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混沌理论及其在工程中的应用


20年第6   09 期 ( 总第1 7     期) 1

中国高新技术企业 
C ne eh -tc   n e pi e   hi s   i e h e tr rs s

N O . 20 9 6. 0  

( u l vtNO.1) C mu f e a y i 17   

沌理论及其在工程中的应用 
费 燕 
( 青岛农 业 大学机 电工程 学院 , 东 青 岛 2 60 ) 山 6 19 

摘要: 混沌理论是与量子 力学、 相对论齐名的一个重大科学理论 , 2 世 纪的三大科 学革命之一 , 提 出以来产生  是 O 自
了巨大影响 , 同时也被广泛应 用于各 个领域 , 成为探 索非线性复杂问题 的有效工具。 文章 旨 用尽量浅显的语言概  在 述有关混沌理论的主要 内容 , 那些没有接触过混沌的人尽快地 了解、 使 认知 它, 同时作者还想通过此种形式与广大 
非线性 动 力 系统 的研 究者 们相 互 交流 , 以期对 混沌 学的更 深入 的探 索 。   关键词 : 混沌 理论 ; 拓扑 传递 特性 ; 混沌 控制 

中 图分 类 号 :P7    21 r

文 献标 识码 :  A

文章 编号 :09 27 (090— 19 0  10 — 3420 )60 2— 2





混沌 概述 

期不可预测性 。这种初始条件敏感性不仅存在于 自然界 , 同  样也存在于人类社会中。 97 19 年东南亚金融风暴的始作俑者  乔 治 ? 罗斯 就被 人 称为 “ 索 犹太 蝴蝶 ” 因为 据说 是 他在 当年 3 ,  

( ) 一 混沌 的定 义 

导 并逐 渐演 变 为席  从数 学上来 讲 ,混沌 ” “ 这一 词没有 一个 统一 的严 格定 义 , 月 份大 量抛 售泰 国铢 , 致泰 国铢汇 率狂 泻 ,  
比较 常用 的有 L— ok 、 e ae 、 rt iY reD vny Maot 义下 的 三种定 义 。 卷 东南 亚 的金融 “ 卷风 ”  o意   龙 。 下 面 给 出 D vn y 于拓 扑学 的混沌 定义 : ea e 基  

定义 : v是一个度量空 间, 设 映射 .: - 厂 V- +V如果满足 
下列 三个条 件 , 便称 f V是 混沌 的。 在   ( ) 初值 敏感依 赖 ; 1对   () 2 拓扑传递性 : V上的任一对开集 x Y, 对 , 存在 K 0  >,


两条近邻 条件 的 x t — 曲线 
图 1  

 

使 f ) ,  ;   nj≠  
( ) 的周期 点集 在 V 中稠 密 。 3f  

在 定 义 中 ,对 初 值敏 感 依 赖 用 数 学 语 言 描 述 是 :存 在 

相应 的相 轨迹 

8 0 对任意 的 8 O和任意的 x >, > ∈V, x £邻域 内存在  在 的

Y 然数n   和自 , 使得

( ,  )_。   f ( J  用中 成语描   )  > 国 述就

图 1为 受 迫 D fn u ig方 程 , +  - =03 C S .f  x  — 4 -   .1 O  2 , 1

是 : 失之 毫厘 , 以千 里” “ 差 。这种 敏感 性并 不 局限 于系统 状态  当 两个 初 始条 件 相差 很小 时 ( x0 =2 1 x 0 :2 z , 如 () . 与 () . ) 0 o  

的初 始 值 , 同时适 用 于 系统参 数 , 名 的 Lg t 混沌 系 统就  解 xt随时 间 的变 化 和解在 相平 面 (  ) 的相轨 迹 。 著 oii sc ()  , 上   具有 这 种对 初始 条 件 、 系统 参数 的极度 敏感 性 。 17 年 美 国  99


所谓拓扑传递特性 , 是指对于任意两个区域 , 在其 中一个 

气象学家洛仑兹( d a  oez在一次演阱中提到 , EwrLr ) d n 巴西的  区域内至少存在一个点, 系统从 该点 出发 , 经过一定时间后能  只小蝴蝶煽动一下翅膀 , 可能在得克萨斯州引起一场龙  转移到另外一个区域。更直接的说, 有 具有拓扑传递特性的系统 

卷风 , 这就是所谓的“ 蝴蝶效应” “ ,蝴蝶效应” 使得系统具有长  有这样的一些特点 , 系统从它的任意小邻域内出发 , 最终可 以  
( ) 教 育 , 防群治  四 宣传 群 欲减少 或 防止化 学事故 的发 生 ,把化 学 事故 的危 害降 到  ( ) 六 统一指 挥 , 密切协 同 

危险化学品事故抢险救援工作涉及到众多单位 , 较大的化  最低 限度 , 有大 力 开展 群众 性 防 范 和防 护 知识 的宜传 教育  学 事故甚 至需 要 全社 会动 员 , 只 故必须 实行 统 一组 织指 挥 , 密切  活动 , 其 是对 具 有发 生 化学 事 故潜 在 危 险单 位 的领导 和职  协 同配合 。有 关单 位 , 各抢 险救 援 队伍 , 学 事故发 生  尤 以及 在化 工, 更应认真普及化学事故 防范和化学毒物伤害防护及中毒  后 , 既要按照总指挥部的命令 , 根据分工, 充分发挥专业特长,  

抢救等常识。  
( ) 求 科学 , 防蛮 干  五 讲 严

积极 行动 , 又要从 抢 险救援 的全 局 出发 , 搞好协 同配合 。 主动  
参 考文献 

执行抢 险 救援 任务 时 ,一 定要 尊重 专家组 和事 故单 位技 

术人 员 的意 见 , 充分 重视 检 测 组检 汉 报告 的情 况 , 密计 划 , 4 周   [】 国安 全 生产 协会 注册 安全 工程 师 工作 委 员会 . 全  1中 安 严密组织。遇到疑难问题或情况突变 , 应冷静分析 , 听取专家  生产 管理 知识 [ . 京 : 国大百科 全 书 出版社 ,0 8 M】 北 中 20 .  

和有关专业技术人员的意见 , 严防鲁莽从事。  

c王自齐化学事故与应急救援舯 化学工业出 2 1 版社 , 19. 北京, 7 9  
1 9—  2



到达其它任何领域 , 这实际上意味着系统具有遍历性。 同时, 这  绝对值的对数平均,它从统计特性上反映了非线性系统的动  类 系统也不 能被细 分或不 能被分解 为两个互 不影 响的子 系统 。 力学 特性 。在混沌 的诊 断 中, 起着 非常重要 的作 用 :     若  周期 轨道 的稠 密 性是 指在 系统 吸引子 中稠 密地 嵌入 着周  <, 0 系统收敛于不动点 ; 若  > ( 0且有限)系统即不会稳定  ,
也 同时 也不 会发 散 , 表明 系  期 轨 道 , 数学 上讲 , 于 V 中的任 意一 点 , 么它 是周 期 轨  在不 动 点 , 不存 在 稳定 的周期 解 , 从 对 要 统进 入混 沌 ; 点对 应 于稳定 轨迹 的边缘 , 分叉 故  = 。 0  道 , 么在 它的任 意邻域 内 , 在无穷个 周期轨 道 , 要 总存 且这些 周  期轨道 都是 系统 的解 。从整体来 看 , 混沌 系统 中看 不到单个 轨  此外 , 判别混沌的方法还有 Pi a 截面法 、 o cr n e 功率谱法 、   道, 而是一簇轨道的保络 , 其中稠密地嵌入了无穷 的周期轨道。 分维法和拓扑熵法等,   但其核心仍是计算 Lauo 指数。 ypnv  

( ) 二 通向混沌运动的途径  通向混沌的道路主要有三条 : 倍周期分又道路, 阵发 陛道  路 和茹厄 勒 ( uU ) 塔 根 司 (aes道 路 。 R ee一 Tkn)   1 .倍周期分叉道路。 系统运动变化的周期是一种有序状  态, 在一 定 的条 件 下 , 改变参 数 能使 系 统 轨道 一 分为 二 , 即周  期 加倍 , 数继 续 改变 , 参 轨道 的辟裂 就 继 续发 生 , 由二 到 四 到  八成倍周期增长,最终丧失周期而进入混沌。例如虫 口模型 

二、 混沌的应用方向 
混沌 现象 在现 实世 界里 随处 可见 ,但直 到上世 纪混沌 现  象才 被人 们发 现 。尽 管 混沌 理 论发 展 到现 在还 不是 很 完善 ,   但是最近几年混沌应用发展很快 ,几乎各行各业中都有人在  研究混 沌 的应用 。   ( ) 一 混沌 控 制 

混沌控制的基本思想就是人为地利用初始条件的微小变  混沌 。美 国物理 学家 费 根鲍 姆 ( .Fi nam 的发 现 , 倍  化来保持系统稳定或直接利用这一点来控制系统的状态。在  MJ e ebu ) . g 是

川 =触  1   ) 在 大于 3以后 ,即为倍周期分叉通向 (一 ,  

周期 分叉 中最 为杰 出的研究 。为探 索混沌 的 内在 规律 找到 了  以下 领域混 沌 都能起 到 有效 的控 制作用 ,如飞 机机翼 的振 动  控制、 电力传送 系统 、 涡轮机 、 化学反应 、 医学上的心脏起博  条道路 。   传送带、 经济规划 、 电脑网络、 航空航天等。美 国航空航天  2 .阵发 性道 路 。 阵发性表 示时 间域 中 系统不 规则 行 为和  器、 98 18 年 为了重新设置一颗绕  规则行为的随机交替现象。在非平衡系统中,某些参数的变  局在 17 年发射 了一艘飞船 ,9 3 , NS 化达到某一临界值时 , 系统会出现表现在时间行为上的时而  太 阳旋转 的彗星的运行轨道 ,A A的工程师们运用卫星本 


月球对卫星轨道 的影响以及太阳本身的扰动,   周期 , 时而混乱 , 在两者之间随机震荡的状况, 最终进入混沌。 身的推进系统、   混 阵发性混沌最早见之于 Lr z o n 模型 , e 它与倍周期分叉所产生  成 功地对 该卫 星进 行 了重新 定位 。 当时还没 有提 出 “ 沌控  的混 沌是 孪 生 姐 妹 , 是 能 观察 到 倍 周 期 分 叉 的 系统 , 则  制”这个专业术语 ,但这次事件确实用到混沌控制的基本思  凡 原
想。实 际上卫 星 、月球 和太 阳组 成了一个 开始 提到 的三 体 问  题, 即混沌 系统 , 天才 的工程 师们 就是 利用 了混沌 系统对 初始  条 件 的敏感 陛—— 通过 残存 的很 少一 部分 飞船燃 料 , 飞船  使 自身状态得 至微小变化以达到控制飞船的目的, q 这在非混沌    会产生一系列新的耦合频率的运动而导致混沌。 茹厄勒和塔根  系统中是不可能的。 ( ) 沌 同步  二 混 司两 人在 17 年 以及 纽豪 ( ehue在 17 年分 别 用 实验  91 N w as) 9 8 混 沌 同步是 指 由一个 自治 的系统 出发 ,构造 新 的混沌 系  证明了实际上在三次分叉后, 规则运动就变得高度不稳定而进  统, 使它们具有共同的同步混沌轨道 。18 年 TmCr l 99 o  a o 创  rl 入混沌 , 动点—极 限环一 二位环 面一 混沌 。 即不   造 了第 一个 同步混沌 电子 电路 。在 工程上 设计理 想 的同步 混  ( ) 三 混沌判 别方 法  系统是 否存 在混 沌 ? 系统 是否 处于 混沌 状态 ? 是 研究混  沌系统还处于起步阶段 ,但有很好的应用前景。通过 比较两  这 上 都 可发现 阵发 性混 沌现 象 。   3 .茹厄勒 一塔 根司道路 。 当流体系 统发生湍 流 ( 沌 ) , 混 时  其 显著特 点是系统 同时存 在着多种频 率 的振 荡 。 因此 由于某些  参数的变化使得系统内有不同频率的振荡相互耦合时, 系统就 

个同样 的混沌信号( 即混沌同步 ) 可以用于信息加密 , 也可以  沌首先遇到的问题。下面主要谈三种常用 的方法 :   1 .替代数据法 。 替代数据法是 由T e e等人提出来的。 通过除去混沌信号而获知信息的内容,人为产生的服从某些  hir l   该 方法 的实 现步 骤 为 : 首先作 零假设 ( 假设 所讨 论 的时 间序列  规律的信号还能够用于信息的传输 。  
( ) 沌的 短期预 测  三 混 为线性随机序列 )按照一定的算法由待检验序列出发产生出 ,   严格来说我们的世界是一个非线性的世界 ,混沌现象随  组既满足假设条件又保留了原序列的傅里叶( 0r r功率  F u e) i 尽管 目前 已经 对混沌 应 用作 了大量研 究 , 沌 至今  但混 谱值的替代数据 , 分别计算待检验数据及替代数据 的李雅普  处可见 , 洛夫 (ypnv指数或关联指数等指标 , Lauo) 再根据原序列和替  还没有 统一 的数 学定 义 , 沌应 用更是 个全 新 的学 科领 域 ,   混 因 代数据指标的显著性差异水平 , 在一定的置信度 内决定接受  此混沌理论及其应用都还有待于进一步探索 ,也预示着混沌 


零假设还是拒绝零假设。   应用具有巨大潜力。随着人们对混沌认识的不断深入,将能  2 — 算 法 。G P 法是 由 Gase e Poac 提 出 .G P —算 r br r r ci s g& c a   更好地 控 制和利 用 混沌 为人 类服务 ,甚 至一些 用 已有 的科 学  的。计算序列的关联维数 , 并根据关联维数的值来判定序列  知识无法解决的疑难问题都将迎刃而解 。   的特性 。 种方 法 的判 断准则 是 : D= 时 , 这 当 :1 系统处 于 自持周  参 考文献  期振 荡 状态 ;2 D= 2时 ,系统具 有 两种 不 可 约频 率 的准 周 期振 

荡 ; D 不是整数或大于 2 , 当 2 时 系统表现 出对初始条件敏感 
的混沌 振 荡 。  

[1L . 沌保 密通 信 系统 的设 计 与 研 究 【 】 西 师 范  14  ̄- 混 D. 广

大学 ,08 20 .  

3 yp nv .Lau o 指数法。 ypnv Lauo 指数用于量度在相空间中  初 始 条 件 不 同的 两 条相 邻 轨 迹 随 时 间按 指 数 律 吸 引 或 分离 

【 杨朝羽. 2 】 时空混沌的控制研究【] D. 广西师范大学,0 8 20.   【 王磊 . 沌 系统 的控 制 与 同步研 究【】 3 】 混 D. 大学 ,07 西华 2 0.  

的程 度 , 种 轨迹 收敛 或发 散 的 比率 称 L au o 指 数 。 这 ypnv   作 者简 介 : 费燕(9 1 )女 , 东烟 台人 , 职 于青 岛农  17 一 , 山 供 Lauo 指数 入 实 际 上就 是 系统 在 各 次 迭代 点 处 导数   业大 学机 电工程 学 院研 究方 向 : 械制 造及应 用 。 ypnv 机  



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