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函数定义域、值域求法总结精学生用


只要你拥有记忆能力和计算能力的身躯,老师给你插上数学思维的翅膀,你就可以翱翔蓝天。 。 。 。 。 。 --------云中龙

函数定义域、值域求法总结
一、定义域是函数 y=f(x)中的自变量 x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于 0。 (4)指数、对数的

底数大于 0,且不等于 1 (5)y=tanx 中 x≠kπ +π /2;y=cotx 中 x≠kπ 等等。 ( 6 ) x0 中 x ? 0 二、值域是函数 y=f(x)中 y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) 法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) 求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 (3)函数单调性 (6)反函数法(逆 (9)复合函数法

三、典例解析 1、定义域问题
例 1 求下列函数的定义域: ① f ( x) ?

1 ; x?2

② f ( x) ? 3x ? 2 ;

③ f ( x) ?

x ?1 ?

1 2? x

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例 2 求下列函数的定义域: ① f ( x) ?

4 ? x2 ?1

② f ( x) ?

x 2 ? 3x ? 4 x ?1 ? 2

③ f ( x) ?

1 1? 1 1? 1 x

④ f ( x) ?

( x ? 1) 0 x ?x

⑤y?

x?2 ?3 ? 3

1 3x ? 7

例 3 若函数 y ?

ax2 ? ax ?

1 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围 a

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例 4 若函数 y ? f ( x) 的定义域为[?1,1],求函数 y ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的定义域

1 4

1 4

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例 5 已知 f(x)的定义域为[-1,1],求 f(2x-1)的定义域。

例 6 已知已知 f(x)的定义域为[-1,1],求 f(x )的定义域。

2

练习:设 f ( x) 的定义域是[?3, 2 ],求函数 f ( x ? 2) 的定义域

王新敞
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例 7 已知 f(2x-1)的定义域为[0,1],求 f(x)的定义域

已知 f(3x-1)的定义域为[-1,2) ,求 f(2x+1)的定义域。 (提示:定义域是自变量 x 的取值范围)

练习: 已知 f(x2)的定义域为[-1,1],求 f(x)的定义域

若 y ? f ? x ? 的定义域是 ? 0, 2? ,则函数 f ? x ? 1? ? f ? 2x ? 1? 的定义域是 A. ??1,1? 已知函数 f ? x ? ? A. A B ??





? 1 1? , ? 2 2? ?

C. ? ,1? 2

?1 ? ? ?

D. ?0, ? 2 ( )

? 1? ? ?

1? x 的定义域为A,函数 y ? f ? ? f ? x ?? ? 的定义域为B,则 1? x B ? B B.B ? A C. A B ? B D. A ? B

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2、求值域问题
利用常见函数的值域来求(直接法) 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x
2

二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,

2 当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) };当 a<0 时,值域为{ 4a

(4ac ? b 2 ) y| y? }. 4a

例1

求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1 ? x ? 1) ③ y ? x?

2 ② f ( x) ? ? ( 1 ? x ? 3) 3x

4

3

1 (记住图像) x
-6

f?x? = x+
-4 -2

1 2 x -1 o
2 1 -1 -2 -3

y=x 1 -2
2 4 6

-4

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二次函数在区间上的值域(最值): 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ① y ? x 2 ? 4x ? 1 ; ②; y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [3,4]
y 3 2 1 -2 -1 O -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 x

③ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ?[0,1] ; ④ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [0,5] ;

注:对于二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , ⑴若定义域为 R 时, ①当 a>0 时,则当 x ? ? ②当 a<0 时,则当 x ? ?
2 b 时,其最小值 y min ? (4ac ? b ) ; 2a 4a

2 b 时,其最大值 y max ? (4ac ? b ) . 2a 4a

⑵若定义域为 x ? [a,b],则应首先判定其顶点横坐标 x0 是否属于区间[a,b]. ①若 x0 ? [a,b],则 f ( x0 ) 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时, 再比较 f (a), f (b) 的大小决定函数的最大(小)值. ②若 x0 ? [a,b], 则 [a,b]是在 f ( x) 的单调区间内,只需比较 f (a), f (b) 的大小即可决定函数的最大 (小)值. 注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
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练习:1、求函数 y=3+√(2-3x)的值域

2、求函数 y ? x 2 ? 2 x ? 5 , x ? ?0,5? 的值域

例 3 求函数 y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性, 求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。 练习:求函数 y=3+√4-x 的值域。

法二:换元法(下题讲)

例4

求函数 y ? x ? 2 1 ? x 的值域

点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值 域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习:求函数 y=√x-1 –x 的值域。

例5

(选)求函数 y ?

x ? 3 ? 5 ? x 的值域

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例6

(选不要求)求函数 y ? x ? 1 ? x 2 的值域 解: (三角换元法) ?

?1 ? x ? 1

? 设 x ? cos? ? ? ?0, ? ?

y ? cos? ? sin ? ? cos? ? sin ? ? 2 sin(? ? ) ? ? 1, 2 4 ? 原函数的值域为? 1 , 2

?

?

?

?

?

小结: (1)若题目中含有 a ? 1,则可设

a ? sin ? ,?

?
2

?? ?
2

?
2

(或设 a ? cos ? ,0 ? ? ? ? )
2

(2)若题目中含有 a ? b ? 1 则可设 a ? cos? , b ? sin ? (3)若题目中含有 1 ? x 2 ,则可设 x ? cos ? ,其中 0 ? ? ? ? (4)若题目中含有 1 ? x 2 ,则可设 x ? tan ? ,其中 ?

,其中 0 ? ? ? 2?

?
2

?? ?

?
2

(5)若题目中含有 x ? y ? r ( x ? 0, y ? 0, r ? 0) ,则可设 x ? 其中 ? ? ? 0 ,

r cos2 ? , y ? r sin 2 ?

? ?

??
? 2?
y 4

例7

求 y ? x ? 3 ? x ?1

的值域

-1 -4 练习: y ? x ? x ? 1 的值域呢?

0

1

3

x

例8

求函数 y ? 9 ? 3 ? 2 ( x ? ?0,1? ) 的值域
x x

解: (换元法)

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?1? 例 9 求函数 y ? ? ? ? 3?
解: (换元法)

? x2 ?2 x

的值域

y 例 10 求函数 y ? 2
x

( x ? 0) 的值域
1 0 x

解: (图象法)如图,值域为 求函数 y ?

例 11

x ?1 的值域 x?2

解法一: (逆求法)

解法二: (分离常数法)

小结:已知分式函数 y ? 为 ?y y ?

ax ? b (c ? 0) ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域 cx ? d

? ?

a? ,采用部分分式法将原函数化为 ? ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件) c?

ad a c (ad ? bc) ,用复合函数法来求值域。 y? ? c cx ? d b?
例 12 求函数 y ?

3x 的值域 3x ? 1
解法二: (换元法)设 3 ? 1 ? t
x

解法一: (逆求法)



小结:如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围,可采用逆求法。

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练习:y=

2x ? 1 ; (y∈(-1,1)). 2x ? 1

例 13 函数 y ?

x2 ?1 的值域 x2 ?1
解法二: (换元法)设 x ? 1 ? t ,则
2

解法一: (逆求法)

解法三: (判别式法)原函数可化为

( y ? 1) x 2 ? 0 ? x ? y ? 1 ? 0

解法四: (三角换元法)? x ? R

? ? ?? ?设 x ? tan? ? ? ? ? , ? ,则 ? 2 2?

y??

1 ? tan2 ? ? ? cos 2? ? 2? ? ?? ? , ? ? ? cos 2? ? ?? 1 , 1? 1 ? tan2 ?

? 原函数的值域为 { y | ?1 ? y ? 1}
例 14 求函数 y ?

5 的值域 2x ? 4x ? 3
2

解法一: (判别式法)

解法二: (复合函数法)

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例 15 函数 y ? x ?

1 ? 1 的值域 x
解法二: (不等式法)

解法一: (判别式法)

x 2 ? 2x ? 2 ( x ? ?1) 的值域 例 16 (选) 求函数 y ? x ?1
解法一: (判别式法) 解法二: (不等式法)

例 17 (选) 求函数 y ? 解: (换元法)

x 2 ? 2x ? 2 (?2 ? x ? 2) 的值域 x ?1

ax2 ? bx ? c 小结:已知分式函数 y ? (a 2 ? d 2 ? 0) ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域; 2 dx ? ex ? f
如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为 (选) y ?

二次式 一次式 (或 y ? ) 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最 一次式 二次式
a ( x ? 0) 的单调性去解。 x
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小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数 y ? x ?
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练习:
2 1 、y?x ?

1 ? 9( x ? 0) ; x2

2 、y?

5 2x ? 4x ? 3
2

3 、求函数的值域 ① y ? x? 2? x ; ② y ? 2 ? 4x ? x 2

4、求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域.

5、求函数 y ? 2x ? 4 1 ? x 的值域

6、 (选)求函数 y ?

x 2 ? 5x ? 6 的值域 x2 ? x ? 6

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