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方法教育——二次函数及其图像复习【2014中考复习课件】


方法教育
2014中考复习特意呈现

? ?

本课课程 二次函数及其图像复习

要点梳理
1.定义:形如函数 y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数, 叫做二次函数.

且a≠0)

2.利用配方,可以把二次函数y=ax2+bc+c表示成 y=a

/>? b ? 2 4ac-b2 ?x+ ? + 2a? 4a ?

.

3.图象与性质:
二次函数的图象是抛物线,当 a>0 时抛物线的开口 向上 ,这
b b x≥- 时当 x≤- 2a 时,y的值随x的增大而 减小 ;当 2a 时, b y的值随x的增大而 增大 ;当x= -2a 时,y有 最小值 . b 当 a<0 时抛物线开口 向下 ,这时当 x≤- 2a 时,y的值随x b 的增大而 增大 ;当 x≥- 2a 时,y的值随x的增大而 减小 ; b 4ac-b2 当x= -2a 时,y有 最大值 4a . b - 抛物线的对称轴是直线x= 2a ,抛物线的顶点 2 ? b 4ac-b ? ? ? 是 ?-2a, 4a ? .

4.图象的平移:

[难点正本 疑点清源]
1.正确理解并掌握二次函数的概念以及解析式的三种形式的转化
根据定义可知,二次函数需满足两个条件:①a≠0,②x的最高 次数为2.一般式y=ax2+bx+c(a≠0). 如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0), 则解析式可以写成交点式y=a(x-x1) (x-x2 ) .

将解析式y=ax2+bx+c通过配方法可化成顶点式y=a(x+h)2+k;
将顶点式、交点式展开,合并同类项后,即可化成一般式y=ax2+ bx+c.

在已知抛物线上三个点的坐标时,我们通常设一般式,然后将
三个点的坐标分别代入关系式中,解方程组,求出各系数,以确 定函数关系式;在已知拋物线顶点坐标时,我们通常设顶点式,

只要再找到一个条件,即可求此函数关系式;在已知抛物线与x
轴两个交点坐标时,我们通常设交点式,再寻找一个条件即可求 函数关系式.

2.正确认识二次函数与二次方程间的关系
已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为k,求自变量x的值,就 是解一元二次方程ax2+bx+c=k;反过来,解一元二次方程ax2+

bx+c=k,就是把二次函数y=ax2+bx+c-k的函数值看做0,求
自变量x的值.学习这部分知识,可以类比一次函数与一元一次方 程的关系.

抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0),同样满足、
b , x x = c ;两交点间的距离︱x -x ︱= b2-4ac . x1+x2=- 1 2 1 2 a a ︱a︱

基础自测
1.(2011· 北京)抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为( A ) A.(3,-4) C.(-3,-4) B. (3,4) D.(-3,4)

解析:y=x2-6x+5=(x2-6x+9)-4=(x-3)2-4, 则抛物线顶点坐标为(3,-4).

2.(2011· 乐山)将抛物线y=-x2向左平移2个单位后,得到的抛 物线的解析式是( A ) A.y=-(x+2)2 C.y=-(x-2)2 B.y=-x2+2 D.y=-x2-2

解析:抛物线y=-x2向左平移2个单位,得y=-(x+2)2.

3.(2011· 重庆)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系 中的位置如图所示,则下列结论中正确的是( D ) A.a>0 C.c<0 B. b<0 D.a+b+c>0

解析:当x=1时,对应的点(1 , y)在
第一象限内,y=a+b+c>0.

4.(2011· 威海)二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示.当y<0时,

自变量x的取值范围是(
A.-1<x<3 B.x<-1

)A

C.x>3
D.x<-3或x>3 解析:如图,可知x=-1或3时,

y=0;当-1<x<3时,y<0.

5.(2011· 孝感)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴 1 相交,其顶点坐标为 ( ,1) ,下列结论:①ac<0;②a+b=0; 2 2=4a;④a+b+c<0.其中正确的个数是( ③4ac-b ) C A. 1 C.3 B. 2 D.4

解析:根据图象可知: ①a<0,c>0,∴ac<0,正确; 1 ②∵顶点坐标横坐标等于 ,∴- b = 1 ,∴a+b=0正确; 2 2a 2

4ac-b2=1,∴4ac-b2=4a,正确; ③∵顶点坐标纵坐标为1,∴ 4a

④当x=1时,y=a+b+c>0,错误.
正确的有3个.故选C.

题型分类 深度剖析
题型一 待定系数法确定二次函数的解析式 【例1】 已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0)、B(1,0),且经过

C(2,8).
(1)求该抛物线的解析式; (2)求该抛物线的顶点坐标.

解:(1)设y=a(x+2)(x-1),又抛物线过C(2,8),
∴8=a(2+2)(2-1),a=2. ∴y=2(x+2)(x-1)=2(x2+x-2)=2x2+2x-4. (2)∵x=- 2 =- 1 , 2 2×2 ? ? ? ? ∴y=2×?-1? 2+2×?-1?-4= 1 -1-4=-4 1, 2 ? 2? ? 2? 2 ∴顶点坐标为 ?- ,-4 ? .
? ?

1 2

1? 2?

探究提高 根据不同条件,选择不同设法. (1)若已知图象上的三个点,则设所求的二次函数为一般式y =ax2+bx+c(a≠0),将已知条件代入,列方程组,求出a、b、c 的值. (2)若已知图象的顶点坐标或对称轴方程,函数最值,则设所 求二次函数为顶点式y=a(x+m)2+k(a≠0),将已知条件代入, 求出待定系数. (3)若已知抛物线与x轴的交点,则设抛物线的解析式为交点 式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),再将另一条件代入,可求出a值.

知能迁移1

已知二次函数y=-x2+bx+c图象如图所示,它与x

轴交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标为(0,3). (1)求出b、c的值,并写出此二次函数的解析式; (2)根据图象,写出函数的值y为正数时,自变量x的取值范围. -1-b+c=0, 解:(1)由题意,得 c=3, b=2, 解之得 ∴y=-x2+2x+3. c=3, (2)令y=0,得-x2+2x+3=0, 解之得x1=-1,x2=3. 当y>0时,x的取值范围是-1<x<3.

题型二

利用二次函数的性质解答

【例2】 已知点A(1,1)在二次函数y=x2-2ax+b的图象上.

(1)用含a的代数式表示b;
(2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点,求这个二次函 数的图象的顶点坐标. 解:(1)∵点A(1,1)在抛物线y=x2-2ax+b上, ∴1=1-2a+b,b=2a. (2)∵抛物线y=x2-2ax+2a与x轴只有一个交点, ∴△=(-2a)2-4×1×2a=0, ∴4a2-8a=0,4a(a-2)=0, ∵a≠0,∴a-2=0,a=2. ∴y=x2-4x+4=(x-2)2,顶点坐标为(2,0).

探究提高 某点在函数图象上,该点的横坐标、纵坐标满足函数解析式. 函数y=x2-2ax+b的图象与x轴只有一个公共点,可知关于x的 方程x2-2ax+b=0有两个相等的实数根,根据此两个条件可列 出关于a、b的二元一次方程,解之即得函数的解析式.

知能迁移2

(1)抛物线y=a(x+1)(x-3)(a≠0)的对称轴是( B.直线x=-1 D.直线x=3
x1+x2 =1,选A. 2

A)

A.直线x=1 C.直线x=-3

解析:令y=0,可得x1=-1,x2=3, 所以对称轴是直线x=

(2)二次函数y=(x-1)2-2的图象上最低点的坐标是( B ) A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2)

解析:因为a=1>0,抛物线有最低点,其坐标为(1,-2),

选B.

题型三

利用二次函数解决实际应用题

【例3】 我市某大型酒店有包房100间,在每天晚餐营业时间,每 间包房收包房费100元时,包房便可全部租出;若每间包房收费 提高20元,则减少10间包房租出,若每间包房收费再提高20元, 则再减少10间包房租出,以每次提高20元的这种方法变化下去. (1)设每间包房收费提高x(元),则每间包房的收入为y1(元),但会 减少y2间包房租出,请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式; (2)为了投资少而利润大,每间包房提高x(元)后,设酒店老板每

天晚餐包房总收入为y(元),请写出y与x之间的函数关系式,求出
每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入,并说明 理由.

解:(1)y1=100+x,y2= 1 x. 2 (2)y=(100+x)(100- 1 x)=- 1 x2+50x+10000 2 2 =- 1 (x-50)2+11250, 2 因为提价前包房费总收入为100×100=10000,

当x=50时,可获得最大包房收入11250元,
因为11250>10000,又因为每次提价为20元, 所以每间房费应提高40元或60元.

所以为了投资少而利润大,每间房费应提高60元.
探究提高 解决最值问题的关键是根据已知条件建立二次函数模型, 利用二次函数的最大值或最小值来解.

知能迁移3

某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月

可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖 10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为 正整数),每个月的销售利润为y元.

(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最 大的月利润是多少元?

(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元?
根据以上结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利 润不低于2200元?

解:(1)y=(210-10x)(50+x-40)

=-10x2+110x+2100(0<x≤15,且x为整数).
(2)y=-10(x-5.5)2+2402.5. ∵a=-10<0,

∴当x=5.5时,y有最大值2402.5.
∵0<x≤15,且x为整数, 当x=5时,50+x=55,y=2400. 当x=6时,50+x=56,y=2400. ∴当售价定为每件55元或56元,每个月的利润最大,最大 利润是2400元.

(3)当y=2200时,-10x2+110x+2100=2200,

x2-11x+10=0,解之得x1=1,x2=10.
∴当x=1时,50+x=51;当x=10时,50+x=60. ∴当售价定为每件51元或60元时,每个月的利润为2200元.

当售价不低于51元且不高于60元且为整数时,每个月的利润
不低于2200元. (或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元时,每个月的

利润不低于2200元).

题型四

结合几何图形的函数综合题 【例4】 如图,已知直线y=- 1 x+1交坐标轴于A,B两点,以线 2 段AB为边向上作正方形ABCD,过点A,D,C的抛物线与直线
另一个交点为E. (1)请直接写出点C、D的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)若正方形以每秒个单位长度的 速度沿射线AB下滑,直至顶点D 落在x轴上时停止.设正方形落 在x轴下方部分的面积为S,求S 关于滑行时间t的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围;

(4)在(3)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时D落在x轴上时 停止,求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积. 解题示范——规范步骤,该得的分,一分不丢! 解:(1)C(3,2),D(1,3). a=-5 , [2分]

(2)设抛物线为y=ax2+bx+c,抛物线过(0,1),(3,2),(1,3),
c=1, a+b+c=3, 9a+3b+c=2. ∴y=-
6 解得 b= 17 , 6

5 2 17 x + x+1. 6 6

c=1.
[6分]

(3)①当点A运动到点 F 时,t=1, 当0<t≤1时,如图1, ∵∠OFA=∠GFB′, tan∠OFA= OA= 1 , OF 2 ∴tan∠GFB′= GB′ GB′ 1 = = , FB′ 5t 2 5 ∴GB′= t,
图1

2 S△FB′G= 1 FB′×GB′= × 1 t× 5 =t25 ; 2 2 2

[8分]

②当点C运动到x轴上时,t=2,
当1<t≤2时,如图2, A′B′=AB= = 22+12 ,5

∴A′F=
∴A′G= ∵B′H=

t- 5

, 5

∴S梯形A′B′HG= (A′G+B′H)×A′B′ 2 ? ? = 1× ? 5t- 5+ 5t? × 5= 5 t- 5 ; 4 2 2 2 ? 2 ?

5t- , 5 2 5t , 2 1

图2

[10分]

③当点D运动到x轴上时,t=3,

当2<t≤3时,如图3,
5t- 5 , 2 5t- 5 3 5- 5t ∴GD′= - = , 5 2 2 ∵S△AOF= 1×1×2=1,OA=1, 2

∵A′G=

图3

△AOF∽△GD′H,

?3 5- 5t? S△GD′H ?GD′ ? 2 2, ∴ =? ? ,∴S△GD′H= ? ? S△AOF 2 ? OA ? ? ? ?3 5- 25t? ∴S五边形GA′B′C′H=( )2- ? ? 5 2 ? ? =- 5 t2+ 15 t- 25 . [12分] 4 2 4

(4)∵t=3,BB′=AA′=3
= 5 ×3 5=15. 探究提高

,5
[14分]

∴S阴影=S矩形BB′C′C=S矩形AA′D′D=AD×AA′

二次函数知识常与方程、不等式、三角函数、几何图形

等知识综合考查,这类问题综合性强,应用知识较多、思
维能力强,本题的难点在第(3)小题,解决的关键要进行分 类讨论.

知能迁移4

(2011· 桂林)已知二次函数y=- x2+ 3 x的图象如图.
1 4

2

(1)求它的对称轴与x轴交点D的坐标;
(2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移,设平移后的抛物线与x轴、 y轴的交点分别为A、B、C三点,若∠ACB=90°,求此时抛物

线的解析式;
(3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为M,以AB为直径,D为圆心 作⊙D,试判断直线CM与⊙D的位置关系,并说明理由.

3 1 (1)由y=- 4 x2+2

b x得 x=-2a =3,∴D(3,0).

解 (2)如图1,

1 设平移后的抛物线的解析式为y=-4

2+ 3 x+k, x

2

则C(0,k),OC=k. 令y=0,即- 1 x2+ 3 x+k=0,
4

2

得 x1=3+ 4k+9,x2=3- 4k+9 ,
∴A(3- 4k+9 ,0),B(3+ 4k+9 ,0). ∴AB2=[(3+ 4k+9 -(3- 4k+9 )]2=16k+36,

AC2+BC2=[k2+(3-
=2k2+8k+36. ∵AC2+BC2=AB2,

4k+9

)2]+[k2+(3+

4k+9

)2]

图1

即2k2+8k+36=16k+36,得 k1=4,k2=0(舍去).
∴抛物线的解析式为y=- 1 x2+ 3 x+4.
4

2

(3)如图2, 由抛物线的解析式y=- x2+ 3 x+4可得A(-2,0),B(8,0),

C(0,4) ,M (3, ).

过C、M作直线,连结CD,过M作MH垂直y轴于H, 则MH=3. CM2=MH2+CH2=32+( 25 -4)2= 16 . 4 在Rt△COD中,CD= 32+42 =5=AD. ∵点C在⊙D上,
25 2 625 )= , 4 16 225 625 ∴CD2+CM2=52+ 16 = 16 , 225

25 4

1 4

2

∴DM2=(

∴DM2=CM2+CD2. ∴△CDM是直角三角形,∴CD⊥CM. ∴直线CM与⊙D相切.
图2

易错警示
6.二次函数错例分析 考题再现
5 2 5 5 x - x+ 图象的顶点坐标及对称轴. 12 4 3

1.用配方法求二次函数y=

2.已知函数y=3x2-4x+1,当0≤x≤4时,求y的变化范围. 学生作答 1.解:y=
5 5 2 5 5 5 x - 3 x+ = (x2-4x+3)= (x-2)2-1 4 12 12 12

∴该函数图象的顶点坐标是(2,-1),对称轴是直线x=2. 2.解:当x=0时,y=3x2-4x+1=3×02-4×0+1=1; 当x=4时,y=3×42-4×4+1=33. ∴当0≤x≤4时,y的变化范围是1≤y≤33.

规范解答

1.解:y=

2.解: ∵y=3x2-4x+1,

5 2 5 5 5 x - x+ = (x2-4x+3) 12 4 12 3 = 5 [(x-2)2-1]= 5 (x-2)2- 5 12 12 12 ∴该函数图象的顶点坐标是(2,- 5 ),对称轴是直线x=2. 12

b 2 ∴抛物线的对称轴是直线x=- 2a = 3 . ∴当x= 2 ,y最小值=- 1 . 3 3

当x=0时,y=1;当x=4时,y=33. 1 于是当0≤x≤时,- ≤y≤1, 3 2 1 当 ≤x≤4时,- ≤y≤33, 3 3 1 综上,当0≤x≤4时,- ≤y≤33. 3

老师忠告 1.配方法是重要的数学方法,必须熟练掌握二次函数y= ax2+bx+c可配方写成y=a(x+m)2+k,后者图象的顶点坐标 是(-m,k),对称轴是直线x=-m,须牢记. 2.求二次函数值的范围,理解二次函数y=ax2+bx+c有最 大值或最小值的条件.
b 当a>0时,函数图象开口向上,当x=- 时,函数有最小 2a 2 4ac-b b 值y= ;当a<0时,函数图象开口向下,当x=- 时, 2a 4a 2 4ac-b 函数有最大值y= .当涉及到实际问题时,一定要符合实 4a 际问题的意义和条件要求.

思想方法 感悟提高
方法与技巧 1. 对于二次函数的解析式,要根据不同条件选用不同形式的 解析式: (1)已知图象上三点,选一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); (2)已知顶点或对称轴,选顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0); (3)已知图象与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0),选交点式:y=

a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
2. 字母a、b、c的符号——a的符号决定抛物线的开口方向;c 的符号决定图象与y轴的交点的纵坐标;a、b的符号共同决定对

称轴,当a、b同号时,对称轴在y轴的左侧,当a、b异号时,对
称轴在y轴的右侧,当b=0时,对称轴是y轴.

3. 二次函数与一元二次方程的关系: 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点横坐标就是y =0时自变量x的取值,即是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 根. 4. 抛物线的顶点常见的几种变动方式: (1)开口反向(或旋转180°),此时顶点坐标不变,只是a的符 号相反; (2)两抛物线关于x轴对称,此时顶点关于x轴对称,a的符号相

反;
(3)两抛物线关于y轴对称,此时顶点关于y轴对称,a的符号不 变.

失误与防范 1.在考查二次函数概念的有关问题上,常常忽略a≠0这个条件, 对二次函数几种不同形式不能正确运用.在解决二次函数有 关增减性、最值等问题时,忽略二次项系数的符号就造成了 错误,比如:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在对称轴左侧y随x 的增大而减小;在对称轴右侧y随x的增大而增大. 2.利用二次函数y=ax2+bx+c图象的位置与a、b、c的取值关系, 解决a、b、c的关系式的符号问题.

3.在解决与二次函数有关的实际问题时,常犯以下错误:一是
不能建立正确的函数关系,缺乏建模思想;二是对自变量取 值范围的忽略.


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