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【名师一号】2016届高考数学一轮总复习 10.4随机事件的概率练习


第四节 第一节

随机事件的概率(理) 随机事件的概率(文)

时间:45 分钟 分值:100 分 基 一、选择题 1.在一次随机试验中,彼此互斥的事件 A、B、C、D 的概率分别为 0.2、0.2、0.3、0.3, 则下列说法正确的是( ) 础 必 做

A.A+B 与 C 是互斥事件,也是对立事件 B.B+C 与 D 是互斥事件,也是对立事件 C.A+C 与 B+D 是互斥事件,但不是对立事件 D.A 与 B+C+D 是互斥事件,也是对立事件 解析 因为 P(A)=0.2,P(B)=0.2,P(C)=0.3,P(D)=0.3,且 P(A)+P(B)+P(C)+

P(D)=1,所以 A 与 B+C+D 是互斥,也是对立事件.
答案 D 2.从存放号码分别为 1,2,3,?,10 的卡片的盒子中,有放回地取 100 次,每次取一 张卡片并记下号码,统计结果如下: 卡片号码 取到次数 1 13 2 8 3 5 4 7 ) B.0.5 D.0.37 5 6 6 13 7 18 8 10 9 11 10 9

则取到号码为奇数的卡片的频率是( A.0.53 C.0.47

53 解析 取到号码为奇数的卡片的次数为: 13+5+6+18+11=53, 则所求的频率为 = 100 0.53. 答案 A 3. 从某校高二年级的所有学生中, 随机抽取 20 人, 测得他们的身高(单位: cm)分别为: 162 151 153 148 154 165 168 172 171 152 160 165 164 179 149 158 173 150 159 175

根据样本频率分布估计总体分布的原理, 在该校高二年级的所有学生中任抽一人, 估计 该生的身高在 155.5 cm~170.5 cm 之间的概率为( A. C. 2 5 2 3 B. D. 1 2 1 3 )

解析 从已知数据可以看出, 在随机抽取的这 20 位学生中, 身高在 155.5 cm~170.5 cm 2 之间的学生有 8 人,频率为 ,故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人,其身高在 5 2 155.5 cm~170.5 cm 之间的概率为 . 5 答案 A 4.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件 A={抽到一等品},事件 B={抽到二等品}, 事件 C={抽到三等品},且已知 P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1.则事件“抽到的不是 一等品”的概率为( A.0.7 C.0.35 解析 P=1-P(A)=0.35. 答案 C ) B.0.65 D.0.3

5.(2015·衡水模拟)右面的茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其 中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( A. 2 5 7 B. 10 4 C. 5 D. 9 10 )

解析 设被污损的数字为 x,则

x 甲= (88+89+90+91+92)=90, x 乙= (83+83+87+99+90+x),
8 4 若 x 甲= x 乙,则 x=8,若 x 甲> x 乙,则 x 可以为 0,1,2,3,4,5,6,7,故 P= = . 10 5 答案 C 6.在第 3、6、16 路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车),有 一位乘客需在 5 分钟之内乘上公共汽车赶到厂里, 他可乘 3 路或 6 路公共汽车到厂里, 已知 3 路车和 6 路车在 5 分钟之内到此车站的概率分别为 0.20 和 0.60,则该乘客在 5 分钟内能 乘上所需要的车的概率为( A.0.20 C.0.80 ) B.0.60 D.0.12 1 5

1 5

解析 “能乘上所需要的车”记为事件 A,则 3 路或 6 路车有一辆路过即事件发生,故

P(A)=0.20+0.60=0.80.
答案 C 二、填空题 7.从一堆苹果中任取了 20 个,并得到它们的质量(单位:克)数据分布表如下: 分组 频数 [90,100) 1 [100, 110) 2 [110, 120) 3 [120, 130) 10 [130, 140) 3 [140, 150] 1

则这堆苹果中质量不小于 120 克的苹果数约占苹果总数的________%. 解析 由表中可知这堆苹果中,质量不小于 120 克的苹果数为:20-1-2-3=14,故 14 约占苹果总数的 =0.70,即 70%. 20 答案 70 8.已知盒子中有散落的棋子 15 粒,其中 6 粒是黑子,9 粒是白子,已知从中取出 2 粒 1 12 都是黑子的概率是 ,从中取出 2 粒都是白子的概率是 ,现从中任意取出 2 粒恰好是同色 7 35 的概率是________. 解析 从盒子中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率恰为取 2 粒白子的概率与取 2 粒黑子 1 12 17 的概率的和,即为 + = . 7 35 35 答案 17 35

9.(理)盒内有大小相同的 9 个球,其中 2 个红色球,3 个白色球,4 个黑色球.规定取 出 1 个红色球得 1 分,取出 1 个白色球得 0 分,取出 1 个黑色球得-1 分.现从盒内一次性 取 3 个球.则取出的 3 个球得分之和恰好为 1 分的概率是________. 解析 记“取出 1 个红色球, 2 个白色球”为事件 A, “取出 2 个红色球, 1 个黑色球” C2C3 为事件 B, 则取出 3 个球得分之和为 1 分的事件为“A+B”, 则 P(A+B)=P(A)+P(B)= 3 C9 C2C4 5 + 3= . C9 42 答案 5 42
2 1 1 2

(文)在集合 A={2,3}中随机取一个元素 m, 在集合 B={1,2,3}中随机取一个元素 n, 得 到点 P(m,n),则点 P 在圆 x +y =9 内部的概率为________. 解析 点 P(m,n)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),6 种情况,只有
2 2

2 1 2 2 (2,1),(2,2)这 2 个点在圆 x +y =9 的内部,所以概率为 = . 6 3 答案 1 3

三、解答题 10.黄种人人群中各种血型的人所占的比例见下表: 血型 该血型的人所占的比例/% A 28 B 29 AB 8 O 35

已知同种血型的人可以互相输血,O 型血的人可以给任一种血型的人输血,任何人的血 都可以输给 AB 型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是 B 型血,若他因病需要 输血,问 (1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少? (2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少? 解 (1)对任一人,其血型为 A,B,AB,O 型血分别记为事件 A′,B′,C′,D′,它

们是互斥的.由已知,有 P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35. 因为 B, O 型血可以输给 B 型血的人, 故“任找一个人, 其血可以输给小明”为事件 B′ ∪D′,根据概率加法公式,得 P(B′∪D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64. (2)由于 A,AB 型血不能输给 B 型血的人,故“任找一个人,其血不能输给小明”为事 件 A′∪C′,且 P(A′∪C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36. 11.袋中有红、黄、白 3 种颜色的球各 1 只,从中每次任取 1 只,有放回地抽取 3 次, 求: (1)“3 只球颜色全相同”的概率. (2)“3 只球颜色不全相同”的概率. 解 (1)“3 只球颜色全相同”包括“3 只全是红球”(事件 A), “3 只全是黄球”(事件

B),“3 只全是白球”(事件 C),且它们彼此互斥,故“3 只球颜色全相同”这个事件可记
为 A∪B∪C,又 P(A) 1 =P(B)=P(C)= ,故 P(A∪B∪C) 27 1 =P(A)+P(B)+P(C)= . 9 (2)记“3 只球颜色不全相同”为事件 D,则事件 D 为“3 只球颜色全相同”, 1 又 P( D )=P(A∪B∪C)= . 9 1 8 所以 P(D)=1-P( D )=1- = , 9 9

8 故“3 只球颜色不全相同”的概率为 . 9 培 优 演 练

1.设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b,确定平 面上的一个点 P(a,b),记“点 P(a,b)落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn(2≤n≤5,n∈N), 若事件 Cn 的概率最大,则 n 的所有可能值为( A.3 C.2 和 5 解析 P(a,b)的个数为 6 个. 1 2 落在直线 x+y=2 上的概率 P(C2)= , 若在直线 x+y=3 上的概率 P(C3)= , 落在直线 6 6 ) B.4 D.3 和 4

x+y=4 上的概率 P(C4)= ,落在直线 x+y=5 上的概率 P(C5)= .
答案 D 2.(理)(2014·新课标全国卷Ⅰ)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益 活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( A. C. 1 8 5 8
4

2 6

1 6

)

B. D.

3 8 7 8

解析 方法一:由题意知基本事件总数为 2 =16, C4 对 4 名同学平均分组共有 2=3(种), A2 对 4 名同学按 1,3 分组共有 C4种, 所以周六、周日都有同学参加共有 3×A2+C4A2=14(种). 14 7 由古典概型得所求概率为 = . 16 8 方法二: 周六没有同学参加公益活动即 4 位同学均在周日参加公益活动, 此时只有一种 情况;同理周日没有同学参加公益活动也只有一种情况,所以周六、周日均有同学参加公益 14 7 活动的情况共有 16-2=14(种).故所求概率为 = . 16 8 答案 D (文)三张卡片上分别写有字母 E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单 词 BEE 的概率为________. 解析 记写有字母 E 的两张卡片分别为 E1、E2,则三张卡片随机排成一行的所有可能情
2 1 2 1 2

况为



,共 6 种,其中三张卡片

2 1 恰好排成英文单词 BEE 的事件个数为 2,故所求的概率 P= = . 6 3 答案 1 3

x2 y2 3.(2015·宣武模拟)曲线 C 的方程为 2+ 2=1,其中 m,n 是将一枚骰子先后投掷两次 m n
所得点数,事件 A=“方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”,那么 P(A)=________. 解析 试验中所含基本事件个数为 36;若想表示椭圆,则先后两次的骰子点数不能相

x2 y2 m n

同,则去掉 6 种可能,既然椭圆焦点在 x 轴上,则 m>n,又只剩下一半情况,即有 15 种, 15 5 因此 P(A)= = . 36 12 答案 5 12

4.(理)年龄在 60 岁(含 60 岁)以上的人称为老龄人,某地区老龄人共有 35 万,随机调 查了该地区 700 名老龄人的健康状况,结果如下表: 健康指数 60 岁至 79 岁的人数 80 岁及以上的人数 2 250 20 1 260 45 0 65 20 -1 25 15

其中健康指数的含义是:2 表示“健康”,1 表示“基本健康”,0 表示“不健康,但 生活能够自理”,-1 表示“生活不能自理”. (1)估计该地区 80 岁以下老龄人生活能够自理的概率; (2)若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于 1.2,则该地区可被评为“老龄健康地 区”.请写出该地区老龄人健康指数 X 的分布列,并判断该地区能否被评为“老龄健康地 区”. 解 250+260+65 23 (1)该地区 80 岁以下老龄人生活能够自理的频率为 = , 250+260+65+25 24

23 所以该地区 80 岁以下老龄人生活能够自理的概率约为 . 24 (2)该地区老龄人健康指数 X 的可能取值为 2,1,0, -1, 其分布列为(用频率估计概率):

X

2

1

0

-1

P E(X)=2×

270 700

305 700

85 700

40 700

270 305 85 40 +1× +0× +(-1)× =1.15, 700 700 700 700

因为 E(X)<1.2,所以该地区不能被评为“老龄健康地区”. (文)设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m,n,令平面向量 a=(m,n),b=(1,-3). (1)求使得事件“a⊥b”发生的概率; (2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率; (3)求使得事件“直线 y= x 与圆(x-3) +y =1 相交”发生的概率. 解 (1)由题意知,m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6}.故(m,n)所有可能的取法

m n

2

2

共 36 种. 使得 a⊥b,即 m-3n=0,即 m=3n,共有 2 种:(3,1),(6,2),∴事件 a⊥b 的概率为 2 1 = . 36 18 (2)|a|≤|b|, 即 m +n ≤10, 共有 6 种: (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1). ∴ 6 1 其概率为 = . 36 6 (3)由直线与圆的位置关系,得
2 2

d=

|3m|

m +n

2

2

<1,即 <

m 2 ,共有 5 种:(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,6). n 4

m 5 2 2 ∴直线 y= x 与圆(x-3) +y =1 相交的概率为 . n 36


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