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江苏省扬州中学2010-2011学年高一上学期期末考试数学试题


江苏省扬州中学 2010—2011 学年第一学期期 末考试

高一数学试卷

2011.01

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分,请将答案写在答题纸上相应题号后 的横线上)
2 1.已知数集 M= x , 1? ,则实数 x 的取值范围为

?

/>. y 的值为 x . . .

2.设点 A(x,y)是 300o 角终边上异于原点的一点,则

3.幂函数 f ( x ) 的图象经过点 (3, 3) ,则 f ( x ) 的解析式是 4.方程 lg x ? 4 ? 2 x 的根 x ? (k , k ? 1) , k ∈Z,则 k = 5.求值: sin

14? 25? ? cos( ? )= 3 4



6.已知向量 a ? (?1,1), b ? (1, 2) ,且 (2a ? b) / /(a ? ?b ) ,则 ? = _________. 7.函数 y ? ln

1 的图像先作关于 x 轴对称得到图像 C1 ,再将 C1 向右平移一个单位得到图 x
. cm . . .
2

像 C 2 ,则 C 2 的解析式为

8.已知扇形的周长为 8cm,则该扇形的面积 S 的最大值为 9.函数 y= log 1 (2 ? x) 的定义 域为
3

10.若 a ? 1 , b ?

2 ,若 (a ? b) ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为

? ? 3? ?cos x, (? ? x ? 0) 11.设 f ( x ) 是定义域为 R,最小正周期为 的函数,若 f ( x)= ? ,则 2 2 ? ?sin x, (0 ? x ? ? )
15? f (? )? 4
.
x

y

y ? 4x
C

12.如图,过原点 O 的直线与函数 y= 2 的图像交与 A、B 两点, 过 B 作 y 轴的垂线交函数 y= 4 的图像于点 C,若 AC 平行于 y 轴, 则点 A 的坐标为 .
x

y ? 2x
1 O A x

B

(第 12 题图)

13.定义在区间 [ ?2, 2] 上的偶函数 g ( x) ,当 x ? 0 时 g ( x) 单调递减,若

g (1 ? m) ? g (m) , 则实数 m 的取值范围是
14.若关于 x 的方程

. .

|x| ? kx 有三个不等实数根,则实数 k 的取值范围是 x?2

二、解 答题(本大题共 6 小题,计 90 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤.答案和过程写在答题纸上相应位置) 15.(本小题 14 分)
2 已知集合 A ? x | x ? ?2或3 ? x ? 4 , B ? x | x ? 2 x ? 15 ? 0 .

?

?

?

?

求:(1) A

B ;(2)若 C ? ?x | x ? a? ,且 B C ? B ,求 a 的范围.

16.(本小题 14 分)

sin ? ,cos? 为方程 4 x
值.

2

? 4mx ? 2m ? 1 ? 0 的两个实根,? ? (? , 0) ,求 m 及 ? 的
2

?

17.(本小题 15 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ? 2a ? a (a ? 1) .
x ?x

(1)求函数 f ( x ) 的值域; (2)若 x ?[?2,1] 时,函数 f ( x ) 的最小值为 ?7 ,求 a 的值.

18.(本小题 15 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? ? ) 在一个周期内的图象如下图所示. (1)求函数的解析式 ; (2)求函数的单调递增区间; (3)设 0 ? x ? ? ,且方程 f ( x) ? m 有 两个 不同的实数根,求实数 m 的取值范围. 2 1 O -2
5? 12

y

11 ? 12

x

19.(本小题 16 分) 已知△OAB 的顶点坐标为 O (0, 0) , A(2,9) , B(6, ?3) , 点 P 的横坐标为 14,且 OP ? ?PB , 点 Q 是边 AB 上一点,且 OQ ? AP ? 0 . (1)求实数 ? 的值与点 P 的坐标; (2)求点 Q 的坐标; (3)若 R 为线段 OQ 上的一个动点,试求 RO ? ( RA ? RB) 的取值范围.

20.(本小题 16 分) 已知函数 f1 ( x) ? e|x?2a?1| , f2 ( x) ? e|x?a|?1 , x ? R,1 ? a ? 6 。 (1)若 a ? 2 ,求使 f1 ( x) ? f 2 ( x) 的 x 的值; (2)若 |f1 ( x) ? f 2 ( x) |? f 2 ( x) ? f1( x) 对于任意的实数 x 恒成立,求 a 的取值范围; (3)求函数 g ( x ) ?

f1 ( x) ? f 2 ( x) | f1 ( x) ? f 2 ( x) | ? 在 [1, 6] 上的最小值. 2 2

高一数学期末试卷参考答案
1. {x | x ? R, 且 x ? ?1} 5. 2. ? 3 6. ? 3. f ( x) ? x 2 7. y ? ln( x ? 1)
1

2011、1 4. 1

[来源:学,科,网]

3+ 2 2

1 2

8. 4

9. [1, 2) 13. [ ?1, )

10.

? 4
1 2

11.

2 2

12. (1, 2)

1 2

14. (0, )

15. (1) B ? ?x | ?3 ? x ? 5? , A (2) B ? C , a ? ?3 。

B ? ?x | ?3 ? x ? ?2或3 ? x ? 4? 。

16.(1) m ?

? 1? 3 ;(2) ? ? ? 。 3 2

17. (1) (??,1) (2) a ? 2 。

18. (1) f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?

? ? ? ? ) .(2)单调增区间为 ?? ? k? , ? k? ?, k ? z . 6 6 ? 3 ?

(3) ? 2 ? m ? 1或1 ? m ? 2 . 19. (1)设 P(14, y ) ,则 OP ? (14, y), PB ? (?8, ?3 ? y) ,由 OP ? ? PB ,得

7 (14, y) ? ? (?8, ?3 ? y) ,解得 ? ? ? , y ? ?7 ,所以点 P(14, ?7) 。 4
(2)设点 Q (a, b) ,则 OQ ? (a, b) ,又 AP ? (12, ?16) ,则由 OQ ? AP ? 0 ,得 3a ? 4b ① 又点 Q 在边 AB 上,所以

12 b ? 3 ? ,即 3a ? b ? 15 ? 0 ② ?4 a ? 6

联立①②,解得 a ? 4, b ? 3 ,所以点 Q(4,3)

(3)因 为 R 为线段 OQ 上的一个动点,故设 R(4t , 3t ) ,且 0 ? t ? 1 ,则 RO ? (?4t , ?3t ) ,

RA ? (2 ? 4t ,9 ? 3t ) , RB ? (6 ? 4t, ?3 ? 3t ) , RA+RB ? (8 ? 8t,6 ? 6t ) R O ?(

, 则

2 0 ? 65 t 0 0? RO ? (1 )? RB) 的取 R? A ) R ? B 4 ? ( 8? t 8 ? )? t5 t 3 ? t( t 6 ?(t),故 RA

值范围为 [ ?

25 , 0] . 2

20. (1)

3 ; 2

( 2 )即 f1 ( x) ? f 2 ( x) 恒成立,得 | x ? 2a ? 1|?| x ? a | ?1 ,即 | x ? 2a ? 1 | ? | x ? a |? 1 对

x ? R 恒成立,因 | x ? 2a ? 1| ? | x ? a |?| a ? 1| ,故只需 | a ? 1 |? 1,解得 0 ? a ? 2 ,又
1 ? a ? 6 ,故 a 的取值范围为 1 ? a ? 2 。
(3) g ( x) ? ?

? f1 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x), ? f 2 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x).

① 当 1 ? a ? 2 时,由(2)知 g ( x) ? f1( x ) ? e|x?2 a?1| ,当 x ? 2a ?1 ?[1,3] 时, g ( x)min ? 1。 ②当 2<a ? 6 时, (2a ? 1) ? a ? a ? 1 ? 0 ,故 2a ? 1 ? a 。

x ? a 时, f1 ( x) ? e? x?(2a?1) ? e? x?a?1 ? f 2 ( x) , g ( x) ? f2 ( x) ? e|x?a|?1 ;

x ? 2a ? 1 时, f1 ( x) ? ex?(2a?1) ? ex?a?1 ? f 2 ( x) , g ( x) ? f1 ( x) ? e|x?2a?1| ;

3a ? 2 , 其 中 2 3a ? 2 3a ? 2 3a ? 2 a? ? 2a ? 1 , ? x ? 2a ? 1 时,g ( x) ? f1 ( x) ? e|x?2a?1| ; 故当 当a ? x ? 2 2 2
a ? x ? 2a ? 1 时 , 由 f1 ( x) ? e? x?(
a 2? 1 ) x ?a ? ? e ? f12 ( x) , 得 x ?

时, g ( x) ? f 2 ( x) ? e

| x ?a|?1

.

3a ? 2 ? f1 ( x), x ? , ? ? 2 因此,当 2<a ? 6 时, g ( x) ? ? ? f ( x), x ? 3a ? 2 . 2 ? ? 2

令 f1 ( x) ? e|x?2a?1| ? e ,得 x1 ? 2a ? 2, x2 ? 2a ,且

3a ? 2 ? 2a ? 2 ,如图, 2

(ⅰ)当 a ? 6 ? 2a ? 2 ,即 4 ? a ? 6 时, g ( x)min ? f 2 (a) ? e ;

7 ? a ? 4 时, g ( x)min ? f1 (6) ? e2a?7 ; 2 7 (ⅲ) 当 2a ? 1 ? 6 ,即 2 ? a ? 时, g ( x)min ? f1 (2a ?1) ? 1 。 2
(ⅱ) 当 2a ? 2 ? 6 ? 2a ? 1 ,即

综上所述, g ( x ) min

7 ? ?1, (1 ? a ? 2 ), ? 7 ? ? ?e 2 a ? 7 , ( ? a ? 4), 2 ? ?e, (4 ? a ? 6). ? ?

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