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复数的引入 学生版


考点一

复数的有关概念|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识]

1.复数的概念 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部.若 b =0,则 a+bi 为实数;若 b≠0,则 a+bi 为虚数;若 a=0 且 b≠0,则 a+bi 为 纯虚数. 2.复数相等

a+bi=c+di?a=c 且 b=d(a,b,c,d∈R).
3. 共轭复数

a+bi 与 c+di 共轭?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).
4.复数的模 向量 OZ 的模 r 叫做复数 z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|= |a+bi|=
??? ?

a2+b2.

[题组练透]
1. (2015·湖北八校联考)设 x∈R, 则“x=1”是“复数 z=(x2-1)+(x+1)i 为纯 虚数”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (i 是虚数单位,a,b∈R),则 1+2i 5

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

2.(2015·安徽“江南十校”联考)若 a+bi=

ab=(

)
1

A.-2 C.1

B.-1 D.2

3. 设 i 是虚数单位,z 表示复数 z 的共轭复数. 若 z=1+i, 则 +i· z =( i A.-2 C.2 B.-2i D.2i

z

)

4.(2015·洛阳统考)设复数 z=-1-i(i 为虚数单位),z 的共轭复数为 z , 则|(1-z)·- z |=( A. C. 10 2 ) B.2 D.1

[类题通法]
解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满 足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式) 组即可. (2)解题时一定要先看复数是否为 a+bi(a, b∈R)的形式, 以确定实部和虚部.

考点二

复数的几何意义|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识]

(1)复数 z=a+bi

复平面内的点 Z(a,b)(a,b∈R).

2

(2)复数 z=a+bi(a,b∈R)

平面向量 OZ . [题组练透]

??? ?

1. (2014·新课标全国卷Ⅱ)设复数 z1, z2 在复平面内的对应点关于 y 轴对称,

z1=2+i,则 z1z2=(
A.-5 C.-4+i

) B.5 D.-4-i

i 2.(2015·山西四校联考)复数 z= (i 为虚数单位),z 在复平面内 ?-2-i?2 所对应的点在( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限

[类题通法]
对复数几何意义的理解及应用 (1)复数 z、 复平面上的点 Z 及向量 OZ 相互联系, 即 z=a+bi(a, b∈R)?Z(a,
??? ?

b)? OZ .
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量 与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直 观.

??? ?

考点三

复数的代数运算|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识]
3

1.复数的乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 (1)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; (2)除法: =

z1 a+bi ?a+bi??c-di? z2 c+di
= ?c+di??c-di?



ac+bd bc-ad c2+d2


c2+d2

i(c+di≠0).

2.复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2 +z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

[题组练透]
1.(2015·洛阳统考)i 为虚数单位,若复数 z= 则 z· z =( A.1 C. 25 9 ) B.-1 D.- 25 9 ) 1+2i ,z 的共轭复数为 z , 2-i

2. 复数 z=

1+2i2 015 (i 为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在( 1-i2 015 B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限

4

?1+i?3 3.(2014·新课标全国卷Ⅰ) =( ?1-i?2 A.1+i C.-1+i 4.已知复数 z= 3+i ?1- 3i?2

)

B.1-i D.-1-i , z 是 z 的共轭复数,则 z· z =______.

[类题通法]
复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项,不含 i 的看作另一类同类项,分别合并即可. (2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要 注意把 i 的幂写成最简形式. [提醒] 在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度. 1+i 1 -i =i; =-i; 1-i 1 +i

(1)(1±i)2=±2i;

(2)-b+ai=i(a+bi); (3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i, i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.

例题讲解
1.复数的概念 例 1.实数 m 取什么数值时,复数 z=m+1+(m-1)i 是(1)实数?(2)虚数?

5

(3)纯虚数?(4)对应的点 Z 在第三象限?

例 2.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x, y∈R,求 x, y.

例 3.已知 x 与 y 实部相等,虚部互为相反数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求 x, y.

6

2m2 ? 3m ? 2 2 例 4.当 m 为何实数时,复数 z= m ? 25 +(m2+3m-10)i; (1)是实数;

(2)是虚数; (3)是纯虚数.

例 5.复数 z 满足(1+2i)z+(3-10i) z =4-34i,求 z.

7

1. (2014·江西高考)若复数 z 满足 z(1+i)=2i(i 为虚数单位),则|z|=( A.1 2.已知复数 A.-2 B.2 C. 2 D. 3 )

)

a+3i

是纯虚数,则实数 a=( 1-2i B.4 C.-6 2 D.6

3.(2015·洛阳统考)设复数 z=

(i 为虚数单位),z 的共轭复数为 z , -1-i ) B.(-1,1) D.(-1,-1) 1 的虚部为( )

则在复平面内 i z 对应的点的坐标为( A.(1,1) C.(1,-1)

4.若复数 z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则 2 5 2 B.- i 5 2 5 2 D. i 5

z+a

A.-

C.

二、填空题 5.(2015·河北教学质量监测)已知 m∈R,复数 则 m=________. 3 +b i 6.若 =a+bi(a,b 为实数,i 为虚数单位),则 a+b=________. 1 -i 7.复数 z1= 2 +(10-a2)i,z2= +(2a-5)i,若 z 1+z2 是实数,求 a+5 1-a
8

m+i 1
1+i

- 的实部和虚部相等, 2

3

实数 a 的值.

9


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