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2015年上期东安天成学校高一数学竞赛试题


2015 年上期东安天成学校高一数学竞赛试题
时间:120 分钟 总分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1 .设集合 A ? { y | y ? a2 ? 1| a ? N}, B ? {y | y ? b2 ? 10 | b ? N} ,则 A ? B 中元素的个 数为 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 大于 3 个

2.某次数学测试分为选择题与非选择题两部分, 右边的散点图中每个点 ( X , Y ) 表示一位学生在 这两部分的得分,其中 X 表示该生选择题得 分, Y 表示该生非选择题得分,设 Z ? X ? Y 表 示该生的总分,现有 11 位学生的得分数据,根 考室 据散点图,下列判断正确的是( A. X 的方差 < Y 的方差 C. X 的众数 < Y 的众数 ) B. X 的中位数 > Y 的中位数 D. Z 的中位数 = X 的中位数 + Y 的中位数
? x?

3.已知 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 ?3.1? ? 3 ,若 x0 是方程 x 考号 ( )A. 0 ? x0 ? 1 B. 1 ? x0 ? 2 C. 2 ? x0 ? 3

? 8 的实数根,则

D. 3 ? x0 ? 4

4. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 的图象与直线 y ? a (0 ? a ? A) 的三个相 邻交点的横坐标分别是 2,4,8,则 f ( x ) 的单调递减区间是 姓名 A. ?6k? ,6k? ? 3?, k ? Z B. ?6k ? 3,6k ? , k ? Z C. ?6k ,6k ? 3? , k ? Z ( )

D. ?6k? ? 3,6k? ?, k ? Z

5.若映射 f : ?1,2,3,....? ? ?1,2,3,....? ,满足: f (1) ? f (2) ? f (3) ? .... ? f (n) 且

f ( f ( x)) ? 3x ,那么 f (1) 的值为 (
班级

) A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

6.已知四边形 ABCD , AC 是 BD 的垂直平分线,垂足

O 为直线 BD 外一点. 为E , 设向量 OB ? 5 ,OD ? 3 ,
则 (OA ? OC)? (OB ? OD) 的值是( A. 8 B. 16 C. ?8

??? ?

????

??? ? ??? ?

??? ? ????

) D. ?16 ( D. ?2 ? a, 1 (a ? 2)? ? ?
? 3 ?
1

4 2 7. a 是一个常数,函数 f ( x) ? x 4 ? ax2 ? 1 的值域不可能 是 ... x ? x ?1



A.

?1?

B. ? 1 (a ? 2),1? ? ? ?3 ?

C. ?1, 1 (a ? 2) ?
? ? 3 ? ?

8 .若 ? ? (0,

?
4

) , m ? (cos ? )log2 sin? , n ? (cos ? )log2 cos? , p ? (sin ? )log2 cos? ,则 m, n, p 的
A. m ? p ? n B. m ? p ? n C. m ? p ? n D. m ? n ? p ( D. )

大小关系为 () 9.求: A.

cos1? cos 2 ? cos3 ? cos89 ? = ? ? ? ... ? sin 46? sin 47? sin 48? sin134?

89 2 2

B. 89 2

C. 90 2

90 2 2

10 . 若 函 数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b 有 两 个 不 同 的 零 点 x1 , x 2 , 3 ? x1 ? x2 ? 4 , 那 么 在 两个函数值中 f ( 3 ) ,f ( 4 ) A.只有一个小于 ( )

1 4

B.至少有一个小于

1 4

C.都小于

1 4

D.可能都大于

1 4

请将选择题答案填入下表 题号 答案 二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分.) 11 . 已 知 集 合 A ? ?x | ?1 ? x ? 1 ? , B ? ?x | x ? a ? 0? , 若 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是
2? x 12.设 f ( x) ? ? ? x ? 0 ,则 x?0

. . .

?log 2 x

1 f ( f ( )) ? 2

13.如图执行右面的程序框图,那么输出的 S 值为

14.在标有数字 1, 2,3...,10,11,12 的 12 张大小相同的卡片中,依次 取出不同的三张卡片它们的数字和恰好是 3 的倍数的概率是 .

15 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 设 向 量 OA ? (1, 2) , OB ? (2, ?1) , 若

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? 且 1 ? x ? y ? 2 ,则点 P 所有可能的位置所构成的区域面积是 OP ? xOA ? y OB
16.某学生对函数 f ( x) ? 2 x ? cos x 的性质进行研究,得出如下的结论: ①函数 f ( x ) 在 ? ?? ,0? 上单调递增, 在 ? 0, ? ? 上单调递减; 图像的一个对称中心;

.

? ? ②点 ? ? , 0 ? 是函数 y ? f ( x) ?2 ?

③函数 y ? f ( x) 图像关于直线 x ? ? 对称; .

④存在常数 M ? 0 ,使 f ( x) ? M x 对一切实数 x 均成立.其中正确的结论是

2

三、解答题:本大题共 4 小题,共 58 分. 17. (本题满分 14 分) 已知向量 a ? (sin x,1), b ? (sin x, cos x ? ) ,设函数 f ( x) ? a? b,

?

?

9 8

??

x ??0, ? ?
( 1 )求 f ( x ) 的单调区间; ( 2 )若 f ( x ) ? 0 在区间 ? 0, ? ? 上有两个不同的根 ? , ? ,求

cos( ? ? ? )的值.

18. (本题满分 14 分)已知正实数 x, y ,设 a ? x ? y , b ? (1)当 y ? 1 时,求

x 2 ? 7 xy ? y 2 .

b 的取值范围; a

c2 (2)若以 a , b 为三角形的两边,第三条边长为 c 构成三角形,求 的取值范围. xy

3

19、 (15 分)

已知函数f ? x ? ? x ? a , g ? x ? ? ax ? a ? R ? , ?1? 判断函数f ? x ?的对称性和奇偶性。

? 2 ?当a ? 2时,求使g 2 ? x ? f ? x ? ? 4 x成立的x所构成的集合。 ? 3? 若a ? 0, 记F ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ?,且F ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最大值,求a的取值范围。

20. ( 15 分)设 f ( x ) 是定义在实数 R 上的函数, g ( x) 是定义在正整数 N 上的函数,同 时满足下列条件: (1)任意 x, y ? R ,有 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 且 f (?1) ? 5 ;
* (2) g (1) ? f (0), g (2) ? f (?2) ; (3) f ? g (n ? 2)? ? f ?(n ? 3) g (n ? 1)? , n ? N

*

f ?(n ? 2) g (n)?

试求: (1)证明:任意 x, y ? R , x ? y ,都有 f ( x) ? f ( y) ? 0 ;
x? y

(2)是否存在正整数 n ,使得 g (n) 是 25 的倍数,若存在,求出所有自然数 n ;若不 存在说明理由. (阶乘定义: n ! ? 1? 2 ? 3 ? ... ? n )

4

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.B 解: a2 ? 1 ? b2 ? 10,(a ? b)(a ? b) ? 9 ? 9 ?1 ? 3? 3 ? 1? 9 , 得: a ? 5, b ? 4; a ? 3, b ? 0 共 2 组,选 B

2.B 解:根据图像可知 X 中位数为 40, Y 的中位数大概在 34 左右,选 B 3.C 解:由 x0 是方程 x
? x?

? 8 的实数根,易得 x0 ? 0

令函数 g ( x) ? x ?x ? ,则函数在 ?0,??? 上是增函数(不是严格增函数) 当 ?x? ? 0 时,则 0 ? x ? 1 当 ?x? ? 1 时,则 1 ? x ? 2 当 ?x? ? 2 时 , 当 ? x? ? 3 时 , 则2? x ?3 则3? x ? 4 , g ( x) ? 1 , ,

1 ? g ( x) ? 2 ,

, 4 ? g ( x) ? 9 , , 27 ? g ( x) ? 64 , 选C

4.B 解:? 相邻交点的中点的横坐标分别为 3,6,则周期 T ? 6 , ? ?

?
3

? f ( x) ? A sin( x ? ? ) ,又 f (2) ? f (4) ? 0 ,? 当 x ? 3 时, f ( x) 取最大值, 3 ? ? 3? ) 即 f (3) ? A sin(? ? ? ) ? A , ? ? ? ? 2k? , k ? Z , f ( x) ? A sin( x ? 2 3 2

?

? f ( x) 的单调递减区间为 [6k ? 3,6k ], k ? Z
5.B 解:由 f ( f (1)) ? 3 ,可知 1 ? f (1) ? 3

选B

若 f (1) ? 1 ,则 f ( f (1)) ? f (1) ? 1 ,与 f ( f (1)) ? 3 矛盾,不可能; 若 f (1) ? 2 ,则 f ( f (1)) ? f (2) ? 3 若 f (1) ? 3 ,则 f (2) ? 4, f (3) ? 5 与

3 ? f ( f (1)) ? f (3) ? 5 矛盾,不可能。
选B 6.B 解: (OA ? OC)? (OB ? OD)

??? ? ??? ?

??? ? ????

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? (OE ? EA ? OE ? EC)? (OB ? OD) ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ? 2OE? (OB ? OD) ? ( EA ? EC)?DB

5

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? (OB ? OD)? (OB ? OD) ? 16
7.D 解: f ( x) ?

选B

x 4 ? ax 2 ? 1 (a ? 1) x 2 x2 1 ? 1 ? ? 0 ? ? , 4 2 4 2 4 2 x ? x ?1 x ? x ?1 x ? x ?1 3
1 3

当 a ? 1 时, f ( x) ? 1 ;当 a ? 1 时, (a ? 2) ? f ( x) ? 1 当 a ? 1 时, 1 ? f ( x) ? 8.A

1 (a ? 2) ; 3

选D

解:? log 2 m ? log 2 cos ? ?log 2 sin ? , log2 n ? log2 cos ? ? log2 cos ?

log2 p ? log2 sin ? ? log2 cos ?
又由 ? ? (0,

?
4

) ,得 0 ? sin ? ? cos ? ? 1 , log2 sin ? ? log2 cos ? ? 0
选A

?log2 m ? log2 p ? log2 n , m ? p ? n

cos ? cos ? cos((? ? 45? ) ? 45? ) 2 2 9. A 解: ? ? ? ? tan(? ? 45? ) ? ? ? ? sin(45 ? ? ) cos(45 ? ? ) cos(? ? 45 ) 2 2

?
=

cos1? cos 2? cos 3? cos89? ? ? ? ... ? sin 46? sin 47? sin 48? sin134?

2 2 89 2 , ? 89 ? (tan(?44? ) ? tan(?43? ) ? ... ? tan 44? ) = 2 2 2

选A

另解:(利用诱导公式配对求和)

?

sin ? ? cos ? cos ? cos(900 ? ? ) cos ? sin ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? sin(45 ? ? ) sin(135 ? ? ) sin(45 ? ? ) sin(45 ? ? ) sin(45? ? ? )

cos1? cos 2? cos 3? cos89? ? ? ? ... ? sin 46? sin 47? sin 48? sin134? cos1? cos89? cos 44? cos 46? cos 45? 89 ?( ? ) ? ... ? ( ? )? ? 2 sin 46? sin134? sin 89? sin 91? sin 90? 2
10.B 解: (用特殊值来排除)令 x1 ? 令 x1 ?

10 11 2 1 , x2 ? ,则 f (3) ? f (4) ? ? ; 3 3 9 4

10 7 2 1 1 1 , x2 ? ,则 f (3) ? ? , f (4) ? ? .选 B 3 2 9 4 3 4

另解:设 f ( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ,则

f (3) ? (3 ? x1 )(3 ? x2 ) ? 0 , f (4) ? (4 ? x1 )(4 ? x2 ) ? 0 f (3) f (4) ? (3 ? x1 )(3 ? x2 )(4 ? x1 )(4 ? x2 ) ? ( x1 ? 3)(4 ? x1 )( x2 ? 3)(4 ? x2 )
?( x1 ? 3 ? 4 ? x1 2 x2 ? 3 ? 4 ? x2 2 1 1 ) ( ) ? ,所以,至少有一个小于 .选 B 2 2 16 4
6

11. a ? 1 12.2 13.

2046 2047 1 2046 2i 1 1 ? , 输出 S ? 1 ? 11 ? i ? i ?1 i i ?1 2 ? 1 2047 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ?1 19 55

解?

14.

解:按被 3 除的余数进行分类, A0 ? ?3,6,9,12? , A 1,4,7,10? , A2 ? ?2,5,8,11? 1 ?? 依次取出不同的三个数,使它们的和恰好是 3 的倍数的概率

P?
15.

4 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? 4 ? 4 ? 3 ? 2 19 ? 12 ?11?10 55

5 2

解:作 OG ? 2OA , OE ? 2OB

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? OF ? 2OA ? 2OB
M , N 为 OF , EF 中点,则 P 在 ?MNF 内,
面积为 16.④ 解: f ( x) ? 2 x ? cos x 为奇函数, 则函数 f ( x ) 在

5 2

??? ,0? ,?0, ? ? 上单调性相同,所以①错;

f (0) ? 0, f (? ) ? ?2? ,所以②错;

f (0) ? 0, f (2? ) ? 4? ,所以③错;
选④

f ( x) ? 2x ? cos x ? 2x ? cos x ? 2 x ,令 M ? 2 ,所以④对.
)? , 17 . ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 向 量 a ? ( s i nx , 1b ? ?

? ? f ( x) ? a ? b , x ??0, ? ?
(1)求 f ( x ) 的单调区间;

9 ( sxi n , x c ?o s , 设 )函数 8

(2)若 f ( x) ? 0 在区间 ? 0, ? ? 上有两个不同的根 ? , ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 解: (1)? f ( x) ? sin x ? cos x ?
2

9 9 1 ? 1 ? cos 2 x ? cos x ? ? ? cos 2 x ? cos x ? 8 8 8 1 1 ? f ( x) ? ?(cos x ? ) 2 ? 2 8
7

令 t ? cos x , 当 x ? ?0,

1 ? ?? 时, ? t ? 1 ,且 t ? cos x 为减函数 ? 2 ? 3?

又 f (t ) ? ?(t ? ) ?
2

1 2

1 ?1 ? ? ?? 在 ? ,1? 上时减函数,? f ( x) 在 ? 0, ? 上是增函数 8 ?2 ? ? 3?

当 x??

1 ?? ? , ? ? 时, ?1 ? t ? ,且 t ? cos x 为减函数 2 ?3 ? 1 2
2

又 f (t ) ? ?(t ? ) ?

1 ? 1? ?? ? 在 ? ?1, ? 上时增函数,? f ( x) 在 ? , ? ? 上是减函数 8 ? 2? ?3 ?

综上, f ( x ) 的单调区间为 ? 0,
2

? ? ? ?? ? , ,? ? 3? ? ? ?3 ? ?

1 1 ? 0 ,即 cos 2 x ? cos x ? ? 0 8 8 1 2 令 t ? cos x ,则 cos ? ,cos ? 是方程 t ? t ? ? 0 的两个根,从而 8 1 cos ? ? cos ? ? 1, cos ? ?cos ? ? 8
(2)由 f ( x) ? 0 得, ? cos x ? cos x ?

sin 2 ? ? sin2 ? ? (1 ? cos2 ? )(1 ? cos2 ? ) ? 1 ? (cos2 ? ? cos2 ? ) ? cos2 ? ? cos2 ?
cos ? ? cos ? ? cos ? ? = 1 ? (cos ? ? cos ? ) ? 2 cos ? ?
2 2 2

17 64

? sin ? sin ? ?

1 ? 17 17 cos ? ? sin ? ? sin ? ? , cos(? ? ? ) ? cos ? ? 8 8
2

另解:由 f ( x) ? 0 得, ? cos x ? cos x ? 不妨设 cos ? ?

1 1 ? 0 ,即 cos 2 x ? cos x ? ? 0 8 8

2? 2 2? 2 , cos ? ? ,则 4 4

sin ? ? 1 ? cos2 ? ?

10 ? 4 2 10 ? 4 2 ,sin ? ? , 4 4
1 ? 17 8
x 2 ? 7 xy ? y 2 .

cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? ?

18. (本题满分 16 分)已知正实数 x, y ,设 a ? x ? y , b ? (1)当 y ? 1 时,求

b 的取值范围; a
8

(2)若以 a , b 为三角形的两边,第三条边长为 c 构成三角形,求 解: (1)由题设知, x ? a ? 1 ,且 a ? x ? 1 ? 1 所以,

c2 的取值范围. xy

(a ? 1)2 ? 7(a ?1) ? 1 b a 2 ? 5a ? 5 1 1 9 ? ? ? ?5( ? )2 ? 2 a a a a 2 4
1 ? (0,1) a 1 a 1 2
2



a ? x ?1 ? 1 ?

结合二次函数的图像知 1 ? ?5( ? ) ?

9 9 ? 4 4



b ? 3? 的取值范围为 ?1, ? a ? 2?

另解:

b x2 ? 7 x ? 1 x2 ? 7 x ? 1 5x ? ? 2 ? 1? 2 a x ?1 x ? 2x ? 1 x ? 2x ? 1
= 1?

5 x?2? 1 x



?x ? 2?

1 5 5 ? 4,0 ? ? 1 4 x x?2? x

?1 ?

b 3 b ? 3? ? ,得 的取值范围为 ?1, ? a 2 a ? 2?

(2)设

c2 ? k ,则 c ? k ? xy xy

? ( x ? y ) ? x 2 ? 7 xy ? y 2 k ? ? 2 2 ? xy ? ?c ? ( x ? y) ? x ? 7 xy ? y 恒成立,即, ? ?? 2 2 x 2 ? 7 xy ? y 2 ? ( x ? y ) ? ? ?c ? x ? 7 xy ? y ? ( x ? y) ? k? xy ?

? ? k? ? ? ? k? ? ?


x y ? ?2? y x

x y ? ?7 y x

, 恒成立

x y x y ? ?7 ? ? ?2 y x y x

1 1 1 x ? t ,由于 y ? t ? 在 ?1, ?? ? 是增函数,令 f (t ) ? t ? ? 7 ? t ? ? 2 ,则 t y t t

9

1 1 f (t ) ? t ? ? 7 ? t ? ? 2 ? 9 ? 4 ? 5 t t
又 ? t ? ?7 ? t ? ?2 ?

1 t

1 t

5 1 1 t ? ?7 ? t ? ?2 t t

?1

c2 ?1 ? k ? 5,1 ? k ? 25 ,得 的取值范围为 ?1, 25? xy
19 ,

解: ?1? f ? x ? 关于直线x ? a对称,当a ? 0时, f ? x ? 为偶函数,当a ? 0时, f ? x ? 为非奇非偶函数。

? 2 ?当a ? 2时,g 2 ? x ? f ? x ? ? 4 x 2

x ? 2 ? 4 x, 1 当x ? 0时, 适合题意

?x ? 2 ? x ? 2, x ? 0 2 ? 2 ? x ? 2 ? 1, 3 ? 2 ? x ? 1, ?x ? 2x ?1 ? 0 ?x ? 2x ?1 ? 0 ? 综合知x ? 0,1, 2 ? 1

?

?

? 3? ? F ? x ? ? ax ? x ? a

? ?? a ? 1? x ? a x ? a ?? , a ? 0, a ? 1 x ? a x ? a ? ? ? ? f ? x ? 在 ? 0,+? ? 上有最大值, ? a-1 ? 0,又a ? 0, ? a ? ? 0,1?.
*

20. (本题满分 20 分)设 f ( x ) 是定义在实数 R 上的函数, g ( x) 是定义在正整数 N 上的函 数,同时满足下列条件: (1)任意 x, y ? R ,有 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 且 f (?1) ? 5 ; (2) g (1) ? f (0), g (2) ? f (?2) ; (3) f ? g (n ? 2)? ?

f ?(n ? 3) g (n ? 1)? f ?(n ? 2) g (n)?

,n? N

*

试求: (1)证明:任意 x, y ? R , x ? y ,都有

f ( x) ? f ( y ) ?0; x? y

(2)是否存在正整数 n ,使得 g (n) 是 25 的倍数,若存在,求出所有自然数 n ;若不 存在说明理由. 解: (1)当 x ? y ? 0 时, f (0) ? f (0) ? f (0) , ? f (0) ? 0 , f (0) ? 1 若 f (0) ? 0 ,则得 f ( x) ? f ( x ? 0) ? f ( x) f (0) ? 0 ,不可能,舍去 ? f (0) ? 1

10

当 x ? 0 时, f ( x) ?

1 ? 1 ,得, 0 ? f ( x) ? 1 ? f ( x) ? 0, x ? R f (? x)

若 x ? y ,则, x ? y ? 0 , f ( x ? y) ? 1 , f ( x) ? f ( x ? y) ? f ( y) ? f ( y) ,

? f ( x) ? f ( y ) ? 0,

f ( x) ? f ( y ) ?0 x? y

同理,若 x ? y ,

f ( x) ? f ( y ) f ( x) ? f ( y ) ? 0 ? 任意 x, y ? R , x ? y ,都有 ?0 x? y x? y

(2)? g (1) ? f (0) ? 1, g (2) ? f (?2) ? f (?1) f (?1) ? 5 由(1)可得 f ( x ) 为单调减函数

? f ? g (n ? 2)? ?

f ?(n ? 3) g (n ? 1)? f ?(n ? 2) g (n)?

? f ?(n ? 3) g (n ? 1) ? (n ? 2) g (n)?

? g (n ? 2) ? (n ? 3) g (n ? 1) ? (n ? 2) g (n)
得? g (n ? 2) ? g (n ? 1) ? (n ? 2)( g (n ? 1) ? g (n)), n ? 1

? g (n) ? g (n ? 1) ? n( g (n ? 1) ? g (n ? 2)), n ? 3 g (n ?1) ? g (n ? 2) ? (n ? 1)( g (n ? 2) ? g (n ? 3))


g (3) ? g (2) ? 3( g (2) ? g (1))
n! ? g (2) ? g (1)? , n ? 3 …① 2 n! 又由①式得: g (n) ? g (n ? 1) ? ? g (2) ? g (1) ? , n ? 3 2 (n ? 1)! g (n ? 1) ? g (n ? 2) ? ? g (2) ? g (1)? 2
相乘得:? g (n) ? g ( n ? 1) ? …

g (3) ? g (2) ?
相加得: g (n) ? g (1) ?

3! 2! ? g (2) ? g (1)? , g (2) ? g (1) ? ? g (2) ? g (1)? 2 2

1 ? g (2) ? g (1)? (2!? 3!? ... ? n!) , n ? 2 2

g (n) ? 2(2!? 3!? ... ? n!) ? 1, n ? 2 g (1) ? 1, g (2) ? 5 , g (3) ? 17 , g (4) ? 65 , g (5) ? 305 , g (6) ? 1745 , g (7) ? 11825 ,
11

g (8) ? 92465 , g (9) ? 818225 ,
由于当 n ? 10 时, n ! 能被 25 整除 综上,存在正整数 n ,当 n ? 7 或 n ? 9, n ? N 时, g (n) 是 25 的倍数

12



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