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2013、2014、2015高考数学常见难题大盘点模块1:应用性问题


2013 高考数学常见难题大盘点:应用性问题
1. 近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快.2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦,年生产量的增长率为 34%.以后四年中,年生产量的增长率逐年递增 2%(如,2003 年的年生产量的增长率为 36%) . (1)求 2006 年全球太阳电池的年生产量(结果精确到 0.1 兆瓦) ; (2)目前太阳电池产业存在

的主要问题是市场安装量远小于生产量,2006 年的实际安 装量为 1420 兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%,到 2010 年,要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的 95%) ,这四年中太 阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到 0.1%)?

分析:本题命题意图是考查函数、不等式的解法等基础知识,考查运用数学知识分析解决问 题的能力。 解析(1)由已知得 2003,2004,2005,2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为 36% ,
38% , 40% , 42% . 则

2006

年 全 球 太 阳 电 池 的 年 生 产 量 为

670 ? 1.36 ? 1.38 ? 1.40 ? 1.42 ? 2499.8 (兆瓦).

( 2 )设太阳电池的年安装量的平均增长率为 x ,则

1420(1 ? x 4) ≥ 95% .解得 2499.8(1 ? 42%) 4

x ≥ 0 .6 1 5.因此,这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 61.5% .

点评:审清题意,理顺题目中各种量的关系是解决本题的关键。 2. 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元 ( 3 ≤ a ≤ 5 )的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元( 9 ≤ x ≤ 11 )时,一年的销售 量为 (12 ? x)2 万件. (Ⅰ)求该分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关 系式; (Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,该分公司一年的利润 L 最大 ,并求出 L 的最大 值 Q(a) .
[来源:Zxxk.Com]

分析:本题命题意图是考查函数的解析式的 求法、利用导数求最值、导数的应用等知识, 考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 解 析 :( Ⅰ ) 分 公 司 一 年 的 利 润 L ( 万 元 ) 与 售 价 x 的 函 数 关 系 式 为 :

L ? ( x ? 3 ? a)(12 ? x)2,x ?[9, 11] .
2 ( Ⅱ ) L?( x) ? (12 ? x) ? 2( x ? 3 ? a)(12 ? x) ? (12 ? x)(18 ? 2a ? 3x) , 令 L? ? 0 得

2 a 或 x ? 12 (不合题意,舍去) . 3 2 28 2 3 ≤ a ≤ 5 ,? 8 ≤ 6 ? a ≤ . 在 x ? 6 ? a 两侧 L? 的值由正变负. 3 3 3 2 9 所以(1)当 8 ≤ 6 ? a ? 9 即 3 ≤ a ? 时, 3 2 x ? 6?

Lmax ? L(9) ? (9 ? 3 ? a)(12 ? 9)2 ? 9(6 ? a) .
(2)当 9 ≤ 6 ?

2 28 9 a ≤ 即 ≤ a ≤ 5 时, 3 3 2
2 3

Lmax

2 2 2 ?? ? ?? ? ? 1 ? ? L(6 ? a ) ? ? 6 ? a ? 3 ? a ? ?12 ? ? 6 ? a ? ? ? 4 ? 3 ? a ? , 3 3 3 ?? 3 ? ? ?? ? ?

9 ? 3≤ a ? , ?9(6 ? a), 2 ? 所以 Q(a) ? ? 3 ?4 ? 3 ? 1 a ? , 9 ≤ a ≤ 5 ? ? ? 2 ? ? 3 ?
答:若 3≤ a ?

9 ,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 2

9 2 ? ? ;若 ≤ a ≤ 5 ,则当每件售价为 ? 6 ? a ? 元时,分公司一年的 Q(a) ? 9(6 ? a) (万元) 2 3 ? ?
利润 L 最大,最大值 Q(a) ? 4 ? 3 ? a ? (万元) . 点评:准确进行导数运算,掌握运用导数判断函数单调性及求函数极值、最值的方法是解决 此题的关键。 3. 某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养 老储备金,数目为 a1,以后每年交纳 的数目均比上一年增加 d (d>0) ,因此,历年所交纳的储务金数目 a1,a2,…是一个公 差为 d 的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不 仅采用固定利率,而且计算复利 . 这就是说,如果固定年利率 为 r(r>0) ,那么,在第 n 年末,第一年所交纳的储备金就变 为 a1(1+r)
-2

? ?

1 ? 3 ?

3

a-1

,第二年所交纳的储备金就变为 a2(1+r)

a

,……,以 Tn 表示到第 n 年末所累计的储备金总额. (Ⅰ)写出 Tn 与 Tn-1(n≥2)的递推关系式; (Ⅱ)求证: Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列, {Bn}是一个等差数列.

分析:本小题命题意图主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法,考查学 生的阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力,考查应用所学的知识分析和解决 实际问 题的能力。 解析: (1)我们有 Tn ? Tn?1 (1 ? r ) ? a n ( n ? 2 ) (2) T1 ? a1 ,对 n ? 2 反复使用上述关系式,得:

Tn ? Tn?1 (1 ? r ) ? a n ? Tn?2 (1 ? r ) 2 ? an?1 (1 ? r ) ? an ? ? ?

a1 (1 ? r ) n?1 ? a2 (1 ? r ) n?2 ? ? ? an?1 (1 ? r ) ? an 。①
在①式两边同乘以 1 ? r ,得:

(1 ? r )Tn ? a1 (1 ? r ) n ? a2 (1 ? r ) n?1 ? ? ? an?1 (1 ? r ) ? an (1 ? r ) ②
由②-①,得 rTn ? a1 (1 ? r ) n ? d[(1 ? r ) n?1 ? (1 ? r ) n?2 ? ? (1 ? r )] ? an

a r?d dn a1 r ? d d ? 。 [(1 ? r ) n ? 1 ? r ] ? a1 (1 ? r ) n ? an ,即 Tn ? 1 2 (1 ? r ) n ? r r r2 r a r?d a r?d d dn a1 r ? d ? ? ? 1 2 ? n ,则 Tn ? An ? Bn , 如果记 An ? 1 2 (1 ? r ) n , B n ? ? 2 r r r r r a r?d 其 中 ?An ? 是 以 ? 1 2 (1 ? r ) 为 首 项 , 以 1 ? r (r ? 0) 为 公 比 的 等 比 数 列 ; ?Bn ? 是 以 r a r?d d d ? 1 2 ? 为首项,以 ? 为公差的等差数列。 r r r

?

点评:掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、以及求和方法是解决此题的关键。 4. 如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航

行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里. 当甲船航行 20 分钟到达 A1 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B1 处,此时两船相 距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?(07 山东理) 分析:本题命题意图是通过实际问题考查了正弦定理、余弦定理、解三角形的能力以及分析 解决问题的能力。 解析:如图,连结 A1B2 , A2 B2 ? 10 2 , A1 A2 ?

20 ? 30 2 ? 10 2 , ?A1 A2 B2 是等 60

边三角形, ?B1 A 1B2 ? 105? ? 60? ? 45? ,在 ?A 1 B2 B 1 中,由余弦定理得
2 2 B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B1 ? A1B2 cos 45? ,

? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ? 10 2 ? 60 ? 30 2. 20
答:乙船每小时航行 30 2 海里.

2 ? 200 , B1B2 ? 10 2. 因 此乙船 的速 度的 大小 为 2

点评: 连接 A1B2 , 构造两个可解的三角形 ?A1 A2 B2 与 ?A 此外, 1 B2 B 1 是处理此题的关键, 还可连接 A2 B1 来解。

5. 某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二工序加工而成,两道工序的
加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有 A、B 两个等级.对每种产品,两道工序的加

工结果都为 A 级时,产品为一等品,其余均为二等品.
(Ⅰ)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 果为 A 级的概率如表一所示,分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率 P 甲、P 乙; (Ⅱ)已知一件产品的利润如表二所示,用ξ 、 η 分别表示一件甲、乙产品的利润,在
利 等级 润 产品 甲 乙 5(万元) 2.5(万元) 2.5(万元) 1.5(万元) 一等 二等 概 率 产品 甲 乙 0.8 0.75 0.85 0.8 工序 第一工序 第二工序

(I)的条件下,求ξ 、η 的分布列及 Eξ 、Eη ; (Ⅲ)已知生产一件产品需用的工人数和资金额 如表三所示.该工厂有工人 40 名,可用资. 金 60 万元.设 x、y 分别表示生产甲、乙产 品的数量,在(II)的条件下,x、y 为何 值时, z ? xE? ? yE? 最大?最大值是多少? (解答时须给出图示)

分析:本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建 立与求解等基础知识,考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力 解析(Ⅰ)解: P , 甲 ? 0.8 ? 0.85 ? 0.68

P 乙 0.75? 0.8 ? 0.6.

(Ⅱ)解:随机变量 ? 、 ? 的分别列是

?
P

5 0.68

2.5 0.32

?
P

2.5 0.6

1.5 0.4

E? ? 5 ? 0.68 ? 2.5 ? 0.32 ? 4.2, E? ? 2.5 ? 0.6 ? 1.5 ? 0.4 ? 2.1.
?5 x ? 10 y ? 60, ? (Ⅲ)解:由题设知 ?8 x ? 2 y ? 40, 目标函数为 z ? xE? ? yE? ? 4.2 x ? 2.1y. ? ? x ? 0, ? ? y ? 0.
作出可行域(如图) ,作直线 l : 4.2 x ? 2.1y ? 0, 将 l 向右上方平移至 l1 位置时,直线经过可行域上 的点 M 点与原点距离最大,此时 z ? 4.2 x ? 2.1y 取最

大值. 解方程组 ?

?5 x ? 10y ? 60, ?8 x ? 2 y ? 40.

[来源:Zxxk.Com]

得 x ? 4, y ? 4. 即 x ? 4, y ? 4 时,z 取最大值,z 的 最大值为 25.2 . 点评: 6. 某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 ? 的分布列为

?

1

2

3

4

5

P

0.4

0.2

0.2

0.1

0.1

商场经销一件该商品,采用 1 期付款,其利润为 200 元;分 2 期或 3 期付款,其利润为 250 元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 300 元,? 表示经销一件该商品的利润。 (Ⅰ) 求事件 A: “购买该商品的 3 位顾客中, 至少有 1 位采用 1 期付款” 的概率 P ( A) ; (Ⅱ)求? 的分布列及期望 E? 。 分析:本题命题意图是主要考察对立事件的概率以及分布列及期望的知识,考查学生的

阅读理解能力及分析解决问题能力。

[来源:学科网 ZXXK]

解析: (Ⅰ)由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款” .知 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款” P( A) ? (1 ? 0.4)2 ? 0.216 ,

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 0.216 ? 0.784 .
(Ⅱ)? 的可能取值为 200 元, 250 元, 300 元. P(? ? 200) ? P(? ? 1) ? 0.4 ,

P(? ? 250) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ,
P(? ? 300) ? 1 ? P(? ? 200) ? P(? ? 250) ? 1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.2 .

? 的分布列为

?
P

200
0.4

250
0.4

300
0.2

. E? ? 200 ? 0.4 ? 250 ? 0.4 ? 300 ? 0.2 ? 240 (元) 点评:掌 握对立事件的概率和为 1,学会用间接法求解 概率问题。 7. 某人在一山坡 P 处观看对面山项上的一座铁塔,如图所 示,塔高 BC=80(米) ,塔所在的山高 OB=220(米) ,OA=200 (米) ,图中所示的山坡可视为直线 l 且点 P 在直线 l 上,与 水平地面的夹角为 ? , tan ? ?

1 试问此人距水平地面多高 2

时,观看塔的视角∠BPC 最大(不计此人的身高) 解:如图所示,建立平面直角坐标系,则 A(200,0) ,B (0,220) ,C(0,300) , 直 线

l

的 方 程 为 y ? ( x ? 200) tan? , 即

x ? 200 . 设点 P 的坐标为(x,y) , 则 2 x ? 200 P ( x, )( x ? 200 ). 由 经 过 两 点 的 直 线 的 斜 率 公 式 2 x ? 200 ? 300 x ? 800 2 k PC ? ? , x 2x y?

x ? 200 ? 220 x ? 640 2 k PB ? ? . 由直线 PC 到直线 PB 的角的公式得, x 2x 160 k ? k PC 64x 2x tan BPC ? PB ? ? 2 x ? 800 x ? 640 x ? 288x ? 160? 640 1 ? k PB ? k PC 1? ? 2x 2x
? 64 ( x ? 200 ). 160 ? 640 x? ? 288 x

[来源:学科网 ZXXK]

要使 tanBPC 达到最大,只须 x ?

160 ? 640 ? 288 达到最小,由均值不等式 x

x?

160 ? 640 ? 288 ? 2 160 ? 640 ? 288, x

[来源:学科网 ZXXK]

160 ? 640 时上式取得等号,故当 x=320 时 tanBPC 最大,这时,点 P 的纵坐 x 320 ? 200 ? 60. 标y为 y? 2
当且仅当 x ? 由此实际问题知,0 ? ?BPC ?

?

2

, 所以 tanBPC 最大时,∠BPC 最大,故当此人距水平地面

60 米高时,观看铁塔的视角∠BPC 最大. 8. 如图, 设曲线 y ? e ( x ? 0) 在点 M (t , e ) 处的切线 l与x轴y 轴所围成的三角形面积为
?x ?t

S (t ) ,求(1)切线的方程;2)求证 S (t ) ?
(1)解:

2 e

y

f ' ( x) ? (e? x )' ? ?e? x ,
M
?t

? 切线的斜率为 ? e

x
?t

故切线的方程为 y ? e

? ?e?t ( x ? t ) ,即 e?t x ? y ? e?t (t ? 1) ? 0
?t

(2)证明:令 y ? 0得x ? t ? 1 ,又令 x ? 0得y ? e (t ? 1) ,

? S (t ) ?

1 1 (t ? 1) ? e?t (t ? 1) ? (t ? 1) 2 e ?t 2 2 1 ?t ' 从而 S (t ) ? e (1 ? t )(1 ? t ). 2

当t ? (0,1)时, S ' (t ) ? 0, 当t ? (1, ??)时, S ' (t ) ? 0,
? S (t ) 的最大值为 S (1) ?

2 2 ,即 S (t ) ? e e

点评:应用导数法求函数的最值,并结合函数图象,可快速获解,也充分体现了求导法

在证明不等式中的优越性。 9. 对于定义在区间 ?m, n? 上的两个函数 f ? x ? 和 g ? x ? ,如果对任意的 x ??m, n? ,均有不 等式 f ? x ? ? g ? x ? ? 1 成立,则称函数 f ? x ? 与 g ? x ? 在 ?m, n? 上是“友好”的,否则称“不 友好”的.现在有两个函数 f ? x ? ? loga ? x ? 3a ? 与 g ? x ? ? log a 区间 ? a ? 2, a ? 3? . (1)若 f ? x ? 与 g ? x ? 在区间 ? a ? 2, a ? 3? 上都有意义,求 a 的取值范围; (2)讨论函数 f ? x ? 与 g ? x ? 在区间 ? a ? 2, a ? 3? 上是否“友好”. 答案: (1)函数 f ? x ? 与 g ? x ? 在区间 ? a ? 2, a ? 3? 上有意义,

1 ? a ? 0, a ? 1? ,给定 x?a

? a ? 2 ? 3a ? 0 ? 必须满足 ? a ? 2 ? a ? 0 ? 0 ? a ? 1 ?0 ? a, a ? 1 ?
(2)假设存在实数 a ,使得函数 f ? x ? 与 g ? x ? 在区间 ? a ? 2, a ? 3? 上是“友好”的, 则 f ? x ? ? g ? x ? ? log a x ? 4ax ? 3a
2
2 2 即 ?1 ? log a x ? 4ax ? 3a ? 1

?

2

? ? log ? x
a

2

? 4ax ? 3a 2 ? ? 1
(*)

?

?

因为 a ? ? 0,1? ? 2a ? ? 0,2? ,而 ? a ? 2, a ? 3? 在 x ? 2a 的右侧,
2 2 所以函数 g ? x ? ? log a x ? 4ax ? 3a 在区间 ? a ? 2, a ? 3? 上为减函数,从而

?

?

? ? g ? x ?? ? max ? g ? a ? 2 ? ? log a ? 4 ? 4a ? ? ? g ? x ?? ? min ? g ? a ? 3? ? log a ? 9 ? 6a ?
于是不等式(*)成立的充要条件是

?log a ? 4 ? 4a ? ? 1 ? 9 ? 57 ?log a ? 9 ? 6a ? ? ?1 ? 0 ? a ? 12 ?0 ? a ? 1 ?
因此,当 0 ? a ?

9 ? 57 时,函数 f ? x ? 与 g ? x ? 在区间 ? a ? 2, a ? 3? 上是“友好” 12

的 ;当 a ?

9 ? 57 时,函数 f ? x ? 与 g ? x ? 在区间 ? a ? 2, a ? 3? 上是不“友好”的. 12


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