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【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第七章 数列、推理与证明 第44课 推理与证明 文


第 44 课 推理与证明
(本课时对应学生用书第 页)

自主学习 回归教材

1.(选修1-2P31例1改编)前提:蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥 蜴是用肺呼吸的.蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物. 则结论是 【答案】所有的爬行动物都是用肺呼吸的 .

2 3 2 4 2 5 2?m 2 , , 2.(选修1-2P32例3改编)由 3 < 4 3 < 5 3 < 6 ,?,猜想:若m>0,则 3 ? m 与 3 之间的大小
关系为 .

2?m 2 【答案】 3 ? m > 3

3.(选修1-2P33练习3改编)观察下列等式: 1+3=2 , 1+3+5=3 , 1+3+5+7=4 , ? 从中归纳出一般结论是 【答案】1+3+5+?+(2n+1)=(n+1) (n∈N )
2 * 2 2 2

.

4.(选修1-2P47定义改编)分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的 【答案】充分

条件.

5.(选修1-2P49例1改编)要证明“正弦函数没有比2π 小的正周期”可选择的方法有以下几种, 其中最合理的是 .(填序号)

①反证法;②分析法;③综合法. 【答案】①

1

1.推理一般包括合情推理和演绎推理.其中合情推理又包括归纳推理和类比推理. “三段论”是演绎推理的一般模式,包括:大前提、小前提、结论.

2.归纳推理是部分到整体,由特殊到一般的推理; 类比推理是由特殊到特殊的推理; 演绎推理是由一般到特殊的推理.

3.证明分直接证明和间接证明. 直接证明又有综合法、分析法等. 常用的间接证明方法是反证法.

4.综合法是从已知条件出发,经过逐步的推理,达到待证的结论. 分析法是从待证的结论出发,寻求结论成立的充分条件,达到题设的已知条件或已被证明的事 实. 反证法是从假设结论不成立入手,推出与已知条件、公理、定理或显然成立的事实等矛盾的结 果,从而判定假设错误,结论成立.一般步骤为反设、归谬、存真.

【要点导学】 要点导学 各个击破

合情推理

2

例1

一种十字绣作品由相同的小正方形构成,如图,图①②③④分别是制作该作品前

四步时对应的图案,按照如此规律,第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f(n).

?
① ② (例1) (1)求出f(2),f(3),f(4)的值; (2)利用归纳推理,归纳出f(n+1)与f(n)的关系式; (3)猜想f(n)的表达式,并写出推导过程. 【思维引导】 (1) 先观察图形,得出 f(1) , f(2) , f(3) , f(4) 的值,从中得出 f(n+1) 与 ③ ④

f(n)的关系;(2)归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理,所得的推理不一定正确,
通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也就越可靠,它是一种发现 一般性规律的重要方法;(3)数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递 推关系可以依次写出这个数列的各项,再由递推关系求数列的通项公式,常用方法有:一是求 出数列的前几项,再归纳总结出数列的一个通项公式;二是将已知递推关系式整理、变形,变 成等差数列或者等比数列,或用累加法,累乘法,迭代法求通项. 【解答】(1)图①中只有一个小正方形,得f(1)=1; 图②中有3层,以第2层为对称轴,有 1+3+1=5个小正方形,得f(2)=5; 图③中有5层,以第3层为对称轴,有1+3+5+3+1=13个小正方形,得f(3)=13; 图④中有7层,以第4层为对称轴,有 1+3+5+7+5+3+1=25个小正方形,得f(4)=25; (2)因为f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, 所以f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3, ? 所以f(n)-f(n-1)=4×(n-1)=4n-4, 所以f(n+1)与f(n)的关系式为f(n+1)-f(n)=4n. (3)猜想f(n)的表达式为2n -2n+1. 推导过程如下:由(2)可知:
2

f(2)-f(1)=4=4×1, f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3,

3

?

f(n)-f(n-1)=4×(n-1)=4n-4,
将上述n-1个子相加,得f(n)-f(1)=4[1+2+3+4+?+(n-1)], 解得f(n)=2n -2n+1, 故f(n)的表达式为f(n)=2n -2n+1. 【精要点评】归纳推理的主要入手点是条件的形式特点或意义特点,根据发现的特点进 行合理的猜想,再给出证明.
2 2

例2 在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+?+an=a1+a2+?+a19-n(n<19,n∈N )成 立,类比上述性质,相应地,在等比数列{bn}中,若b9=1,则有等式 成立. 【思维引导】等差数列→用加减法定义→性质用加法表述;类比地,可考虑:等比数列 →用乘除法定义→性质用乘法表述. 【答案】b1b2·?·bn=b1b2·?·b17-n(n<17,n∈N ) 【解析】对于等差数列{an},若ak=0, 则an+1+a2k-1-n=an+2+a2k-2-n=?=ak+ak=0, 所以有a1+a2+?+an=a1+a2+?+an+(an+1+an+2+?+a2k-2-n+a2k-1-n)(n<2k-1,n∈N ), 从而对等比数列{bn},若bk=1, 则有等式b1b2?bn=b1b2?b2k-1-n(n<2k-1,n∈N )成立.另外,许多时候可以考虑如下类比: 加与减,乘与除,平面与立体,二维与三维等.
* * *

*

变式 (2015·福建卷)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2?xn(n∈N ),其中xk(k=1, 2,?,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即 码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x1x2?x7的码元满足如下校验方程组:

*

? x4 ? x5 ? x6 ? x7 ? 0, ? ? x2 ? x3 ? x6 ? x7 ? 0, ? x ? x ? x ? x ? 0, 3 5 7 ? 1

其中运算⊕定义为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.现已知一个这

种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1 101 101,那么利用上述校验方程组 可判定k= 【答案】5 .

4

【解析】1 101 101中x1=x2=x4=x5=x7=1,x3=x6=0,则x4⊕x5⊕x6⊕x7=1,不满足方程组,

x2⊕x3⊕x6⊕x7=0,满足方程组,所以推测x4或x5错误.又x1⊕x3⊕x5⊕x7=1,不满足方程组,所以 x5错误,故k=5.

综合法与分析法证明 例3 在△ABC中,已知3b=2 3 asin B,且cos A=cos C,求证:△ABC为等边三角形.

3 【解答】由3b=2 3 asin B ?3sin B=2 3 sin Asin B ?sin A= 2
cos A=cos C ?A=C,

π 2π ?A= 3 或 3 .由

π 所以A=C= 3 =B,所以△ABC为等边三角形.
【精要点评】综合法包括的证明方法比较多,如作差、作商法,左向右、右向左、两边 向中间法,由恒(不)等式证明(不)恒等式法,借助几何图形证明法等.

a2 ?
例4 用分析法证明:若a>0,则

1 1 2 a - 2 ≥a+ a -2.

【思维引导】分析法证明的思路是执果索因,即寻找使结论成立的充分条件,通常对于 分式不等式、无理不等式的证明常采用分析法,分析法要确保分析得到的最终结果必须是一个 正确的结论,如题目提供的条件、某条公理、某条定理等,注意分析法证题的规范表述,防止 循环论证.

a2 ?
【解答】要证

1 1 2 a - 2 ≥a+ a -2,

a2 ?
只要证

1 1 2 a +2≥a+ a + 2 .因为a>0,
2

? 2 1 ? 1 a ? ? 2 ? ? 2 ? ? a ? ≥(a+ a + 2 )2, 故只要证 ?

1 1 1 1 a2 ? 2 2 2 2 a +4≥a2+2+ a +2 2 (a+ a )+2, 即证a + a +4

5

a2 ?
从而只要证2

1? 1 ? 2 ?a ? ? 2 a?, a ≥ ?

1 ? ? 2 1 ? ? 2 1 ?a ? 2 ? ?a ? 2? 2 ? a ? ≥2 ? a ? ,即证a2+ a 2 ≥2, 只要证4 ?
而该不等式显然成立,故原不等式成立. 【精要点评】分析法除了用来证明外,还能引导学生用分析法思考问题.培养学生逆向思 维的能力,要求学生学会用分析法逆向解决问题,用分析法写综合法过程.

反证法证明

1? x 1? y 例5 若x,y都是正实数,且x+y>2,求证: y <2与 x <2中至少有一个成立.
【思维引导】对于直接难以证明或含否定词或含至多至少的命题的证明,通常考虑使用 反证法证明.本题中含有“至少”,所以本题的证明采用反证法证明较好.先假设原命题的结论

1? x 1? y 不正确,即原命题结论的反面成立,即 y ≥2, x ≥2同时成立,因为x,y均为正实数,
进而可得1+x≥2y,1+y≥2x,再由同向不等式的可加性得到x+y≤2,这与已知矛盾,进而可得 假设不正确,从而肯定原命题的结论成立.

1? x 1? x 1? y 1? y 【解答】假设 y <2与 x <2都不成立,则有 y ≥2, x ≥2同时成立.
因为x,y均为正实数, 所以1+x≥2y,1+y≥2x. 两式相加,可得2+x+y≥2x+2y, 即x+y≤2,这与已知条件x+y>2矛盾.

1? x 1? y 因此假设不成立,所以 y <2与 x <2中至少有一个成立.
【精要点评】反证法其实是一个反向思维的过程,同学们可以把反向思维与逆向思维过 程进行比较,从而充分认识如何用不同思维方式解决不同问题.同时要认清反证法与命题部分 充分性知识的联系.

6

变式 已知a,b,c都是大于0且小于1的实数,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少

1 有一个不大于 4 . 1 1 1 【解答】假设(1-a)b> 4 ,(1-b)c> 4 ,(1-c)a> 4 ,
则由基本不等式可得

(1-a)b >2× 2 =1, (1-a)+b≥2
1 (1-b)c >2× 2 =1, (1-b)+c≥2 1 (1-c)a >2× 2 =1, (1-c)+a≥2
于是(1-a)+b+(1-b)+c+(1-c)+a=3>1+1+1=3,这与事实矛盾,从而假设不成立,原命题成 立.

1

1 所以(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于 4 .

1.观察下列等式: (1+1)=2×1, (2+1)(2+2)=2 ×1×3, (3+1)(3+2)(3+3)=2 ×1×3×5, ? 照此规律,第n个等式为
n
3 2

.

【答案】(n+1)(n+2)(n+3)·?·(n+n)=2 ·1·3·5·?·(2n-1)

2.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如 图所示的三角形数.

7

1

3 (第2题)

6

10

将三角形数1,3,6,10,?记为数列{an},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一 个新数列{bn},可以推测:b2 017是数列{an}中的第 【答案】5 044 【解析】由已知可得an+1=an+(n+1), 项.

n(n ? 1) 2 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+(n-2)+?+1= .
所以三角形数依次为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,?, 由此可得每5个数中有两个数能被5整除,把5个数分成1组,后两个数能被5整除,b2 017是数列 {an}中的第1 009组的第四个数,所以b2 017是数列{an}中的第1 008×5+4=5 044项.

3.(2015·湖北卷)已知集合A={(x,y)|x +y ≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,

2

2

y∈R} , 定 义 集 合 A⊕B={(x1+x2 , y1+y2)|(x1 , y1)∈A , (x2 , y2)∈B} , 则 A⊕B 中 元 素 的 个 数
为 【答案】45 【解析】因为集合A={(x,y)|x +y ≤1,x,y∈Z}, 所以集合A中有5个元素(即5个点),即图中圆中的整点,集合B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,
2 2

.

y∈Z} 中 有 25 个 元 素 ( 即 25 个 点 ) , 即 图 中 正 方 形 ABCD 中 的 整 点 , 集 合 A⊕B={(x1+x2 , y1+y2)|(x1 , y1)∈A , (x2 , y2)∈B} 的元素可看作正方形 A1B1C1D1 中的整点 ( 除去四个顶点 ) ,即
7×7-4=45个.

(第3题)

8

4.(2015·全国卷)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d. (1)求证:若ab>cd,则 a + b > c + d ; (2)求证: a + b > c + d 是|a-b|<|c-d|的充要条件. 【解答】(1)要证 a + b > c + d ,
2 2 只需证( a + b ) >( c + d ) ,

即证a+b+2 ab > c+d+2 cd , 由题设知a+b=c+d, 所以只需证2 ab >2 cd , 即证ab>cd, 由题设知ab>cd成立, 因此 a + b > c + d 得证. (2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b) <(c-d) , 即(a+b) -4ab<(c+d) -4cd. 因为a+b=c+d,所以ab>cd. 由(1)得 a + b > c + d . ②若 a + b > c + d ,
2 2 则( a + b ) >( c + d ) , 2 2 2 2

即a+b+2 ab >c+d+2 cd . 因为a+b=c+d,所以ab>cd. 于是(a-b) =(a+b) -4ab<(c+d) -4cd=(c-d) , 因此|a-b|<|c-d|. 综上, a + b > c + d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.
2 2 2 2

1 2 2 5.已知x∈R,a=x + 2 ,b=2-x,c=x -x+1,试证明a,b,c中至少有一个不小于1.
【解答】假设a,b,c均小于1,

9

即a<1,b<1,c<1,则有a+b+c<3,

? 1? 1 2 ? x- ? 2 而a+b+c=2x -2x+ 2 +3= ? 2 ? +3≥3,
两者矛盾,故假设不成立. 所以a,b,c至少有一个不小于1.

2

趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第87~88页.

【检测与评估】 第44课 推理与证明 一、 填空题 1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆,○○○●●○○○●●○○○?,按这种规律往下排, 那么第36个圆的颜色应是 .

2.(2015·浙江卷)设A,B是有限集,定义d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示 有限集A中的元素个数.命题①,对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充要条件; 命题②,对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C),其中正确的是 号) .(填序

3.(2015·吉林模拟)如图,第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1,2,3,?),则在第n 个图形中共有 个顶点.

?

1

② (第3题)





10

4.(2015·广东卷)若空间中n(n>2)个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值为

.

5. 已知边长分别为 a , b , c 的△ABC 的面积为 S ,内切圆 O 的半径为 r ,连接 OA , OB , OC ,则

1 1 1 1 1 1 △OAB , △OBC , △OAC 的 面 积 分 别 为 2 cr , 2 ar , 2 br. 由 S= 2 cr+ 2 ar+ 2 br , 得 2S r= a ? b ? c .类比得:四面体的体积为V,四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,则内切球的半
径R= .

6.(2015·泉州联考)已知三次函数f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0),设f'(x)是函数y=f(x)的导数,

3

2

f″(x)是 f'(x)的导数,若方程 f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数 y=f(x)的“拐
点”.某同学经过探究发现,任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中

1 1 5 3 2 心,且“拐点”就是对称中心.设函数f(x)= 3 x - 2 x +3x- 12 ,请你根据该同学的发现,计算
? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 2016 ? ? ? ? ? ? ? ? ? f ? 2017 ? +f ? 2017 ? +f ? 2017 ? +? +f ? 2017 ? =

.

7.(2015·陕西卷)观察下列等式:

1 1 1- 2 = 2 , 1 1 1 1 1 1- 2 + 3 - 4 = 3 + 4 , 1 1 1 1 1 1 1 1 1- 2 + 3 - 4 + 5 - 6 = 4 + 5 + 6 ,
?? 据此规律,第n个等式可为 .

8.过点P(-1, 0)作曲线C:y=e 的切线,切点为T1,设T1在x轴上的投影是点H1;过点H1再作曲 线 C 的切线,切点为 T2 ,设 T2 在 x 轴上的投影是点 H2 ;?.依次下去,得到第 n+1(n∈N) 个切点 Tn+1,则点Tn+1的坐标为 .

x

11

二、 解答题

3 9.已知sin 45°+sin 105°+sin 165°= 2 ;
2 2 2

3 2 2 2 sin 10°+sin 70°+sin 130°= 2 .
通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并证明你的结论.

10.根据要求证明下列各题: (1)用分析法证明: 3 - 2 > 6 - 5 ; (2)用反证法证明:1, 2 ,3不可能是一个等差数列中的三项.

1 1 1-an ?1 - 1-an =1. 11.已知数列{an}满足a1=0,且
(1)求数列{an}的通项公式;

设bn ?
(2)

1- an ?1 n

,记S n ? ? bk ,求证:S n ? 1.
k ?1

n

三、 选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果)

x 2 -y 2 12.(2015· 山 东 卷 ) 定 义 运 算 “ ? ” : x ? y= xy (x , y∈R , xy≠0). 当 x>0 , y>0 时 ,
x ? y+(2y) ? x的最小值是
.

13.(2015·广东卷)若集合E={(p,q,r,s)|0≤p<s≤4,0≤q<s≤4,0≤r<s≤4且p,q,r,

s∈N},F={(t,u,v,w)|0≤t<u≤4,0≤v<w≤4且t,u,v,w∈N},用card(X)表示集合X中
的元素个数,则card(E)+card(F)= .

12

【检测与评估答案】 第44课 推理与证明

1. 白色 【解析】找规律:3白2黑,周期为5.

2. ①② 【解析】命题①显然正确;通过如图所示的venn图亦可知d(A,C)表示的区域不大于

d(A,B)+d(B,C)的区域,故命题②也正确.

(第2题)

3.(n+2)(n+3) 【解析】第1个图形由三角形“扩展”而来,共3×4=12个顶点;第2个图形由 正方形“扩展”而来,共4×5=20个顶点;第3个图形由正五边形“扩展”而来,共5×6=30个 顶点;第4个图形由正六边形“扩展”而来,共6×7=42个顶点;?;第n个图形由正n+2边形 “扩展”而来,共(n+2)(n+3)个顶点.

4. 3或4 【解析】显然正三角形和正四面体的顶点是两两距离相等的,即n=3或n=4时命题成 立.

3V S ? S2 ? S3 ? S4 5. 1

【解析】设球心为O,分别连接四个顶点与球心O,将四面体分割成底面

1 1 1 1 面积分别为S1,S2,S3,S4,高为R的三棱锥,其体积分别为 3 S1R, 3 S2R, 3 S3R, 3 S4R.由

3V 1 1 1 1 V= 3 S1R+ 3 S2R+ 3 S3R+ 3 S4R,得R= S1 ? S2 ? S3 ? S4 .

13

?1 ? 1 1? ? , 2 6. 2 016 【解析】f '(x)=x -x+3,由 f ″(x)=2x-1=0,得x= 2 ,则 ? 2 ? 为y=f(x)的对称

? 1 ? ? 2016 ? ? 2 ? ? 2015 ? ?1? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 中心,故f ? 2017 ? +f ? 2017 ? =f ? 2017 ? +f ? 2017 ? =?=2f ? 2 ? =2,故f ? 2017 ? +f ? 2 ? ? 3 ? ? 2016 ? ? ? ? ? ? ? ? 2017 ? +f ? 2017 ? +?+f ? 2017 ? =2 016.
1 1 1 1 1 1 1 1 7.1- 2 + 3 - 4 +?+ 2n-1 - 2 n = n ? 1 + n ? 2 +?+ 2 n

【解析】观察等式知:第n个等式的左

边有2n个数相加减,奇数项为正,偶数项为负,且分子为1,分母是1到2n的连续正整数,等式

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 的右边是 n ? 1 + n ? 2 +?+ 2 n .故答案为1- 2 + 3 - 4 +?+ 2n-1 - 2 n = n ? 1 + n ? 2 +?+ 2 n .

1 1 1 n 8.(n,e ) 【解析】设T1(x1, e ),由切线方程为y- e = e (x-x1),将点(-1,0)代入得-

x

x

x

e x2 e x1 = e x1 (-1-x1),即x1 e x1 =0,从而x1=0,所以T1(0,e0);设T2(x2, e x2 ),则 e x2 = x2 ,解得
e x3 x3 x3 x2=1,所以T2(1,e);设T3(x3, e ),则 e = x3 -1 ,解得x3=2,所以T3(2,e2)??通过归纳可
猜想:Tn+1(n,e ), n∈N.
n

3 2 2 2 9.因为sin 45°+sin 105°+sin 165°= 2 , 3 2 2 2 sin 10°+sin 70°+sin 130°= 2 , 3 那么可以猜想一般结论为sin α +sin (α +60°)+sin (α +120°)= 2 .证明如下:
2 2 2

1-cos2? 1-cos(2? ? 120 0 ) 1-cos(2? ? 2400 ) 3 1 2 2 2 左边= + + = 2 - 2 [cos 3 1 2α +cos(2α +120°)+cos(2α +240°)]= 2 - 2 (cos 2α +cos 2α cos 120°-sin 2α sin

14

3 3 1 1 120°+cos 2α cos 240°-sin 2α sin 240°)= 2 - 2 (cos 2α - 2 cos 2α - 2 sin 2α -

3 1 3 2 cos 2α + 2 sin 2α )= 2 =右边,
所以原等式得证.

2 2 10.(1)要证 3 - 2 > 6 - 5 ,即证 3 + 5 > 2 + 6 ,即证( 3 + 5 ) >( 2 + 6 ) ,

即证8+2 15 >8+2 12 , 即证 15 > 12 ,即证15>12,而15>12显然成立,所以 3 - 2 > 6 - 5 .
* (2)假设1, 2 ,3是某一个等差数列中的三项,且分别是第m,n,k项(m,n,k∈N ),

2-1 3-1 则该数列的公差d= n -m = k -m ,
2(n-m) 则 2 -1= k -m .
因为m,n,k∈N ,所以(n-m),(k-m)∈Z,
*

2(n-m) 所以 k -m 为有理数,
所以 2 -1是有理数,这与 2 -1是无理数相矛盾,故假设不成立,所以1, 2 ,3不可能是 某等差数列的三项.

1 1 1-an?1 - 1-an =1, 11.(1)由题设得



? 1 ? ? ? ?1-an ?

是公差为1的等差数列.

1 1 1-a1 =1,故 1-an =n, 又
1 所以an=1- n .

15

1- an ?1
(2)由(1)得bn=

n

1 n ? 1- n 1 = n ? 1? n = n - n ? 1 ,

所以Sn= k ?1

?b

n

k

1 ? ? 1 1 ? k k ? 1 ? =1- n ? 1 <1. bk= k ?1

?? ?

n

12. 2

(2 y ) 2 -x 2 4 y 2 -x 2 【解析】由新定义运算知,(2y) ? x= (2 y )?x = 2 xy ,因为x>0,y>0,所以

x 2 -y 2 4 y 2 -x 2 x 2 ? 2 y 2 2 2 xy x ? y+(2y) ? x= xy + 2 xy = 2 xy ≥ 2 xy = 2 ,当且仅当x= 2 y时,
x ? y+(2y) ? x取得最小值为 2 .

13. 200 【解析】当s=4时,p,q,r都是取0,1,2,3中的一个,有4×4×4=64种;当s=3 时,p,q,r都是取0,1,2中的一个,有3×3×3=27种;当s=2时,p,q,r都是取0,1中的一 个,有2×2×2=8种;当s=1时,p,q,r都取0,有1种,所以card(E)=64+27+8+1=100.当t=0 时,u取1,2,3,4中的一个,有4种;当t=1时,u取2,3,4中的一个,有3种;当t=2时,u取 3,4中的一个,有2种;当t=3时,u取4,有1种,所以t,u的取值有1+2+3+4=10种.同理,v,w 的取值也有10种,所以card(F)=10×10=100,所以card(E)+card(F)=100+100=200.

16



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