等的两个三角形是全等三角 形. (2)若q≤1,则方程x2+2x+q=0有实根. (3)若x2+y2=0,则实数x、y全为零. (4)若x、y都是奇数,则x+y是偶数.

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【解】 (1)逆命题:全等三角 形的面积相等,真命题. 否命题:面积不相等的两个三 角形不是全等三角形,真命题. 逆否命题:两个不全等的三角 形的面积不相等,假命题.

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(2)逆命题:若方程x2+2x +q=0有实根,则q≤1,真命 题. 否命题:若q>1,则方程x2 +2x+q=0无实根,真命题. 逆否命题:若方程x2+2x +q=0无实根,则q>1,真命 题.

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(3)逆命题:若实数x,y全为 零,则x2+y2=0,真命题. 否命题:若x2+y2≠0,则实 数x,y不全为零,真命题. 逆否命题:若实数x,y不全 为零,则x2+y2≠0,真命题.

课堂互动讲练
(4)逆命题:若x+y是偶数,则x、y都 是奇数,是假命题; 否命题:若x、y不都是奇数,则x+y 不是偶数,是假命题; 逆否命题:若x+y不是偶数,则x、y 不都是奇数,是真命题.

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【名师点评】 (1)“都是”的否定是“ 不都是”,而不是“都不是”,因为“x、y不 都是奇数”包含“x是奇数y不是奇数”、“x 不是奇数y是奇数”、“x、y都不是奇数”三 种情况;(2)“x=0或y=0”的否定是“x≠0 且y≠0”,而不是“x≠0或y≠0”,因为“x=0 或y=0”包含“x=0且y≠0”、“x≠0且y=0”、 “x=0且y=0”三种情况.

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考点三

充分条件与必要条件的判定

判断一个命题是另一个命题的什么 条件,关键是利用定义.如果p?q,则 p叫做q的充分条件,原命题(或逆否命 题)成立,命题中的条件是充分的,也 可称q是p的必要条件;如果q?p,则p 叫做q的必要条件,逆命题(或否命题) 成立,命题中的

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条件为必要的,也可称q是p的充分条件; 如果既有p?q,又有q?p,记作p?q, 则p叫做q的充分必要条件,简称充要条 件,原命题和逆命题(或逆否命题和否 命题)都成立,命题中的条件是充要 的.

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【例3】指出下列命题中,p是q的什么条件 (在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、

“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).
(1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sin A=sin B; (2)对于实数x、y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6; (3)非空集合A、B中,p:x∈A∪B,q:x∈B; (4)已知x、y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0,

q:(x-1)(y-2)=0.
思维启迪

首先分清条件和结论,然后根据充要条 件的定义进行判断.

课堂互动讲练 ?
解 (1)在△ABC中,∠A=∠B? sin A=sin B,反 之,若sin A=sin B,因为A与B不可能互补(因为三 角形三个内角和为180°),所以只有A=B.
? 故p是q的充要条件. ? ? ?

? ? ? ? (2)易知, p:x+y=8, ? q:x=2且y=6,显然 q ? p,
但 p q,即 q是 p的充分不必要条件,根据原命题 和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.

(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有
x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2, ? 所以p ? q但q p,故p是q的充分不必要条件.

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探究提高 判断p是q的什么条件,需要从两方面分

析:一是由条件p能否推得条件q,二是由条件q能否推 得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命 题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观 化外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题

的等价性,转化为判断它的等价命题.

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考点四 充要条件的证明

证明分为两个环节,一是充分 性;二是必要性.证明时,不要认 为它是推理过程的“双向书写”,而 应该进行由条件到结论,由结论到 条件的两次证明.

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例4 (解题示范)(本题满分12 分) 求证方程ax2+2x+1=0 有且只有一个负数根的充要 条件为a≤0或a=1 【思路点拨】 (1)注意讨论a的不同 取值情况; (2)利用根的判别式求a的取值范围.

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【证明】 充分性: 当a=0时,方程变为2x+1=0, 1 其根为x=- ,方程只有一负根. 2分 2 当a=1时, 方程为x2+2x+1=0,其根为x=-1, 方程只有一负根. 4分 当a<0时,Δ=4(1-a)>0, 1 方程有两个不相等的根,且 <0,方 a 程有一正一负根. 6分

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必要性: 若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根. 当a=0时,适合条件. 当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根, 则Δ=4-4a≥0,∴a≤1, 8分 当a=1时,方程有一负根x=-1.
?a<1 ? 若方程有且仅有一负根则 ?1 , ? <0 ?a

∴a<0. 综上,方程ax2+2x+1=0有且仅 有一负根的充要条件为 a≤0或a=1. 12分

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【思维总结】 (1)条件已知证 明结论成立是充分性.结论已知推 出条件成立是必要性; (2)证明时易出现必要性与充分 性混淆的情形,这就要分清哪是条 件,哪是结论.

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高考检阅 (本题满分10分)求证:关于x的方程x 2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m ≥2. 证明:(1)充分性:因为m≥2, 所以Δ=m2-4≥0, 方程x2+mx+1=0有实根. 设x2+mx+1=0的两个实根为x1、x2, 由根与系数的关系知x1x2=1>0, 所以x1、x2同号. 又因为x1+x2=-m≤-2, 所以x1、x2同为负根. 4分

课堂互动讲练
(2)必要性:因为x2+mx+1=0的两 个实根x1、x2均为负,且x1x2=1, 所以m-2=-(x1+x2)-2 1 =-(x1+ )-2 x1 x21+2x1+1 (x1+1)2 = ≥0,8分 - =- x1 x1 所以m≥2. 综合(1)(2)知命题得证. 10分
另: (2)必要性:因为x2+mx+1=0的两个实根x1、x2均 为负,则有 ? x1 x2 ? 1 ? 所以m≥2. x1 ? x2 ? ?m ? 0 ?
? ? ? m2 ? 4 ? 0 ?

综合(1)(2)知命题得证.

10分

规律方法总结
1.四种命题间的关系 在判断四种命题之间的关系时,首先 要分清命题的条件与结论,再比较每个命 题的条件与结论之间的关系,并注意四种 命题关系的相对性,一旦一个命题定为原 命题,也就相应地有了它的“逆命题”“否 命题”和“逆否命题”. 2.命题中条件与大前提的关系 当一个命题有大前提而要写出其他三 种命题时,必须保留大前提,也就是大前 提不动;对于由多个并列条件组成的命题, 在写其他三种命题时,应把其中一个(或 多个)作为大前提.

失误与防范

1.否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论, 而命题的否定是只否定命题的结论.要注意区别.

2.判断p与q之间的关系时,要注意p与q之间关系的方
向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆.


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