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7.8-2无穷等比数列的各项和2


高二数学学案:

7.8-2 无穷等比数列的各项和 2
班级 姓名 .
学习目标 进一步理解和掌握无穷等比数列的各项和的公式;利用无穷等比数列的各项和公式解决一些实际应 用问题;发展逻辑思维能力,强化应用意识. 学习重点:无穷等比数列的各项和公式的应用; 学习难点:无穷等比数列的各项和公式中的隐含条件. 学习过程:

一、新知导学 1.无穷等比数列的各项和公式的回顾. 2.无穷等比数列的各项和公式中的隐含的条件是什么? 二、讨论学习 1. 无穷等比数列的各项和概念的进一步强化 例 1、已知无穷等比数列{an}的各项之和为 4,求首项 a1 的取值范围. 分析:无穷等比数列的各项和定义的前提条件是 0 ?| q |? 1.

2.无穷等比数列的各项和的实际应用 例 2、 如图,在 Rt△ABC 内有一系列的正方 形 , 它 们 的 边 长 依 次 为 a1 , a2 ,..., an ,... , 若

AB ? a, BC ? 2a ,求所有正方形的面积之和.
[说明] (1)问题的实质:所有正方形的面积是一个无穷等比数列的各项和; (2)求解的关键在于图形中正方形与三角形的对应分析.

1

三、课堂检测

1 1 1 ? ??? n 2 1、计算: lim 2 4 n?? 1 1 1 ? ? ? ? n?1 3 3

2、在无穷等比数列{an}中, lim (a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ?
n ??

1 ,求首项 a1 的取值范围 2

3、一个弹性小球从 20 米高处自由落下,着地后反弹到原来的高度的 3/5 处,再自由落 下,以弹回到上一次高度的 3/5 处,假设这个小球能无限次反弹,求这个小球在这次运动 中所经过的总路程.

四、学习收获

2

五、课后作业

1、已知 S n ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n (n ? N * ),求 lim S n n ?? 5 5 5 5 5 5

2、在无穷等比数列{an}中, lim(a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ?
n??

1 ,求首项 a1 的取值范围 a1

3、 如图 P1 是一块半径为 1 的半圆形纸板,在 P1 的左下端剪去一个半径为

1 的半圆后 2

得到图形 P2,然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得图 形 P3 ,P4 ,… ,Pn ,…,记纸板 Pn 的周长、面积分别为 Ln 、 Sn , 求(1) lim Ln ; (2) lim S n .
n ?? n ??

P1

P2

P3

P4

3

4、已知正方形的边长为 a,作正方形的内切圆,在此内切圆内作新的内接正方形,这样 一直无限地继续下去. (1)求所有这些内切圆周长的和 (2)求所有这些内切圆面积的和

1 1 1 1 , 2 , 3 ,? n ?, 试从其中找出无限项构成一个新的等比数列,使新数列 2 2 2 2 1 的各项和为 ,并求新数列的首项与公比 7
5、对于数列

4



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