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对数函数、


①请根据下图的提示填写与对数有关的概念:

指数

对数



真数

底数

a>0,且a≠1 ②其中a的取值范围是:___________.

3.已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n. 【解析】因为loga2=m

,loga3=n,

所以am=2,an=3,
所以a2m+n=(am)2·an=22×3=12.

(2)两种常见对数:

对数形式









常用对数

10 底数为___

lgN ____

自然对数

e 底数为__

lnN ____

2.对数的性质、换底公式与运算性质

性质
换底

log a N 0 1 N a ①loga1=__,②logaa=__,③ =__(a>0 且a≠1)

公式

logc b logab= (a,c均大于0且不等于1,b>0) logca

如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: 运算 性质 ①loga(M·N)=___________ logaM+logaN nlogaM ③logaMn=______(n∈R)

M ②loga =__________ logaM-logaN N

5.(2012· 北京卷)已知函数 f(x)=lgx,若 f(ab)=1,则 f(a2) 2 +f(b )=__________.
解析:由 f(ab)=1 得 lgab=1,ab=10.f(a2)+f(b2)=lga2+ lgb2=lg(a2b2)=lg102=2. 答案:2

(2)(必修1P75A组T11改编)(log29)·(log34)=(

)

A. 1

B. 1

C.2

D.4

lg 9 lg 4 2lg 3 2lg 2 【解析】选D.(log2 ? ? ? ? 4. 29)·(log34)= lg 2 lg 3 lg 2 lg 3

4

3.对数函数的定义、图象与性质 定义 底数 y=logax 函数_______(a>0, 且a≠1)叫做对数函数 a>1 0<a<1

图象

y 2 1
0
11 42

y ? log 2 x

y ? log 3 x
1 2 3

4

x

-1

y ? log 1 x
3

-2

y ? log 1 x
2

规律:在 x=1的右边看图象,图象越高底数越 小.即图高底小

考点2

对数函数的图象及应用

【典例2】(1)(2014·山东高考)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数.
其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )

A.a>1,c>1
C.0<a<1,c>1

B.a>1,0<c<1
D.0<a<1,0<c<1

(1)选D.由图象单调递减的性质可得0<a<1,图象向左平

移小于1个单位,故0<c<1,故选D.

定义域

(0,+∞) ________

值域

R __

(1,0) 当x=1时,y=0,即过定点______
当0<x<1时,y<0; 性质 y>0 当x>1时,____ y>0 当0<x<1时,____; y<0 当x>1时,____

在(0,+∞)上是_______ 增函数

在(0,+∞)上是_______ 减函数

4.反函数
y=logax x 指数函数y=a (a>0,且a≠1)与对数函数_______(a>0,且a≠1) y=x 对称. 互为反函数,它们的图象关于直线____

(2)若(lg x) ? 2lg x ? 3 ? 0, 则x ? _____
2

4.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1, 则f(x)等于( A. ) C. log 1 x
2

1 2x

B.2x-2

D.log2x

【解析】选D.由题意知f(x)=logax,又f(2)=1, 所以loga2=1,所以a=2,所以f(x)=log2x.

【典例2】(1)(2014·大连模拟)已知lga+lgb=0(a>0且a≠1, b>0且b≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=-logbx的图象可能是( )

【规范解答】(1)选B.因为lg a+lg b=0,即lg ab=0,所以ab=1,
得b= 1 ,故g(x)=-logbx=-log x=logax,
1 a 则f(x)与g(x)互为反函数,其图象关于直线 y=x对称,结合图

a

象知,B正确.

(3)记忆口诀:①换底公式的记忆口诀
换底公式真神奇,换成新底可任意, 原底加底变分母,真数加底变分子.

②对数函数性质口诀
对数函数很简单,图象恒过(1,0)点. a大1时单调增,(0,1)之间单调减.

图象都在y轴右,第一象限底逆减.

2.(2013·陕西高考)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式 中恒成立的是( ) B.logab·logca=logcb

A.logab·logcb=logca

C.loga(bc)=logab·logac

D.loga(b+c)=logab+logac

【解析】选B.由对数的运算性质:loga(bc)=logab+logac, 可判断选项C,D错误;选项A,由对数的换底公式知, logab·logcb=logca? lg b ?lg b ? lg a ?lg2b=lg2a,此式不恒

成立,故错误;对选项B,由对数的换底公式知,logab·logca
故恒成立.

lg a lg c lg c

?

lg b lg a lg b ? ? ? logc b, lg a lg c lg c

(2)(必修1P75A组T11改编)(log29)·(log34)=(

)

A. 1

B. 1

C.2

D.4

【解析】选D.(log2 29)·(log34)=

4

lg 9 lg 4 2lg 3 2lg 2 ? ? ? ? 4. lg 2 lg 3 lg 2 lg 3

2.(2014·保定模拟)设2a=5b=m,且 1 1 =2,则m=______. 【解析】因为2a=5b=m,所以a=log 所以 1 ? 1 ?
2m,b=log5m,

a b

?

=logm2+logm5=logm10=2,

1 1 ? a b log 2 m log5m
.

所以m2=10,m=
答案:

10
10

补充练习 已知lg2=a,lg3=b,请用a,b表示下列各式的值. 1.log36=
lg 6 lg 2 ? lg 3 a ? b ? ? lg 3 lg 3 b

1 1 ? 2.log210= lg 2 a 10 lg lg 5 1 ? lg 2 1 ? a 2 3.log35= ? ? ? lg 3 lg 3 lg 3 b

2 lg 3 ? 2 lg 2 2a ? 2b 4.log1236= ? lg 3 ? 2 lg 2 2a ? b

【变式训练】(2014·济南模拟)设函数
x ? 2 ,x ? 0, f(x)= ? log 2 x,x ? 0, ? 则f(f(-1))=_______.

【解析】f(-1)=2-1= ,所以f(f(1))=f( )=log2 答案:-1
1 2 1 =-1. 2 1 2

【变式训练】(1)(2014·郑州模拟)当0<x≤ 1 时,4x<logax,

则a的取值范围是(
A.(0,

)
B.(

2

2 C.(1, 2 )
2

)

2 D.( 2 ,2)
2

,1)

【解析】选B.由0<x≤ 1 ,且logax>4x>0, 可得0<a<1, 由 4 ? log a
1 2

2

令f(x)=4x,g(x)=logax,

1 可得a= 2 , 2 2

若4x<logax,

1 则说明当0<x≤ 时,f(x)的图象恒 2 2如图 在g(x)图象的下方( 2 2
所示),此时需a> . 综上,可得a的取值范围是(

2

,1).

复合函数单调性
y ? f ( x)

u ? g ( x)
增函数
减函数 增函数 减函数

y ? f [ g ( x)]

增函数
增函数 减函数 减函数

增函数
减函数 减函数 增函数

求对数型复合函数的单调区间
求下列函数的单调区间:
2 (1)f(x)= log2 (-2x ? x ? 6) ;

(2)f(x)=log0.1(2x2-5x-3).

【分析】复合函数的单调性,宜分解为两个基本函数后解决.
【解析】(1)令t=-2x2+x+6=-2 (x
3 <x<2, 2

1 2 49 ? ) + . 8 4

∵由-2x2+x+6>0知-

? 3 1? ∴当x∈ ? - , ?时,随x的增大t的值增大,从而log t的值增大; 2 ? 2 4? 1 ? 当x∈ ? ,2 ? 时,随x的增大t的值减小,从而log 2t的值减小. ? ?4 ? 1 ? ∴函数y=log 2(-2x2+x+6)的单调减区间是 ? ,2 ? ,单调增区间 ? ?4 ?



? 3 1? ?- , ? ? 2 4?

.

3.(2014·中山模拟)已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,a≠1),若

f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为
【解析】当a>1时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数, 由f(x)>1恒成立,则f(x)min=loga(8-2a)>1, 解之得1<a< 8 ,

.

3

若0<a<1时,f(x)在x∈[1,2]上是增函数, 由f(x)>1恒成立,则f(x)min=loga(8-a)>1, 且8-2a>0,所以a>4,且a<4,故不存在. 综上可知,实数a的取值范围是 .

答案:

8 (1, ) 3

8 (1, ) 3

课堂思考题

1若函数y=loga(2–ax)在[0,1] 上是减函数,求a的取值范围
1<a<2

2.若函数y= –log2(x2 –2ax +a)在(–∞ , –1) 上是增函数,求a的取值范围. 解:令u=g(x)= x2 –2ax +a,
∵ 函数y=–log2u为减函数

∴ u=g(x)= x2 –2ax +a在(–∞ , –1)
为减函数,且满足u>0,



a ≥ –1
g(–1) ≥0

解得: a ≥ -1/3

所以a的取值范围为[–1/3,+∞)

自我纠错6

对数函数的参数求值问题

【典例】(2015·兰州模拟)已知函数y=logax(2≤x≤4)的最大值比 最小值大1,则a的值为____.

【自我矫正】(1)若a>1, 则函数y=logax(2≤x≤4)为增函数,

由题意得loga4-loga2=loga2=1,
所以a=2,又2>1,符合题意.

(2)若0<a<1, 则函数y=logax(2≤x≤4)为减函数, 由题意得loga2-loga4=loga 1=1,

2 1 所以a= 1 ,又0< <1,符合题意. 2 2 1 综上可得a=2或a= . 2 答案:2或 1 2

应用一、 过定点问题
1、函数 y ? loga ( x ? 2) ? 1(a ? 0且a ? 1) (3,1) 必过点_____
练1:函数y ? loga ( x ? x ? 5) ? 3(a ? 0且a ? 1) (3,3)和(-2,3) 的图像恒过定点
2


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