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2015年全国高中数学联赛河南赛区预赛(高二)


中 等 数 学 

2 0 1 5 年全 国高中数学联赛河南赛区预赛 ( 高二 )  
中图分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章编号 : 1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 6 ) 0 5— 0 0 2 8— 0 4  





填 空

题 ( 每小题 8分 , 共6 4分 )  

8 . 已知集合 
k一’  

1 . 不 能表示 为 7   一 3× 2   (   、  ∈ Z + ) 的 
最小正奇数 为— —_ .  

A   = f 2  + ∑a i 2   a   ∈ { 0 , 1 } ,  
一  

= U 

2 . 设 P是 棱 长 为  的正 四面 体 A B C D  

i = 0 , 1 , …, k 一 2} .  
用n   表示 集合  中所 有 元 素之 和. 则 
2   0 1 5  

内的任意一 点 , 点 P到 四个 面 的距离 分别 为 

d 。 、 d   、 d   、 d 4 . 则d ; 4 -  + d ; +   的最小值为  
●  
.............................一

k =1  
’   ’ 

∑  =  
二、 ( 1 6分 ) 证明: 任一 正整 数 Ⅳ均 可表 

3.

x 一  
a  D 

=1  a >1


b>1 ) 的 焦 

示为 P q + I A Y 的形式 , 其 中,  — V = 2 ( P—q ) ,  
P、 q 、  、 V∈ Z.  

距为 2 c , 直线 Z 过点 ( a , 0 ) 、 ( 0 , b ) , 且点( 1 ,   0 ) 到直线 Z 的距离 与点 ( 一 1 , 0 ) 到直线 Z 的距 

三、 ( 2 0分 ) 数列 { a   } 、 { b   } 的定 义为 
。  = ?, 6  =2, n  +  =  
1+b  +a n b  
“   —   ’  

离 和. s ≥ 警. 则 双 曲 线 的 离 心 率e 的 取 值 范  
围是 一  

,  

4 . 已知实数 、 y 满 足 
2 x=I n (  + Y一1 )+l n ( x— Y一1 )+ 4 .  

证明: n 2   0 l 5 <5 .  

则2   0 1 5 x   + 2   O 1 6 y   的值为一

 
1  

5 . 已知正数 n 、 b 满足 n + 3 6 = 7 . 则 

四、 ( 2 O分 ) 如图 1 , 过椭 圆  似  +b y 2 =1 ( b> a> 0 )  
中心 0的直线 f 1 、   分别 与椭 圆交于点 A 、 E、  


+  

的最小值为  6 . 一名篮 球运 动员 进行 投球 练 习. 若 他 
1 

G , 且直线 Z   、 Z : 的斜率之积为 一   a, 过点 A 、  

B作两条 平行 线 Z   、 f 4 , 设Z   与z , 、 z   与z   、 c D  

投进前一球, 则投进后一球的概率为÷; 若他  投不进前一球 , 则投进后一球的概率为÷ .  
已知该 队员投进第 1 球 的概率 为  . 则他投 
J 

与M N分别交 于点 M、 Ⅳ、 P . 证 明: O P / / 2   .  
V 

进第 4球 的概率为— — .  
D 

7 .  ̄ S t f < x ) = 旦  

(   ∈( o , 1 ) ) . 则 




巳 

g (  ) - A  ) +  1 一  )   的最 小值为 

图1  

2 0 1 6年第 5期 

2 9  

五、 ( 2 0分 ) 由数 字 1 , 2 , …, 6构成 的且  含有 1 、 6相邻的 n 位数有多少个 ?  
n 



1  


i  ±  2  
C  

参 考 答 案 




1. 3 .  

2   a b
=  +  =

4  
c  

≥ 

因为 x , y∈ Z+ , 所以, 7   一 3× 2   恒 为奇 
铮 5a b≥ 2 c  § 5   一口  ≥ 2 c  

数, 且7  一3× 2  =1 .  

若7   一 3× 2   = 3 , 则3   1 7   .   而7   =( 1 + 6 )   兰1 ( m o d   3 ) , 于是 , 不存  在正整数 x , y , 使得 
7  一3×2  :3 .  

5√ e   一 1 1 > 2 e  

4 e   一 2 5 e   + 2 5 ≤0  

铮 ( 4 e   一 5 ) ( e   一 5 ) ≤ o 甘 詈 ≤ e 2 ≤ 5 .  
又e > 1 , 从而 ,   ≤e ≤   .  
4. 8   0 6 0 .  
=   +Y 一 1,  =   一Y 一 1 .  

因此 , 所求 的最小正奇数 为 3 .  
2.  1
. 

由V 四 面 体 佃 c D  
=  棱锥P— A   c + 
棱锥P— c D A+  

贝 0  +  一 2=I n   +I n   =  ( I n   u—u+1 )+( i n  一 移 +1 )= 0 .  
棱锥P— D B c + 
棱锥P DAB 


设/ . (  )=I n  一  +1 . 贝 0  


× 

厂 , (   ):   一 1 :   于是 ,  

.  

) 在区间( 0 , 1 ) 上递增 , 在区间 

¨

”  

.  

( 1 , +∞) 上递减.  

故  ) ≤   1 )= i n   1 — 1 + 1 = O , 即 
) ≤O ,  

由柯西不等式得 

d   +  + d ; +  
≥  :  ,  

当且仅 当  = 1 时, 等号成立.  

由   ) +   ) = 0 , 厂 (  ) ≤0 ,  
知必须且一定是  =  =1 .  
从而,  = 2, Y= 0 .   故2   O 1 5 x   + 2   O 1 6 y 3 : 8   0 6 0 .  
● 、1 3+ 4 √ 3  
. . . . — — —   —  . . . . .. .   . . 一  

) ≤O ,  

当且仅 当 d   =d   = d , : 出=   时, 上式 等号 
成立.  

3 .  

】 .  

一 

1 4  

‘  

注意到 ,  
1  


设直线z :  + 手= 1 .  
于是 , 点( 1 , 0 ) 到直线 l 的距 离为 
( 口>1 ) ,  

4  
+ 一 = ~

】  
+ 一

】 2  
 

1+n 。 2+b   1+口 ’ 6 +36  

≥ 

=  

.  

:  

:  

经检验 , 上式等号成立.  
6.   .  

C 

C 

点( 一 1 , 0 ) 到直线 1 的距离为 

设该 队 员 投 进 第 n一1个 球 的概 率 为 

中 等 数 学 
a 
1,



孜 失 的 概 率 力 l—a  

则 他 孜迓 弟 n  

.  

) ±   =  
2  

个球 的概率为 
口   =  口 

+ 
一  

1( 1


。 

)=   1+   1 口  
一   一  

口  一 

= 

(   一   一   ) .  
1   1  
 

故g (   ) > i 8 , 等号成立当 且仅当  = 寺.  
因此 , 所求 g (  ) 的最小值为 8 .  
8.   吣
. 

又 。  一   1  
1  

a n -  ̄ : 1 1  


an

_

1 - -  ̄


. 

由二进制 , 知无论 a   如何 取值 , 集合 4  
1   \   2   』  

1  
一 2一  

1 —2  

Ⅱ 1 —2  

中的元素互不相 同.  



(   ) 一   ×   1 = 丢 (   )  
1  
n 

考虑到 a   有O 、 1 两种取值 , 当a   =1 时,  
2   =2 H   ( i =0 , 1 , …, k一 2 )  

+ 

1  

× 

1  

出现 2 k - 2 次, 则 
n   = 2   一   x 2   一  + 2   一 2 ( 2   一  + 2   一 2 +… + 2 )  


。  

由 n 。 ?   =   , 知 。   =   寺 (   +   ) . ?   从 而 , 。   =   (   +   ) = 4   1 .  
7. 8 .  

2  -_ 一2  - 1
.  

故∑ n   = ∑( 2   一 2  )  
2   。 。  
—  



, ) ' 2   0 1 5  

3  

一  

由 已知 得 

二、 若 Ⅳ为偶数 , 设 N= 2 m( m∈ z ) . 则 
n 7 r x s i



, (  ):—  ̄ x — c o — s   7 — r x   - 2 ” (  )=   ( 6一  
— — — — —

,  

N= 2 m=( 2 m一 3 ) ( 一1 )+1×( 4 m一3 ) .  

令 P= 2 m一 3 , g =一1 ,  = 1 ,  = 4 m一 3 .  


) s i n   7 c  一 2  ̄ x c o s   7 c  
— — —   — — — — — — 一

? 

故/ Z — V = 4 m一 3— 1 = 2 ( m一 2 )  


接下来证 明 
( 6—7 c 2  ) s i n丁 c 戈一 2  ̄ x c o s   > O .  

2 [ ( 2 m一 3 ) 一( 一 1 ) ] = 2 ( P— g ) .  

若 Ⅳ为奇数 , 设 N= 2 m+ 1 ( m∈ Z ) . 则 
N= 2 m+1 =( 3 m+1 ) ( 1一 m)+ 3 m× m .  
P =3 m, g=m ,   =3 m +1, V=1一m.  

设t : 础 E( 0 , 兀 ) . 则 
( 6—7 c 2  ) s i n   7 c  一2 r r x e o s丁 c  


( 6一t   ) s i n   t 一 2 t c o s   t = P ( t ) .  

显然 ,  

、  ∈ Z .  

于是 , P   ( t )=( 4一 t   ) C O S   t .  

故  一 V = 3 m+ 1 一( 1 一 m )= 4 m  


2 ( 3 m— m)= 2 ( p—g ) .  

易 知 , P   (   ) 在 区 间 f o ,   1 上 递 增 , 在 区  

综上 , 命题成立.   三、 由a 1 > 0 , b 1 > 0 , 及递 推式 知 
a  >0, b  >0 .  

间 ( 詈 , 2 ) 上 递 减 , 在 区 间 ( 2 , 兀 ) 上 递 增 .  
又p ( O ) = 0 , P   ( 0 ) > 0 , 故t   E( 0 ,  ) 时,  
P ( t )> O, 即  E( O, 1 ) 时, 厂   (  )> 0 .  

1 +1 =  
又 

,  

从而 , _ 厂 (   ) 为区间 ( 0 , 1 ) 上 的下 凸函数.  

由琴生不等式 , 知 当  E( 0 , 1 ) 时,  

l +1=  

2 0 1 6 年第 5期 

3 1  

1  
一 == 一

b  
  =   .  

n   + l +1  ( a  +1 ) ( b  +1 ) ’  

类 似地 ,   =一  
一  

, 即  

b   + 1 +1一( a  +1 ) ( b  +1 )  
1   1  

一 丽
b  

 
口  

(   一   ,   一   ) = 一   (   一   ,   一   )  
X4 : 一  +  。,  
、   .

一 ( 口   + 1 ) ( b   + 1 ) 一 (  + 1 ) ( b   + 1 )   ( b   +1 ) 一( 0   + 1 )   1   1   : — _ ( — 口 —   — + — 1 — ) _ ● ( — b   — — + — 1 一 )  = 一 口   + 1  b   + 1    
1  
: … = ~

( 1+  )  
1 ‘  

4= 一 ^ 2  2十 —  

将点 D的坐标代入椭 圆方程得 
( 似  2 +   )一   b y l y 2 )+   (   : +  

1  


1  
一  

a 1+ 1   b l+1   6  
j   > 

1  

a 2 o 1 3<5 .  

(  2   +   ):1  
:1  
t ‘  

四、 注意到 , o P / / ' 1 , 甘  O N=  

. 



+  

由f 3 / / z  

=   ,   =   .  
.  

=  

.  

故  O N= 而 N P铮  N B=   N D 甘  N D=   MC

因此 ,   =  .  

五、 设所 求的 n位数有 口   个.  
,  

记口   个数 中首位数字是 1的有 b   个.   在 每一 个 b  中交 换 1和 6的位置 得 0   个数 中首位数 字是 6的也有 b   个.  
口   个数可分三类 :  

则 问题等价 于证 明  。 =  .  
设 A(  l , Y 1 ) , B(   2 , Y 2 ) ,   c ( x 3 , Y 3 ) , D(   4 , Y 4 ) .  

由面 O M=   O A 不妨设 


( 1 ) 0   个数 中首位 数字 是 1的 n位数 ,  
这样 的数有 b   个;   ( 2 )   个 数 中首位数 字是 6的 1 1 , 位数,   这样 的数有 b   个;   ( 3 ) 0   个数 中首位数 字是 2 、 3 、 4 、 5之一 

g( t x z , t y 2 ) , Ⅳ  
则 由所 设 得 
:  

的n 位数 , 这样 的数 的后 n 一1 位仍是 由数字 
1 , 2 , …, 6构成 的且 含有 1 、 6 相邻 的 n 一1 位  数, 共有 4 o   一   个.  

j (  一   ,  一   )=   1 (   l 一   ,  一  )  

=   3 =   1   1 +( 1 一   1 ) 执 2 ,  
Y 3 =2 1 y 1 +( 1一   1 ) t y 2 .  

故口   = 2 b   + 4 a  .  
可分三类 :  

① 

而n   个 数 中首位 数字是 1的  位数 也  ( 1 ) 第 二位 是 6的   位数 , 这些 数 的后 


将点 C的坐标代人椭 圆方程 得 
.  

( n   ; + b y   ) + 2   1 ( 1 一   1 ) t ( a x l 戈 2 +  

1 Y 2 ) + ( 1 一   I ) 。 t   ( a x ; +   ) = 1  
+( 1一   1 )   t=1  


2位上 的数 字可以是 1 , 2 , …, 6中的任 意  个, 共有 6 n - 2 个;  

3 2  

中 等 数 学 

2 0   1   5年全 国高 中数 学联赛 山西赛 区预赛 
中图分 类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章编号 : 1 0 0 5~6 4 1 6 ( 2 0 1 6 ) 0 5— 0 0 3 2~ 0 4  





填 空题 ( 每小题 8 分, 共6 4分 )  

5 . 设椭 圆  +   =1 ( 0 > b > o ) 的两焦点 
“   U 

1 . 设集合 M ={ 1 , 2 , …, 1 2 } , 三元集 A=   { a , 6 , C } 满足 A   CM, 且a +b + C 为平方数. 则 
集合 A的个数 为一  

与短 轴 一 端 点 组 成 一 个 正 三 角 形 三 顶 点.  

若焦点到椭 圆上 的点 的最短距离 为√ 3 , 则 
( a , b )= — — 。  

2 . 若s i n  + e 0 s  = ÷, 贝 0  
J   s i n   一C O S   J=  
‘——— 

6 . 数列 { a   } 的各项 为互 异正数 , 且其 倒 
数构成等差数列. 则 

!  ±  
的值域为— —  

±: : : ±   ! !  
n1 a2   0 1 5  

一  

— — — —

_

.  

3 ? 函数 y =  

7 . 设  =√   3  + 1+, / 3 r + 1+  3   + 1 ,   4 . 一个 长方体 的体 积 为 8立方 厘 米 , 全 

其中,  + Y 十  =1 ,  、   、   ≥0 . 贝 0 [ a ]= — —  

表面积为 3 2平方厘米. 若其长 、 宽、 高成等 比 

( [  ] 表示不超过实数  的最大整数 ) .  
8 . 将各位数字 和为 8的全体正整数 按 自  
)  上   上  

数列 , 则此长方体全部棱长之和为— —_ .  
( 2 ) 第 二 位仍 是 1 的  位数 , 这 些 数从  第二位 起的后 n 一 1 位 上 的数 字是 由数字 1 ,   2 , …, 6 构 成 的首位 数 字是 1 且 含有 1 、 6相 

C n   " - 6C n - 1+- 9C n - 2+  

,  

其 中, c   = o , c   =   .   故c   一 1 =   5( c  
一  

邻 的 n一 1 位数 , 共有 b n - 1 个;   ( 3 ) 第二位是 2 、 3 、 4 、 5之一 的且含有 1 、  
6 相邻 的 n位数 , 这些数 的后  一 2位是 由数  字 1 , 2 , …, 6构成 的且含有 1 、 6 相 邻 的数 , 共 
有4 n   一 2 个.  



1 )+   1( c  
一  



1 ) .  

再令 d   = C   一 1 . 于是 ,  
dn=   5  
一  

1  
+ 
一  



d  : 一1, d :: 一  

.  

故b   = 6   + 6   一 1 + 4 a   由式① 、 ②得 
  - 2 a  =5 a   l+4 口   2+2 ×6
一 一

② 

=  

.  

2 4 6

篆 (   厂+   ( I   1 2   r J   ’  
5 + 1  ̄ 1 - 1  +  

又以 1 = 0 , 以 1 = 2 , 从而 ,  
a  
~ !  

5  a   一 1  
+  

1  a   一 2  
+ 一

1  
 

 ̄ a n = 6 n [  

6“   6  6  一   。9  6  一   ‘1 8。  

令C n :   a R 则 


2 4 6  ( 5    ̄/ 1 2一 4  + ~ 1 J ] . ’  


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