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高三数学学科综合能力训练


中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉
高三数学学科综合能力训练(三)

一、选择题:(本大题共 14 小题;第 1—10 题每小题 4 分,第 11—14 题每小题 5 分,共 60 分,在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.sin15°cos(-375°)的值是( ) A.-

1 4
B.

1

B.

1 4
C.2

C.-

3 4

D.

3 2
)

2.设 A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},则满足 C ? A∩B 的集合 C 的个数是( A.0 D.4 )

1 (π <x<2π ),则 x 等于( 2 4 7 5 11 A. π B. π C. π D. π 3 6 3 6 1 (理科做)已知 cosx=- (π <x<2π ) ,则 x 等于( 3 1 1 A.arccos(- ) B.π +arccos(- ) 3 3 1 1 C.π +arccos D.2π -arccos 3 3
3.(文科做)已知 cosx=4.不等式 3 x ? 1 >x-1 的解集是( A.(0,5) C.[1,5] B.[)

)

1 ,1] 3 1 D.[- ,5) 3

5.已知函数 y=f(x)的图像是 C1,C1 关于 y 轴对称的图像是 C2,若 C2 关于原点对称的 图像所表示的函 数是 y=g(x),那么 g(x)的表达式是( ) A.g(x)=f(x) B.g(x)=-f(x) C.g(x)=f(-x) D.g(x)=-f(-x) 6.A、B 分别是复数 z1、z2 在复平面上对应的两点,且 z1?z2≠0,O 是原点,若│z 1+z2│=│ z1 - z 2 │, 则△AOB 是( ) A.等腰三角形 C.等边三角形 7.若 a>b>0,则 lim B.直角三角形 D.等腰直角三角形

n ??

a n ? a n ?1b ? a n ? 2 b 2 ? ? ? b n 的值是( a n ?1
C.

)

A.

1 a?b

B.

a a?b

b a?b

D.

a?b a?b

8.如果 sinα +cosα = 阴影表示)可能是( )

2 1 ( ≤a≤1)且│sinα │≤│c osα │,那么角α 的终边所在的位置(用图中 a 2

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9.函数 y=

e?x ?1 (e 为自然对数的底,e=2.71828?)的值域 是( 2 ? e ?x

)

A.(-∞,C.(-

1 )∪(1,+∞) 2

1 ,0) 2

1 ,1)∪(1 ,+∞) 2 1 D.(,1) 2
B.(2

10.已知数列{an}中,an=3n-30,若数列{bn}的通项 bn=a1+a3+a3 +? ?+ a 3n ?1 ,那么 bn 的绝对值最 小项是( A.b2 ) B.b3 C.b4 D.b5 )

11.已知复数ω = A.2θ -

9? 2

C.5π -2θ

sin ? ? i cos? 9? 5? ( < θ < ) ,那么 argω 等于( cos? ? i sin ? 4 2 7? B.2θ 2 11? D. -2θ 2

12.A、B、C、D、E 五人并排站成一排,如果 A、B 必须相邻且在 C 的右边,那么不同的排法有 ( ) A.60 种 B.48 种 C.36 种 D.24 种 n 13.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)??(n+n)=2 ?1?3?(2n-1)(n∈N)时,从“k 到 k+1 ”时,左边 需要相乘的代数式是( ) A.

2k ? 1 k ?1

B.

2k ? 3 k ?1
)

C.2(2k+1) D.2k+1 14.(理)下列方程表示双曲线的是 ( A.

x2 y2 ? ? ? =1(- <θ < ) cos? sin? 2 2

?
B.4ρ cos 2 =3 C.|z-i|-|z+i|=2(z 是复数)
2

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3 1 ? ? x ? 2 (t ? t ) ? D. ? ? y ? 5 (t ? 1 ) ? 2 5 ?
(文)已知点 E(3,2),点 F 是抛物线 x= 小值时,点 P 的坐标是( A.(1, 2 ) ) C.(

1 2 y 的焦点,点 P 是抛物线上一 动点,当|PE|+|PF|取最 2 1 ,1) 2
D.(2,2)

B.(1,1)

二、填空题:(本大题共 4 小题;每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中“横线”上) 15.若正数 a、b 满足 ab=a+b+3,则 a?b 的取值范围是 . 12 2 2 16.二项式(2x-1) ?(2x -x)的展开式中,x 项的系数是 . 17.如图,已知点 G 是矩形 ABCD 的边 AB 上一点,连结 AC、GC,若△AD C、△AGC 和△B GC 分别绕矩 形 AD 边旋转一周所得旋转体体积相等,则 AG∶GB= .

18.关于函数 y=f(x)=x+

1 -1(x∈R,x≠1)有下列命题. x ?1

①y=f(x)的最小值是 2; ②函数 y=f(x)的图像关于(1,0)点对称; ③函数 y=f(x)的图像关于 x 轴对称; ④函数 y=f(x)在区间(-∞,1)有最大值-2. 其中,正确命题的序号是 . 三、解答题:(本大题共 6 小题;共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.已知函数 f(x)=5+2 3 sinxcosx-6cos x,求: (1)f(x)的最小正周期和 f(x)的最小值;
2

(2)f(x)的单调递增区间.

20.(文科做)解方程:log2(2 +4)+log1/2(4 -4)=1.

x+1

x

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(理科做)解不等式:log8(x-a)+log64(x+a)≥log4x(a∈R,a≠0).

21.已知复数ω =

3? z (z≠±3)是纯虚数. 3? z

(文科做)求实数μ =│6i-z│的最大值和最小值. (理科做)求复数μ =6i-z 的幅角主值范围.

22.红光机械厂拟更换一部发电机,已知 B 型发电机比 A 型发电机购价多 1000 元,但每月可节 约使用 费 50 元(节约额于月末实现).按 1%的月折现率计算(月折现率 r, 是指一个月后的 1 元,相当于现值的 元),求: (1)B 型发电机使用 2 个月可节约使用费相当于现值的多少元?

1 1? r

(2)更换 B 型发电机至少使用多少月才比较合算(精确到月)? (取 lg2=0.3010,lg1.01=0.0043)

23.(文科做)已知函数 y=

a2x ?1 ,(x>1,ax+1≠0,且 a≤0)当 y<0 时,求 a 的取值范围. ax ? 1
2

(理科做)已知函数 f(x)=-x +(m+n)x+2m-n 和函数 g(x)= [g(x)]=x 恒成立,当 x∈[-1,2]时,f(x) 有最大值

nx 3 ,对于任意 实数 x(x≠- ),总有 g 2x ? 3 2

29 ,求 m、n 的值. 4

24.已知曲线 C1 的方程是 2x -y =2m (m>0),抛物线 C2 的顶点在坐标原点,抛物 线的焦点是双曲线 C1 的左焦点 F. (1)求证:双曲线 C1 与抛物线 C2 有且只有两个公共点;

2

2

2

(2)是否存在过 F 的抛物线 C2 的弦 PQ,使△POQ 的面积为 6cm ,若存在,求出 PQ 所在直线的倾斜角; 若不存在,请说明理由.

2

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参考答案: 一、选择题: 1.B 2.C 3.文 A D. 二、填空题 15.[9,+∞) 16.26 17. 三、解答题 19.解:(1)∵f(x)= 3 sin2x-6? = 3 sin2x-3cos2x+2 =2 3 sin(2x∴T=

理 C 4.D

5.B 6.B 7.A 8.A 9.D 10.C 11.A 12.D 13.C 14. 文 D



5 ?1 2

18.②④.

1 ? cos 2 x +5 2

2? =π . ? 2 ? ∴当 sin(2x- )=-1 时,有最小值 2-2 3 . 3
= (2)设 2kπ -

2?

? )+2. 3

?
2

≤2x-

? ? ≤2π k+ , 3 2

5? ? ≤2x≤2kπ + . 6 6 ? 5? ∴kπ ≤x≤kπ + (k∈Z). 12 12 ? 5 ∴f(x)的递增区间为[kπ ,kπ + π ]. 12 12
2kπ 20.(文科做) x+1 x 解:原式变为:log2(2 +4)-log2(4 -4)=log22, ∴

2 x ?1 ? 4 =2. 4x ? 4
x 2

令 2 =y,原方程变形为 y -y-6=0,∴y1=3 或 y2=-2(舍去). x 当 y1=3 时,2 =3,∴x=log23. 检验知 x=log23 是原方程的根. (理科做) 解:由 log8(x-a)+log64(x+a)≥log4x(a∈R,且 a≠0),变形为 ∴原不等式等价于不等式组:

1 1 1 log2(x-a)+ log2(x+a)≥ log2x. 3 6 2

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? x ? a>0 ? ? x ? a>0 ? 2 2 3 ?ax ? a x ? a ? 0
1°当 a>0 时,不等式组等价于

? x>a ? 2 2 ? x ? ax ? a ? 0

? x>a ? 即 ??1? 5 ? 1 ? 5 (无解). a?x? a ? 2 ? 2
2°当 a<0 时,不等式组等价于

? x> ? a ? x> ? a ? 即? ? 2 ? a ? 5 (无解). 2 a ? x ? ax ? a ? 0 ? x ? 2 ? ? x> ? a ?1? 5 ? 或? a. ? 1 ? 5 解得 x≥ 2 x? a ? 2 ?
综上所知,当 a<0 时,x≥

?1? 5 a, 2

当 a>0 时,无解. 21.解 1:令 z=x+yi(x,y∈R) ∴ω =

(3 ? x) ? yi (3 ? x) ? yi

=

[(3 ? x) ? yi] ? [(3 ? x) ? yi] [(3 ? x) ? yi] ? [(3 ? x) ? yi]
=

(9 ? x 2 ? y 2 ) ? 6 yi (3 ? x) 2 ? y 2
2 2

∵ω 是纯虚数,∴x +y =9,∴│z│=3.

解 2:∵ω 是纯虚数,∴ω + ? =0,

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3? z 3? z =0 ? z ? z =9,∴│z│=3. ? 3? z 3? z

(文科做)由题意知│6i│-│z│≤μ ≤│6i│+│z│, 即 6-3≤μ ≤6+3,∴3≤μ ≤9. (理科做)复数μ =6i-z, 可表示为在复平面上, 以(0, 0)为圆心, 为半径的圆周上动点 A 到 定点 B(0, 3 6)的有向线段 AB (如图).

? ? ? 2 + ∠OBA= + = π . 2 2 6 3 2 ? ? ? ? 2°当 AB 与圆在第Ⅱ像限相切时,有最小幅角主值为 - = ,∴ ≤argμ ≤ π . 3 2 6 3 3 1 1 1 1 2 2 22.解: (1)使用两个月节约费用 100 元, 相当于现值的 50? +50( ) =50 [ +( )] 1 ? 1% 1 ? 1% 1.01 1.01
1°当 AB 与圆在第Ⅰ像限相切时,有最大幅角主值为 ≈98 .5(元). (2)B 型发电机使用 3 个月节约费用相当于现值的 50?[ 节约费用相当于现值的 50[

1 1 2 1 3 +( ) +( )] ,??,使用 n 个月 1.01 1.01 1.01

1 1 2 1 n +( ) +?+( ) ]. 1.01 1.01 1.01 1 1 2 1 n +( ) +??+( ) ]≥1000,即 1.01 1.01 1.01

设更换 B 型发电机至少使用 n 个月才比较合算,则 50[

1 1 n [1 ? ( ) ] 1.01 1.01 ≥1000. 50? 1 1? 1.01 1 ? 3 lg 2 5 5 n ∴1.01 ≥ ,nlg1.01≥lg ? n≥ ≈ 22.5 ? ? n≈23. lg 1.01 4 4 ?
n ? N?
答:(略).

a2x ?1 23.(文科做)解: <0. ax ? 1
1°当 a=0 时,y=-1<0,对任意 x>1 均满足不等式. 2°当 a<0 时,原不等式等价于

?a 2 x ? 1>0 ? ?ax ? 1<0 ? x>1 ?

?a 2 x ? 1<0 ? (Ⅰ) 或 ?ax ? 1 0 > ? x>1 ?
又 x >1,

(Ⅱ)

? 2 1 ?a > x ? 由(Ⅰ)解得 ? ?a< ? 1 ? x ?

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?1 ? x ? (0,1) ? ∴? ?? 1 ? ( ?1,0) ? x ?

?a 2 ? 1 ? ∴ ?a ? ?1 ? a ? ?1 ?a<0 ?
1 ? 2 1 ?a < x     ? (0,1) x ? 1 1 ? 由(Ⅱ) ?a> ?      ? (?1,0) ? x x ? ?a<0 ? ? 2 ∴a <0(无解). 综合知 a 的取值范围为 a=0,或 a≤-1. (理科做)解:

nx n2 x 2x ? 3 = ∵g[g(x)]= =x, 2nx 2nx ? 6 x ? 9 ?3 x?3 n?
即(2n+6)x +(9-n )x=0. ∵对任意的 x 上式均成立. ∴?
2 2

?2 n ? 6 ? 0
2 ?9 ? n ? 0
2

解得 n=-3.

∴f(x)=-x +(m-3)x+2m+3.

m?3 . 2 m?3 1°当-1< <2,即 1<m<7 时, 2
其对称轴为 x= f(x)max=f(

m ? 3 m 2 ? m ? 21 29 )= ? 4 4 2

∴m=-4(舍去)或 m=2.

m?3 ≤-1,即 m≤1 时, 2 29 fmax(-1)=m+5= , 4 9 ∴m= 与 m≤1 矛盾,无解. 4 m?3 3°当 ≥2,即 m≥7 时, 2
2°当

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fmax(2)=-4+2(m-3)+2m+3=4m-7= ∴m=

29 . 4

57 与 m≥7 矛盾,无解. 16

综上知,符合要求的值为 n=-3,m=2. 24.(1)由 2x -y =2m ,有
2 2 2

x2 y2 =1 m 2 2m 2


2

双曲线的左焦点为 F(- 3 m,0).由题意,可设抛物线方程 y =-2px,则 抛物线方程为 y =-4 3 mx 把②代入①,整理得 x +2 3 mx-m =0 方程③的判别式 △=(2 3 m) -4(-m )=16m >0,
2 2 2 2 2 2

p ? ? 3 m,即 p=-2 3 . 2

② ③

x1x2=-m <0,x1、x2 异号,不妨设 x1>0,x2<0,对 x1>0,它不适合方程②,应舍 去,故只有 x2<0 满 足方程②,此方程②有且只有两组实数解. C1 和 C2 有且只有两个公共点. (2)设过 F 的直线的倾斜角为α . 当α ≠ x=

2

? ,过 F 的直线为 y=k(x+ 3 m), 2

2

y - 3m k

把④代入②,得 y =-4 3 m(

y - 3 m) k

即y+

2

4 3m 2 y-12m =0 k
1 k2 ?1 2 |y1-y2|= ? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 2 k k

|PQ|= 1 ?

=

(4 3m) 2 4 3m(1 ? k 2 ) k 2 ?1 ] ? 48 m ? ? [ k k k
3m k k 2 ?1
,

原点 O 到 PQ 的距离为 d=

S ?pog =

3m k 1 1 4 3m(1 ? k 2 ) |PQ|?d= ? ? 2 2 2 k k 2 ?1

=

6m 2 1 ? k 2 k

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6m 2 1 ? k 2 2 2 =6m ,则 1 ? k =|k| 故 k 不存在. k

当 a=

? 时,过 F 的直线方程为 x=- 3 m 2
2



把⑤代入②,得 y =-4 3 m(- 3 m)=12m , y=±2 3 m 所以|PQ|=4 3 m 从而 S△POQ= a=


? 符合题设要求. 2

1 1 2 |PQ|( 3 m)= ?4 3 m? 3 m=6m 2 2

综上知,存在过 F 的抛物线 C2 的弦 PQ,使△POQ 的面积为 6m ,这样的直线的倾斜角为

2

? . 2

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