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学霸高一数学学习计划怎么写03月05日



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件是ab=,显然,这两个条件是不能同时成立的.因此,8不是最小值.
正解:原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2-2ab]+[(+)2-]+4
= (1-2ab)(1+)+4,
由ab≤()2= 得:1-2ab≥1-=, 且≥16,1+≥17,
∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时,等号成立),
∴(a + )2 + (b + )2的最小值是.
[例4] 已知0 < x < 1, 0 < a < 1,试比较的大小.
解法一:

∵0 < 1 ? x2 < 1, ∴

解法二:


∵0 < 1 ? x2 < 1, 1 + x > 1, ∴
∴ ∴
解法三:∵0 < x < 1, ∴0 < 1 ? x < 1, 1 < 1 + x < 2,

∴左 ? 右 =
∵0 < 1 ? x2 < 1, 且0 < a < 1 ∴

[例5]已知x2 = a2 + b2,y2 = c2 + d2,且所有字母均为正,求证:xy≥ac + bd
证:证法一(分析法)∵a, b, c, d, x, y都是正数
∴要证:xy≥ac + bd
只需证:(xy)2≥(ac + bd)2
即:(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
展开得:a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
即:a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式,显然成立
∴xy≥ac + bd
证法二(综合法)xy =

证法三(三角代换法)
∵x2 = a2 + b2,∴不妨设a = xsin?, b = xcos?
y2 = c2 + d2 c = ysin?, d = ycos?
∴ac + bd = xysin?sin? + xycos?cos? = xycos(? ? ?)≤xy
[例6] 已知x > 0,求证:
证:构造函数 则, 设2≤?<?

显然 ∵2≤?<? ∴? ? ? > 0, ?? ? 1 > 0, ?? > 0 ∴上式 > 0
∴f (x)在上单调递增,∴左边

四、典型习题导练

1.比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.
2.已知a,b,c,d都是正数,求证:

3.已知x > 0 , y > 0,2x + y = 1,求证:
4.若,求证:
5.若x > 1,y > 1,求证:
6.证明:若a > 0,则

高考真题
辽宁在题外

1、(2011.安徽卷)(Ⅰ)设证明

(Ⅱ),证明


2、(2011福建卷)
设不等式的解集为M.
(I)求集合M;
(II)若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小.

3、(2011江苏)不等式选讲(本小题满分10分)
解不等式:
解析:原不等式等价于:,解集为
全国
不等式选讲
设函数,其中。
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若不等式的解集为 ,求a的值。
解:
(Ⅰ)当时,可化为

由此可得 或。
故不等式的解集为
或。
( Ⅱ) 由 得

此不等式化为不等式组

即 或
因为,所以不等式组的解集为
由题设可得= ,故

1.【2012高考真题重庆理2】不等式的解集为
A. B. C. D. 对
【答案】A
【解析】原不等式等价于或,即或,所以不等式的解为,选A.
2.【2012高考真题浙江理9】设a大于0,b大于0.
A.若2a+2a=2b+3b,则a>b B.若2a+2a=2b+3b,则a>b
C.若2a-2a=2b-3b,则a>b D.若2a-2a=ab-3b,则a<b
【答案】A
【解析】若,必有.构造函数:,则恒成立,故有函数在x>0上单调递增,即a>b成立.其余选项用同样方法排除.故选A
3.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克。每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( )
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元

【答案】C.
【解析】设生产桶甲产品,桶乙产品,总利润为Z,
则约束条件为,目标函数为,
可行域为,当目标函数直线经过点M时有最大值,联立方程组得,代入目标函数得,故选C.
4.【2012高考真题山东理5】已知变量满足约束条件,则目标函数
的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】做出不等式所表示的区域如图,由得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最小,此时最大为,当直线经过点时,直线截距最大,此时最小,由,解得,此时,所以的取值范围是,选A.
5.【2012高考真题辽宁理8】设变量x,y满足则的最大值为
(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55
【答案】D
【解析】画出可行域,根据图形可知当x=5,y=15时2x+3y最大,最大值为55,故选D
【点评】本题主要考查简单线性规划问题,难度适中。该类题通常可以先作图,找到最优解求出最值,也可以直接求出可行域的顶点坐标,代入目标函数进行验证确定出最值。
6.【2012高考真题广东理5】已知变量x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为
A.12 B.11 C.3 D.-1
【答案】B

【解析】画约束区域如图所示,令得,化目标函数为斜截式方程得,当时,,故选B。

7.【2012高考真题福建理5】下列不等式一定成立

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