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校优质课 《向量的数乘运算及其几何意义》教学设计


2.2.3 《向量的数乘运算及几何意义》教学设计
课题 2.2.3 向量的数乘运算及 几何意义 高一年级 课 时 课 型 1 授课时 45 分钟 间 孔明明

授课对象

新 授 授课人 课

三维教学目标

1、知识与能力 通过经历探究数乘运算法则及其几何意义的过程,掌握实数与向量积 的定义;理解实数与向量积的几何意义;掌握实数与向量积的运算律. 2、过程与方法 通过师生互动理解两个向量共线的等价条件, 能够运用两向量共线条 件判断两向量是否平行,进而判定点共线或直线平行. 3、情感态度与价值观 通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方 法(从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、 总结等) ;培养创新能力和积极进取精神;通过具体问题,体会数学在实 际生活中的重要作用. 教学重点: 1.理解并掌握向量数乘的定义及几何意义; 2.熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律; 3.掌握向量共线定理,会判定或证明两向量共线。 教学难点:对向量共线的等价条件的理解以及运用。 以启发式教学为主,设置层层问题,采用多种探究方法相结合的方 式. 1.师生共同探究法 2.学生独立自主探究法 3.学生分组合作探究法 培养学生既能独立思考, 又能积极与他人合作交流的意识和勇于探索 创新的精神. 学生在已经学习了近一学期的高中课程内容后,在思想和思维模式 上已经适应了高中的课程和高中的教学方式。学生能适应自主探究、师 生互动的学习方式,动手操作能力强,勇于创新,敢于发表自己的见解。 只要教师创设情境合理,精心设计问题串,循序渐进层层深入,学生能 很快地构建起新的数学知识,教师只要作必要的归纳,就会帮助学生上 升到理性认识的层面。同时为了更熟练地掌握知识和应用知识,需加强 学生的课堂练习。 三角板、投影仪、多媒体辅助教学

教 学 重、难点

教学方法

学情分析

教学用具

复习回顾,情景引入 引入 作图探究向量数乘运算的概念

得出向量数乘运算的定义及其几何意义

口答题、练习题

作图探究向量数乘运算律

例 1 及巩固练习

学生合作探究共线向量定理

练习

教学基本流程
例 2 讲解

变式一、 变式二讲解

归纳总结

例 3、例 4 讲解

课堂检测

课堂小结

作业布置

教学 环节 复习 回顾 情景 引入

教学内容 复习回顾:向量的加法、向量的减 法

教师活动 教师提问

学生活 动 学生回 答 学生思 考并容 易回答 ? 出 3a , ? - 3a , ? 0a 学生作 图,观 察并思 考

设计意图 复习回顾,引发新知

问题:已知甲向东走了 1 千米, 教师提问 乙向东走了 3 千米,丙向西走了 3 千米,丁站在原地没有动,如果把 ? 甲的位移用 a 来表示,那么怎么用 向量来表示乙、丙、丁的位移? 作图:已知非零向量 a ,作出 想一想:它们的大 ? ? ? ? ? ? ( + + a + a + a 和 ? a )( ? a )( ? a ) 小和方向有什么变 化?

探究 1:向 量的 数乘 运算 定义 极其 几何 意义 得出 新知

?

实数与向量的积的定义:

问题 1: 请大家根据 学 生 思 ? 一般地,实数 ? 与向量 a 的积 上述问题并作一下 考 并 单 ? 是一个向量, 记作 ? a , 它的长度与 类比,看看怎样定 作答 方向规定如下:

用 学生 熟悉 的物 理 知识引入今天的新课, 是学生有一种似曾相 识的感觉。 激发学生的 求知欲和增强学生的 自信心。 认识和理解向量数乘的 几何意义必须从几何直 观入手,即通过让学生 自己作图,以及独立观 察、思考,让学生对向 量的伸缩有一个初步的 感性认识,进而为下一 步对向量的数乘的定义 及其几何意义的理性认 识作好铺垫。 通过引出向量的数乘的 定义,让学生体会从特 殊到一般的思想方法

? ? 积? (1) | ? a |?| ? || a | ; ? ? (2) ? ? 0 时,? a 的方向与 a 的 当
方向相同; 当 ? ? 0 时,? a 的方向与 a 的方向相反; 当?

义实数与向量的

?

?

?0

时, ? a ? 0 . 问题 2: 你能说明它 的几何意义吗? 学生思 考交流 并作答 从从直观入手,从具体 开始,逐步抽象。通过 师生互动,得到向量数 乘的几何意义是把向量

?

?

? ? a 沿 a 的方向或反方向
伸长或缩短 ? 倍。 说一说: 抽学生 回答, 并指出 其几何 意义 通过简单口答题来巩固 学生对向量数乘的理解 及应用,同时渗透几何 问题向量化的一种思考 方式。

a与下列向量之间的关系: 1 1 a、 a、a、 2a ? 2 ? 2 2

教师启发学生思考

练一练:

学生单 教材 P90 练习 2、 独作答

从心理学认为:概念一 旦形成,必须及时巩固 通过具体的计算初步感 知向量数乘的运算律, 体会从特殊到一般的归 纳的数学思想

3题
探究 2:运 算律 作图:(1) 根据定义,求作向量 教师启发学生思考 学生作 图并总 结规律

3( 2a ) 和 6a ( a 为非零向量),并进
行比较。 (2) 已知向量 a 、 b ,求作向 量 2( a ? b) 和 2a ? 2b ,并进行比 较。 实数与向量的积的运算律:

问题 4: 数的运算和 小 组 交 数学中引进一个新的量 ? ? (1) ? ( ? a) ? (?? )a (结合律) ; 运算律是紧密相连 流探讨 自然要看看它的运算及 ? ? ? 其运算律的问题。向量 (2)(? ? ? )a ? ? a ? ? a (第一分 的,运算律可以有

? ? ? ? (a+b ? a ? ? b (第二分 比数的乘法的运算 )= (3) ?
配律) . 律,你能说出数乘 的运算律吗?

配律) ;

效地简化运算。类

运算可以与学生熟悉的 数的运算进行类比,从 中得到启发。而书的运 算和运算律是紧密相连 的,运算律可以有效的 简化运算。类比数的乘 法的运算律引出数乘向 量的运算律。 小组交 流探讨 独立完 成,单 独回答 从心理学认为:概念一 旦形成, 必须及时巩固, 通过例 1 加深学生对数 乘向量运算律的理解。

问题 5: 你能解释上 述运算律的几何意 义吗? 例 1 计算:

? (1) (?3) ? 4a ; ? ? ? ? ? (2) 3(a ? b) ? 2(a ? b) ? a ;
(3)

提问、及时评价

? ? ? ? ? ? (2a ? 3b ? c) ? (3a ? 2b ? c) .

学 生 单 及时练习,及时巩固, 练一练 教材 P90 练习 5 独作答 反馈学生的学习情况 题 向量的加、减、数乘运算统称为向 量的线 性运算。对于 任意的向 量 本节作为向量线性运算 的最后一节,有必要综 合认识向量线性运算。

a, b ,以及任意实数 ? , ?1 , ?2 ,恒
有 ? ( ?1 a ? ?2 b) ? ?? 1 a ? ?? 2 b

对于向量 a (a ? 0) 、 b ,如果 有一个实数 ? ,使 b ? ?a ,那么由 向量数乘的定义知 a 与 b 共线,且

? ?

?

?

?

?

问题 6: 引入数乘向 量后,你能发现数 乘向量与原向量的 位置关系吗?

合 作 交 流,独 立作答.

?

?

? ? ? ? 是非零向量? 向量 b 是向量 a (a ? 0) 模的 ? 倍, ? 2) b 可 以 是 ? ? ? ? 而 ? 的正负由向量 a (a ? 0) 、 b 的

思考: ? 1) a 为什么要

师生共同活动引出 向量共线的定理;引导 学生理解向量共线只需 看这两个向量的方向相 同或是相反,在向量

? ? ? a (a ? 0) 的前提下,向
量 a (a ? 0) 、 b 共线, 当且仅当有一个实数

? ?

?

?

零向量吗? 方向所决定. 3) 怎样理解向 ? 量平行?与两直线 ? 反过来, 已知向量 a 与 b 共线, 平行有什么异同?

? ,使得 b ? ?a ;且实
数 ? 的唯一性是由向量

?

?

? ? ? ? a ? 0, 且向量 b 的长度是向量 a 的
长度的 ? 倍,即 b ? ? a ,那么当

? ? a 和 b 的模和方向同时
决定. 通过学生合作交 流,促进学生合作的集 体意识;通过学生独立 作答,提高学生分析问 题、解决问题的能力.

?

?

? ? ? ? ? a 与 b 同方向时,有 b ? ?a ;当 a
与 b 反方向时,有 b ? ? ?a . 从上述两方面可知

?

?

?

(板书)共线向量定理:向 ? ? ? ? 量 a (a ? 0) 、b 共线,当且仅当
? ? 有一个实数 ? ,使得 b ? ?a .
练一练 教材 P90 练习题 4 题 学生单 独作答 学生思 考作答 从心理学认为:概念一 旦形成,必须及时巩固 共线向量定理的应用 一:判断两向量是否共 线

例2、如图 , 已知 AD ? 3 AB , DE ? 3BC . 试判断 AC 与 AE 是否共线

引导学生思考

变式一:如图, 已知 AD ? 3 AB , ? 3BC DE . 试判断 A、C、E三点 的位置关系。

引导学生思考

学生思 考作答

共线向量定理的应用 二:判断三点共线

变式二:如图 , 已知 AD ? 3 AB , E ? 3AC . A 求证:BC // DE
? ? 例 3.如图, 已知任意两个向量 a , b ,
试 出 ? ? ? ? ? ? OA ? a ? b , OB ? a ? 2b , OC ? a ? 3b . 作

引导学生思考

学生思 考作答

共线向量定理的应用 三:判断直线平行

让学生完成作图

学生上 黑板上 作图

你能判断 A、B、C 三点之间的位置 关系吗?为什么?

这道例题是先让学生猜 想,再证明;利用向量 共线证明点共线,具体 方法是先证明向量共 线,再证明向量有公共 点;进而引出利用向量 共线证明直线平行. 综合运用向量的加、 减、 数乘等向量的线性运 算. 使学生明确:有了 向量的线性运算,平面 中的点、线段(直线) 就可以得到向量表示, 这是利用向量解决几何 问题的重要步骤. 1.知识性内容的总 结,可以把课堂教学传 授的知识尽快转化为学 生的素质.2.运用数学方 法,创新素质的小结能 让学生更系统,更深刻 地理解数学理想方法在 解题中的地位和作用, 并且逐渐培养学生的良 好个性品质.3.由学生口 头表述,不仅可以提高 学生的综合概括能力, 还能提高学生的口头表 达能力.

例 4.如图, ABCD 的两条对 引导学生思考
角 线 相 交 于 点 M , 且

学生思 考作答

? ? ? ? AB ? a , AD ? b , 你能用 a , b 表示 MA, MB, MC, MD 吗?

课堂 小结

一、① ②

?a 的定义及运算律;

?

引导学生体会本节 方法:特殊到一般, 归纳,猜想,类比, 分类讨论,等价转 化.

学习中用到的思想 ? ? 向量共线定理 (a ? 0) ,

? ? ? ? b ? ?a ? 向量 a 与 b 共线.
二、 定理的应用: (1) 证明向量共线; (2) 证 明 三 点 共 线 ;

AB ? ? BC ? A、B、C 三点共线;
(3) 证明两直线平行:

AB ? ? CD, AB与CD不在同一条直线上,
直线 AB∥直线 CD. 三、你体会到了那些数学思想. 课后 作业 教材 P91,A 组 9—13 题 (选做)B 组 3、4、5 课后思考:

? ? ?? ? ?

分层布置作业,让 每个学生都得到发展。 课后的思考题让学 生通过思考发现三点共 线的另一种形式。培养

已知三点A、B、C共线, O是平日面内任意一点, 若有OC ? ? OA ? ? OB, 试求证? ? ? ? 1

学生的综合能力。

板 书 设 计 2.2.3 向量数乘的运算及其几何意义
1. 向量数乘的定义; 2.数乘向量的运算律; 3.共线向量定理; 例题讲解 例 1. 例 2、变式一、变式二 例 3. 例4 课堂小结

教 学 反 思

1.向量数乘运算及其几何意义是继向量的加法、减法之后的基本运算,为了正确的认识 向量数乘运算及其几何意义,首先复习了向量的加法、减法,然后通过学生比较熟悉的位移 例子,引入主题。从实际问题出发引入新课,不但展示了教学的主要内容,而且还激发了学 生学习兴趣。 2.实数与向量的三个运算律,为了降低难度课本上没有证明,可以结合图形给学生直观 解释,程度好的学生可以适当指导给出证明,证明的关键是向量的两要素:方向和大小。 3.由于学生已理解平行向量,因此可以让学生观察平行向量间的关系,可以提示从方向 和大小两个方面来考虑。然后指出向量平行的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的。 给学生说明定理的作用,通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行,要指出与平面中 直线间的平行的区别。 4.本节课总共设置三个探究题,目的是通过学生自主探究、合作释疑,参与知识形成的 过程。本节课的教学理念是:体现学生的主体地位,培养学生科学的探究能力。设计本节课 之后,我想让学生在知识上:掌握向量数乘的定义、运算律及其几何意义,理解两个向量共 线的含义并能解决:向量共线、三点共线、直线平行等问题。在能力上:培养学生自主探究 知识形成的过程的能力,合作释疑过程中合作交流的能力。通过对例题的分析,使学生掌握 解题的思想和方法;对变式训练的操作,使学生巩固知识点的掌握;通过当堂检测,判断学 生的收获;通过课后拓展提高,开阔学生视野,拓宽知识面。希望通过本节课,能更好的培 养学生的创新能力。

邹城市第一中学优质课 评比参评教案

新课程标准高中数学人教 A 版高中数学必修 4

授课人:孔明明 2013 年 3 月 20 日


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