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1.3.1二项式定理课件


1.3.1二项式定理

展开下面式子 (a+b)2 = a2 +2ab+b2 =C20 a2 + C21 ab+ C22 b2

(a+b)3 =a3 + 3a2b+3ab2 + b3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3

那么将(a+b)4 ,(a+b)5 . 各项是什么呢?

/>
. .展开后,它们的

对(a+b)2展开式的分析

(a+b)2= (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为:a2 , ab , b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数. 考虑b: 每个都不取b的情况有C20 种,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种,则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种,则b2前的系数为C22

(a+b)2 = a2 +2ab+b2 =C20 a2 + C21 ab+ C22 b2

(a+b)2 = a2 +2ab+b2 =C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3

(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)=?
问题
1).(a+b)4展开后各项形式分别是什么? a4 a3b a2b2 ab3 b4 2).各项前的系数代表着什么?

各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现 的次数

3).你能分析说明各项前的系数吗?

a4

a3b

a2b2

ab3

b4

每个都不取b的情况有1种,即C40 ,则a4前的系数为C40 恰有1个取b的情况有C41种,则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种,则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种,则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种,则b4前的系数为C44 则 (a+b)4 =C40 a4 +C41 a3b +C42 a2b2 +C43 ab3 +C44 b4

二项展开式

?a ? b?

n

?C a ?C a
0 n n 1 n

n ?1

b?L?C a
k n

n?k n

b ? C b ?n ? N
k n n n

?

?

每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,则an前的系数为Cn0 恰有1个取b的情况有Cn1种,则an-1b前的系数为Cn1 恰有2个取b的情况有Cn2 种,则an-2b2前的系数为Cn2 ...... 恰有r个取b的情况有Cnk 种,则an-kbk前的系数为Cnk ...... 恰有n个取b的情况有Cnn 种,则bn前的系数为Cnn

二项式定理
n 0 n n

公式右边的多项式叫做 (a+b) n的展开式
1 n ?1 n k n n? k k

(a ? b) ? C a ? C a b ? ? ? C a

b ? ? ? C b (n ? N )
n n n *

①项数: 共有n+1项 ②次数: 各项的次数都等于n,

字母a按降幂排列,次数由n递减到0

, 字母b按升幂排列,次数由0递增到n .
③二项式系数:

C ( k ? {0,1,2,?, n})
k n

④二项展开式的通项:

Tk ?1 ? C a b

k n? k k n

7 1.写出( ? q) 1 的展开式

(1 ? q) ? C + C q + C q + C q + C q + C q + C q + C q
7
0 7 1 7 2 2 7 3 3 7 4 4 7 5 5 7 6 6 7

7 7 7

= 1 + 7q + 21q2 + 35q 3 + 35q 4 + 21q5 + 7q6 + q7
n 2.写出( ? x) 1 的展开式 r r n n 2 2 1 n (1 ? x) ? 1 ? C n x ? C n x ? ?? ? C n x ? ?? ? C n x

3.写出(a ? b) 的展开式
n

(a ? b) ?
n

Cna ? Cna
n

0

1

n ?1

b

a n? 2b 2 ? ?? ?C n
2

? ??1? C n a
r
r

n? r r

b

?? 1?n C n bn ? ?? ? n

? 1? 练习 展开?1 ? ? ? x? 4 2 3 4 ? 1? 1? 1 ? 2? 1 ? 3? 1 ? 4? 1 ? 解: ?1 ? ? ? 1 ? C4 ? ? ? C4 ? ? ? C4 ? ? ? C4 ? ? ? x? ? x? ? x? ? x? ? x?
4 6 4 1 ? 1? ? 2 ? 3 ? 4 x x x x

4

例 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项 第4项的二项式系数 第4项的系数
注:1)注意对二项式定理的灵活应用 2)注意区别二项式系数与项的系数的概念 二项式系数:Cnr; 项的系数:二项式系数与数字系数的积 3)求二项式系数或项的系数的一种方法是 将二项式展开,另一种是用二项式定理求

例 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项的系数

解 (1) (1+2x)7的展开式的第4项是 T3+1=C73×17-3× (2x)3 =35×23×x3

=280x3
所以展开式的第4项的系数280,二项式系数 是C73=35

例2

1? ? ?2?求? x ? ? 的展开式中x3的系数. x? ?

9

分析: 先求出x3是展开式的哪一项,再求它的系数
1? ? ?2?? x ? ? 的展开式的通项是 x? ? r
9

C x

r 9

9?r

? 1? r r 9? 2 r ? ? ? ? ?? 1? C9 x ? x?

9-2r =3 r =3
x3系数是 (-1)3C93=-84

练习 求(x+a)12的展开式中的倒数第4项

解: (x+a)12的展开式有13项,倒数第4 项是它的第10项

T9?1 ? C x

9 12 ?9 9 12

a ? 220 x a .
3 9

练习

?x 3 ? 求? ? ? 的展开式常数项 x? ?3
r 9 1 9? r ? r 2

9

x 9? r 3 r r 1 9?r r 解: Tr ?1 ? C ( ) ( ) ? C9 ( ) 3 x 3 3 x

1 由9-r- r ? 0得r ? 6. 2 6 1 9?6 6 T7 ? C9 ( ) 3 ? 2268 3

练习

x 3 9 ) 的展开式的中间两项 求 ( ? 3 x
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
x 9 ?4 3 4 3 T5 ? T4 ?1 ? C ( ) ( ) ? 42 x 3 x
4 9

x 9 ?5 3 5 T6 ? T5?1 ? C ( ) ( ) ? 42 x 3 x
5 9

3 2

小结

1)注意二项式定理中二项展开式的特征 2)区别二项式系数,项的系数 3)掌握用通项公式求二项式系数,项的系 数及项


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